工科数学分析 课件 9-2 第二类曲线积分_第1页
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第二节第二类曲线积分工科数学分析北京理工大学第二学期第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）问题的提出对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算小结一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力沿直线所作的功分割求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式（独立积分的组合：第二类曲线积分的坐标形式）向量值函数曲线积分向量形式向量形式的积分元素坐标形式的积分元素4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.注意：由于第二类曲线积分涉及到方向性，故积分的对称性也和第一类曲线积分不同。LyxoABMN三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形(4)两类曲线积分之间的联系：第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分，且与积分路径的方向无关；第二类曲线积分是向量函数的各分量对坐标的独立积分之和，且与路径的方向有关。且被积函数与积分变量都是向量。联系：其中切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.或者由对弧长的曲线积分的计算公式.物理解释:两种不同的方式计算【变力沿曲线做功】的问题1.(第二类曲线积分)将力F分解为水平方向的分力P和竖直方向的分力Q.合力F所做的总功，等于P所做的功和Q所做的功的和.2.(第一类曲线积分)将P和Q分别投影到物体运动方向，如图所示.

P在切线方向的投影力的大小为Pcosα，Q在切线方向的投影力的大小为Qcosβ.（可以推广到空间曲线上）可用向量表示有向曲线元；例1解例2解注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.四、小结1．对坐标曲线积分的概念2．对坐标曲线积分的计算3．两类曲线积分之间的联系作业P

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