高中数学知识清单

学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：.4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.§1.1.3、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。SCsAA（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即ASCsAA所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。记作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)§1.2.1、函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f是g的复合函数。5.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换Ⅰ、对称变换:（1）将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象（2）y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如（3）y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如Ⅱ、平移变换:由f(x)得到f(xa)左加右减；由f(x)得到f(x)a上加下减作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。6．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．7．映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象§1.3.1、单调性与最大（小）值1函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；（2）．减函数如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（或f(x1)＞f(x2)）。（3）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(4).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：复合函数单调性：口诀：同增异减注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.(D)导数法：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.（5）判断函数的单调性常用的结论①函数与的单调性相反；②当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；③函数与函数（C为常数）的单调性相同；④当C>0（C为常数）时，与的单调性相同；当C<0（C为常数）时，与的单调性相反；⑤函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；⑥若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；⑦设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.§1.3.2、函数的奇偶性1.偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2.奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.③若为偶函数，则.④若奇函数定义域中含有0，则必有.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.如设是定义域为R的任一函数，则，.⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.4.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)5.函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；知识链接：函数与导数1、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.2、几种常见函数的导数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧3、导数的运算法则（1）.（2）.（3）.4、复合函数求导法则复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值；极值是在附近所有的点，都有＞，则是函数的极小值.(2)判别方法：=1\*GB3①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；=2\*GB3②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.6、求函数的最值(1)求在内的极值（极大或者极小值）(2)将的各极值点与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果，那么叫做的次方根。其中.2、当为奇数时，；当为偶数时，.3、我们规定：⑴；⑵；4、运算性质：⑴；⑵；⑶.§2.1.2、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像性质定义域R,值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；§2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式：；2、对数恒等式：.3、基本性质：，.4、运算性质：当时：⑴；⑵；⑶.5、换底公式：.6、重要公式：7、倒数关系：.§2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象：2、性质图象性质(1)定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数(5)；(5)；2、对数函数的图像与性质：对数函数(a>0，且a≠1)在logab中，当a,b同在(0,1)或(1,+∞)内时，有logab>0;当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+∞)内时,有logab<0.口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）3、如图，底数a对函数的影响。规律:底大枝头低,头低尾巴翘。4、考点：Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab>0；当a,b在1的异侧时,logab<0Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。Ⅴ、y=ax(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数，图象关于y=x对称。5、比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.6、比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较§2.3、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；（3）α<0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．第三章：函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根。4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．二、二分法1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；⑵求区间(a,b)的中点c;⑶计算f(c),①若f(c)=0,则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷三、函数的应用：（1）评价模型：给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)指数函数：y=ax(a>1)指数型函数：y=kax(k>0,a>1)幂函数：y=xn（n∊N*)对数函数：y=logax(a>1)二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)解不等式(1)log2x<2x<x2(2)log2x<x2<2x（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。（4）二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。（5）数学建模：(6)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布两个根都在（m,n)内两个有且仅有一个在（m,n)内x1∈(m,n)x2∈(p,q)yxyxnmmmnmnmnpqf(m)f(n)<0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxyxkkkkkf(k)<0必修4数学知识点第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、特殊角的集合:第一象限角的集合:第二象限角的集合:第三象限角的集合:第四象限角的集合:终边落在轴非负半轴上的角的集合:终边落在轴非正半轴上的角的集合:终边落在轴上的角的集合:终边落在轴非负半轴上的角的集合:终边落在轴非正半轴上的角的集合:终边落在轴上的角的集合:终边落在坐标轴上的角的集合:2、终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角都可以表示成角与整数个周角和的形式.3、常见结论:(1)若与的终边关于轴对称,则(2)若与的终边关于轴对称,则(3)若与的终边关于原点对称,则(4)若与的终边在同一直线上,则§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、.3、弧度制与角度制的换算:(1)rad(2)radrad(3)rad,rad4、弧长公式和扇形面积公式:(1)弧长公式:(2)扇形面积公式:§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：2、设点为角终边上任意一点，那么：（设），，，3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：.2、商数关系：.3、倒数关系：§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）记忆口诀:角的三角函数的所有诱导公式可以概括为:“奇变偶不变,符号看象限”.①把角化为()的形式.若为偶数,则函数名不变;若为奇数,则函数名作改变:正余.象限的过程中,一律将角看成锐角,再根据()的象限决定三角函数的符号(正负).1、诱导公式一：（其中：）2、诱导公式二：3、诱导公式三：4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为：§1.4.3、正切函数的图象与性质记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在上单调递增对称性对称轴方程：对称中心对称轴方程：对称中心无对称轴对称中心§1.5、函数的图象1、对于函数：有：振幅A，周期，初相，相位，频率.2、能够讲出函数的图象与的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：平移个单位（左加右减）横坐标不变纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变横坐标变为原来的倍平移个单位（上加下减）先伸缩后平移：横坐标不变纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变横坐标变为原来的倍平移个单位（左加右减）平移个单位（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R及函数，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.注:(1)函数中,影响函数图象的最高点和最低点,即函数的最值;影响函数图象每隔多少重复出现,即函数的周期;影响函数的初相.(2)对于函数的图象,相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期;相邻的一个对称中心和一条对称轴相交周期的四分之一.3.1、求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A≠0,ω≠0)的函数，(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.3.2、求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为-ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、2、3、4、5、.6、.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，变形：.2、.