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第八章重积分

习题课工科数学分析北京理工大学第二学期重积分习题课主要内容典型例题定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容1、二重积分的定义２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］（２）极坐标系下5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面面积当薄片是均匀的，质心称为形心.(3)质心薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力6、三重积分的定义7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．9、三重积分的计算(１)直角坐标(２)柱面坐标(３)球面坐标采用何种坐标系计算三重积分？看积分区域Ω

、被积函数

1、直角坐标系：

Ω是长方体、四面体或一般的任意形体；

2、柱面坐标系：

Ω是柱形体域、锥形体域或抛物体域；

3、球面坐标系：

Ω是球形体域或球形体域的一部分。适用范围：

Ω和球体相关，φ

要容易求出。10、三重积分的应用(１)质心(２)转动惯量二、典型例题例1.解X-型例2.(同8-2节例3)解先去掉绝对值符号，如图例3.解例4.解例5.解例6.

证例7.

解例8.zoyx

解利用球面坐标zoyx例９.

解例10.

证思路：从改变积分次序入手．作业P156-158

1(

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