高等数学教程　下册　范周田 第4版 习题详解汇 习题12

习题12．1(A)组1．计算下列第一类曲线积分(1),其中为连接和的直线段．解：直线方程为，则。(2),其中是圆周．解：的参数方程为，则。(3),其中为从点到点然后再到点的折线段．解：则。(4),其中是抛物线上自点到点的一段弧．解：，则。(5),其中是摆线的第一拱．解：。(6),其中是圆周．解：设的参数方程为原式。(7),其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.解：设的参数方程为，则。(8),其中是曲线的一段弧．解：所以则。(9),其中是双扭线．解：双轴线参数方程为由对称性得。(10),其中是圆周．解：设圆周的参数方程为2．计算,其中是螺旋线。解：。3．求,其中为折线．解：直线方程为直线方程为直线方程为则。4．计算,其中是圆周．解：关于具有轮换对称性，则则。5．设曲线为圆周直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界，其线密度，试计算曲线的质量。解：则L质量。(B)组1．设圆柱面被与所截，求圆柱面位于第一、四卦限内所截下部分的柱面的侧面积．解：由题意得其中为，参数方程为。2.设在xOy平面内有一曲线形物体,在点(x,y)处的线密度为(x,y).试用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;(2)这曲线弧的质心坐标x,y,(3)求半径为a,中心角为2的均匀圆弧(线密度解：参数方程为则质心坐标为即在扇形的对称轴上且与圆心距离。习题12.2(A)组1.计算下列第二型曲线积分(1),其中为圆周在第一象限按顺时针方向的一段弧。解：设的参数方程为则。(2)，其中为抛物线自到一段。解：。(3),其中为由点到点的直线段。解：直线方程为，则。(4),其中为圆周按顺时针方向。解：设的参数方程为则。(5)，其中为抛物线上从点到点的一段弧。解：设的方程为则。(6)，其中是摆线上由到的一段弧。解：。(7),其中G是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段。解：G的参数方程为则。(8),其中为曲线,方向是顺轴的正向看为逆时针方向。解：G的参数方程为则。2.,其中为(1)从点到点的直线段。解：为从点到点的直线段，则其方程为则。(2)抛物线上从点到点的一段弧。解：为上从点到点的一段弧，设的方程为则。(3)从点到点再到点的折线段。解：为从点到点再到点的折线段，则(4)椭圆的上半圆,逆时针方向。解：设的参数方程为，则原式。3.设是闭曲线,取其逆时针方向,计算曲线积分。解：。4.将第二型曲线积分化成对弧长的第一型曲线积分,其中为(1)沿抛物线从点到点;解：的方程为，于是，方向余弦(2)沿上半圆周从点到点。解：的参数方程为方向余弦(B)组1.设一个质点在椭圆上每一点M(x,y)处受到力F的作用,其大小与M到原点O的距离成正比,方向指向原点。（1）计算质点沿椭圆由点A(a,0)按逆时针方向移动到点B(0,b)时力F所作的功。解：设L参数方程为。（2）计算质点按逆时针方向沿椭圆绕一周时力F所作的功。解：。2.设为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t=0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分ΓPdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分解：设是曲线上点的切线向量余弦则则。习题12.3(A)组利用Green公式计算下列曲线积分(1),其中为圆周逆时针方向.解：其中。(2),其中是由与所围成区域的正向边界曲线.解：(3),其中是由点沿抛物线到点的一段弧.解：将此段弧补上直线BA后，用格林公式有。(4),是在圆周上由点到的一段.解：将此段弧不上直线段到及到后，利用格林公式有原式。利用曲线积分计算由下列曲线所围成的平面图形的面积.椭圆解：设区域D为椭圆内部，S为其面积，L为D的正向边界，则由格林公式得设参数方程为则星形线.解：同上，由格林公式得。3.计算,而为(1)的正向边界.解：由格林公式得原式(2)的正向边界.解：令,，当时而内在处不连续，故不能直接利用格林公式，作辅助线为以为圆心，为半径的圆周，方向为顺时针方向，于是与围城的复联通区域不包含圆点，的边界是有向闭曲线，显然在上具有一阶连续偏导数，因此利用格林公式得则的参数方程为则原式。4.验证下列在整个平面内是某一个函数的全微分，并求一个这样的函数。（1）验证：，则是某个函数的全微分由得先关于作不定积分待定。此式两边关于求偏导得解得，则。（2）验证：，则是某个函数的全微分由得先关于作不定积分由得，解得，取，则。5.求下列微分方程的通解：（1）解：令则因此原方程是全微分方程，选取则原方程的通解为（为任意常数）。（2）解：因此原方程为全微分方程。则原方程通解为（为任意常数）6.计算，其中为正常数，是在圆周上由点到点的一段弧.解：设其中积分与路径无关，可选择到的直线段代替弧设的参数方程为则。7.确定常数,使在右半平面上为某个二元函数的全微分,并求出一个.解：由题意得，即上式在右半平面上恒成立，则有成立，即则对积分后有求导，则取即可，得。