变形如下：升幂公式：降幂公式：3、.4、§3.2、简单的三角恒等变换注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式（其中辅助角所在象限由点的象限决定,).必修5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：.（其中为外接圆的半径）用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素。注意：做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：4、三角形内角和定理：在△ABC中，有.5、一个常用结论：在中，(大角对大边)若特别注意，在三角函数中，不成立。6、射影定理：7、设、、是的角、、的对边，则：=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则；=3\*GB3③若，则．第二章：数列1、数列中与之间的关系：注意通项能否合并。2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数成等差数列⑶通项公式：或⑷前项和公式：⑸常用性质：①若，则；②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；③数列（为常数）仍为等差数列；④若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列。⑤单调性：的公差为，则：ⅰ）为递增数列；ⅱ）为递减数列；ⅲ）为常数列；⑥数列{}为等差数列（p,q是常数）⑦若等差数列的前项和，则、、…是等差数列。3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：⑷前项和公式：⑸常用性质①若，则；②为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；④若是等比数列，则是等比数列，公比依次是⑤单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列的前项和，则、、…是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。类型Ⅲ累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和;=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.类型Ⅳ累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列;（2）若时，数列{}为等比数列;（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的递推式：⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。⑶当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.类型Ⅵ对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。类型Ⅶ倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.类型Ⅷ形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式5、非等差、等比数列前项和公式的求法⑴错位相减法①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得常见的拆项公式有：①②③④⑤⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：=1\*GB3①找通向项公式=2\*GB3②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：⑸记住常见数列的前项和：①②③第三章：不等式§3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：=1\*GB3①舍去或加上一些项，如=2\*GB3②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.记住：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集若二次项系数为负，先变为正规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.4、设，，则．．．．若、为非零向量，则．若，则．．．，，则§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、≤.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：⑴,⑵当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.2、平面向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设，则：⑴，⑵，⑶，⑷.2、设，则：.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则⑴线段AB中点坐标为，⑵△ABC的重心坐标为.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、.2、在方向上的投影为：.3、.4、.5、.1、设，则：⑴⑵⑶⑷2、设，则：.两向量的夹角公式4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，则函数的图像按向量平移后的图像的解析式为知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：

若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．③求出平面内两个不共线向量的坐标．根据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面OABOABl二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则OABOABl如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：◆如果是锐角，则,即；如果是钝角，则，即.利用法向量求空间距离⑴点Q到直线距离若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即⑶直线与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即⑷两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与(AD)所成的角为，AD与AC所成的角为，AB与AC所成的角为．则.8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。空间几何体的表面积与体积(1)柱侧面积；(1)⑵圆锥侧面积：(2)⑶圆台侧面积：(3)⑷体积公式：；；⑸球的表面积和体积：.第二章：点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示DCBADCBAα（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为αA∈LαB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内C·C·B·A·α符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。P·P·αLβ符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca=>a∥cc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，；当时，；当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。⑤一般式：（A，B不全为0）注意：eq\o\ac(○,1)各式的适用范围eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。总结：1、倾斜角与斜率：2、直线方程：⑴点斜式：⑵斜截式：⑶两点式：⑷截距式：⑸一般式：3、对于直线：有：；⑵和相交；⑶和重合；⑷.4、对于直线：有：；⑵和相交；和重合；⑷.5、两点间距离公式：6、点到直线距离公式：7、两平行线间的距离公式：：与：平行，则第四章：圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有；；注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当时，为同心圆。总结：1、圆的方程：⑴标准方程：其中圆心为，半径为.⑵一般方程：.其中圆心为，半径为.2、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;;.弦长公式：3、两圆位置关系：⑴外离：；⑵外切：；⑶相交：；⑷内切：；⑸内含：.3、空间中两点间距离公式：必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构序结构示意图：语句n+1语句n+1语句n（图1）⑵条件结构示意图：IF-THEN-ELSE格式：满足条件？满足条件？语句1语句2是否（图2）满足条件？语句是否②满足条件？语句是否（图3）⑶循环结构示意图：①当型（WHILE型）循环结构示意图：满足条件？满足条件？循环体是否（图4）②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：满足条件？满足条件？循环体是否（图5）4、基本算法语句：①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句的一般格式：变量＝表达式（“=”有时也用“←”）.④条件语句的一般格式有两种：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：IFIF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF（图2）（图2）IF—THEN语句的一般格式为：IFIF条件THEN语句ENDIF（图3）⑤循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：WHILE条件WHILE条件循环体WEND（图（图4）直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DODO循环体LOOPUNTIL条件（图（图5）⑹算法案例：①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；ⅱ）：若＝0，则n为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；ⅲ）：若＝0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。③进位制十进制数化为k进制数—除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。2、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。=2\*GB2⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：⑴平均数：；取值为的频率分别为，则其平均数为；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。=2\*GB2⑵方差与标准差：一组样本数据方差：；标准差：注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：（最小二乘法）注意：线性回归直线经过定点。第三章：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；=2\*GB2⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A的概率：.2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；=2\*GB2⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率.3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。=2\*GB2⑵几何概型概率计算公式：；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：⑷如果事件彼此互斥，则有：⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件的对立事件记作：对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。选修数学知识点专题一：常用逻辑用语（选修2——1）1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若，则是充分条件，是的必要条件；②若，但，则是充分而不必要条件;③若，但，则是必要而不充分条件;④若且，则是的充要条件；⑤若且，则是的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：①若,则是充分条件；②若,则是必要条件；③若AB，则是充分而不必要条件;④若BA，则是必要而不充分条件;⑤若，