讲析04 立体几何（考点分析）（解析版）

讲析04立体几何一、知识网络二、常考题型三、知识梳理1.平面的基本性质（1）三个性质如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（2）三个结论．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面两条平行直线可以确定一个平面2.异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.3.直线与平面平行（1）直线与平面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行.直线与平面平行，记作∥.（2）直线与平面平行的判定如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.（3）直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.4.平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面与平面平行，记做∥．（2）平面与平面平行的判定如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．（3）平面与平面平行的性质如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．5.直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．2.直线和平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线互相平行．6.面与平面垂直的判定与性质1.平面与平面垂直的判定一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．2.平面与平面垂直的性质7.空间两条直线所成的角1.定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角2.范围：3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．8.直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO9.平面与平面所成的角（1）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）二面角的平面角过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角（3）二面角的范围二面角取值范围是．四、常考题型探究考点一文字语言、符号语言和图形语言的相互转化例1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，表示为：，，．故选B.例2．如图所示，用符号语言可表达为（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，故用符号语言可表达为，，，故选：A．【变式探究】1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(B)A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α考点二线线位置关系的判断例3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(C)A．3条 B．4条C．6条 D．8条[解析]与AC1异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条．例4．下列说法中正确的是(B)A．若两直线无公共点，则两直线平行B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．【变式探究】1.在棱长为1的正四面体中，直线与是（

）．A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系【答案】C【解析】作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线.故选：C.2.垂直于同一条直线的两条直线一定（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能【答案】D【解析】垂直于同一条直线的两条直线有可能平行，也有可能相交于一点，也有可能异面．故选：D．考点三线面位置关系的判断例5.若直线是平面的一条斜线，则在平面内与垂直的直线（

）A．有且只有一条 B．有无数条C．有且只有两条 D．不存在【答案】B【解析】如图设斜线与平面交于点，在平面内过点作直线，则在平面内所有与直线平行的直线均与直线垂直，故在平面内与垂直的直线有无数条.故选：B例6.已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为.【答案】【解析】根据面面平行的性质即可判断.【详解】若，则与没有公共点，，则与没有公共点，故.故答案为：.【变式探究】1.如图，在正方体中，直线与平面的位置关系为（

）A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行【答案】B【分析】根据正方体性质判断直线与面的位置关系即可.【详解】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直.故选：B2.过平面外一点，能做（

）条直线与平面平行.A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】D【分析】根据线面平行的定义判断可得；【详解】解：过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内故选：D考点四线面平行的判定和性质例7.已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（）A．存在一条直线b，a//b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α//βD．存在一个平面β，a//β且α//β【答案】C【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案.【详解】在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面.故选：C．例8.在空间中，直线∥面，直线平面，则（

）A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面【答案】D【分析】由线面线线的位置关系可得答案.【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面．故选：D【变式探究】1.下列条件中，能得出直线与平面平行的是（

）A．直线与平面内的所有直线平行B．直线与平面内的无数条直线平行C．直线与平面没有公共点D．直线与平面内的一条直线平行【答案】C【分析】根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.【详解】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对C，能推出与平行；对D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.2.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面【答案】B【分析】根据直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β=m，结合直线与平面平行的性质定理可知直线l，m平行【详解】∵由题意，有∴根据直线与平面平行的性质定理，知：l∥m故选：B考点五面面平行的判定和性质例9.已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（

）A．、都垂直于一个平面B．平面内有无数条直线与平面平行C．l、m是内两条直线，且，D．l、m是两条异面直线，且，，，【答案】D【分析】ABC选项，举出反例，D选项可以利用面面平行的判定进行证明.【详解】A选项，如图所示，、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误；B选项，如图，已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误；C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误；D选项，因为，，则在平面内存在，因为l、m是两条异面直线，所以为相交直线，因为，，所以，，故可以判定平面与平面平行.故选：D例10.设为两个不同的平面，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行【答案】D【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.故选：D【变式探究】1.设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线【答案】D【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D2.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．[解析]∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1．∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴AD1∥BC1．又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．同理BD∥平面AB1D1．又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．考点六线面垂直的判定和性质例11.下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④.【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误；由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确；由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确；由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确.故选：C.例12.在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线垂直的面的个数.【详解】如上图示，仅有平面和平面与直线垂直.故选：B【变式探究】已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.【详解】因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.考点七面面垂直的判定和性质例13.设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理判断．【详解】由面面垂直的判定定理知，若，，则，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要条件，故选：A例14.空间四边形ABCD中，若，，那么有（

）A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADBC．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC【答案】D【分析】证明线面垂直，从而证明面面垂直.【详解】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故选：D【变式探究】1.下列命题中正确的是（）A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β【答案】C【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案.【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.故选：C.考点八异面直线所成的角例15.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；设正方体棱长为2，易知，，，在中，满足，即，因此，所以.故选：B【变式探究】已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小.【详解】由于在正方体中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面,故，所以直线与直线所成角为，故选：A

考点九直线与平面所成的角例16.已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于平面，平面，所以，故是与平面所成角，由于正方形的边长为，所以，所以.故选：B例17.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°【答案】B【分析】由直线与平面所成角的概念求解【详解】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°故选：B【变式探究】1.如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（

）A． B．