(B)组1.设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场，试证明质点在该场内移动时，场力所作的功与路径无关。证明：做功则因此场力做功与路径无关。设在内有连续的导函数,证明当时,曲线积分与路径无关,并计算.证明：设.当时则曲线积分与路径无关。3.设L是不经过点(2,0),(-2,0)的分段光滑的简单闭曲线,L取正向,试就L的不同情形计算曲线积分解：设,.若所围区域不含和点时，由格林公式得若所围区域只含其中一点时，（不妨设含点）.则在内作以为圆心，为半径的圆，取顺时针方向的圆，利用格林公式有则则，其中设的参数方程为原式。若所围区域包含和点。如图将轴与两个交点截的线段记作（从上到下），将的左半边曲线记作，右半边曲线记作则原式习题12.4(A)组1.计算下列第一类曲面积分(1),其中为上半球面。解：下面考虑。曲面为上半球面，我们将其分为和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影区域相同，为由对称性则因此。(2),其中为锥面与平面所围成区域的整个边界曲面。解：将曲面分为和，其中为的平面，为锥面，则和在面上投影区域相同为于是。(3),其中为圆柱面介于及之间的部分()。解：我们将c分为和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影区域相同，为曲面面积微元为于是。(4),其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的顶部。解：S在上的投影为方程为，于是(5),其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面。解：将S分为四个区域，分别是上的截面，为上的截面，于是在投影，方程是则。(6),其中为平面在第一卦限中的部分。解：S在平面上的投影区域为方程为，则。2.求由半球面与旋转抛物面所围成的立体的整个表面的面积。解：。3.求球面被柱面截下部分的面积。解：S在平面上的投影区域为，曲线方程为或，由对称性得，则面积4.设抛物面壳的壳密度为，试求该壳的质量。解：由题意知。5.求均匀曲面的重心坐标。解：设均匀曲面的重心为，则由于曲面关于和面对称，故则，故重心坐标为。(B)组1.当是xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?解：设为对应的平面区域，则。2.设有一分布着质量的曲面,在点(x,y,z)处的面密度为(x,y,z),(1)用对面积的曲面积分表示这曲面对x轴的转动惯量;(2)对原点的转动惯量;(3)求均匀圆锥面被平面截下的有限部分对各坐标轴及原点的转动惯量.解：(1)(2)(3)。习题12.5(A)组计算下列第二型曲面积分(1),其中为以原点为中心，边长为的正方体的整个表面的外侧。解：是由六片光滑曲面，组成，其中，是上下两个面，，是前后两个面，，是左右两个面，则。(2),其中为由平面与三个坐标面围成的四面体的外侧表面。解：将分为四片光滑曲面，，，，其中，，分别是，，平面上的三角形，是平面在第一卦限中的部分，则法向量分别为令，则原式。(3),其中为球面的下半球面的下侧。解：的单位法向量为则。(4),其中为上半球面的上侧。解：的单位法向量为，则。(5),其中是平面在第四卦限部分的上侧。解：的单位法向量为，则原式。(6),其中为柱面被平面和所截得在第一卦限内的部分的前侧。解：解：的单位法向量为，则原式。(B)组1.当是xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?解：设在平面投影为，则若的法向量为时，若的法向量为时，即与二重积分相等或相反。习题12.6(A)组1.利用Gauss公式计算下列曲面积分(1),其中是由与所围成的立体的表面的外侧.解：由高斯公式得：。(2),其中为球面的外侧.解：由高斯公式得：原式。(3),其中是平面所围成的立体的全表面的外侧.解：由高斯公式得：原式。(4),其中为锥面被平面所截部分的上侧。解：由高斯公式得：原式。(B)组1.利用Gauss公式计算下列曲面积分(1),其中是球面的外侧.解：由高斯公式得：原式。(2),其中为上半球面的上侧。解：将补充成封闭曲面，添加的平面即可，法向量为，由高斯公式得：原式=。2.求下列向量穿过曲面流向指定侧的通量(1),是球面的外侧.解：通量由高斯公式得。(2),是椭球面的外侧.解：通量。求下列向量场的散度：(1)解：(2)解：。习题12.7(A)组1.利用Stokes公式计算下列曲线积分(1),其中为圆周,并从轴的正向看,该圆周是逆时针方向.解：令，由斯托克斯公式得：其中。(2),其中为椭圆,顺轴的正向看逆时针方向.解：令，由斯托克斯公式得：其中。(3),其中是曲线,从轴的正向看,曲线取逆时针方向.解：令，由斯托克斯公式得由对称性得(4),其中为圆周,并从轴的正向看,该圆周是逆时针方向.解：令，由斯托克斯公式得：。2.求下列向量场的旋度(1)解：其中(2)解：。3.计算曲面积分,其中,为上半球面,为上指向上侧的单位法向量。解：由题意知则原式由对称性得4.设具有二阶连续偏导数，求解：则因为具有二阶连续偏导数，则原式。(B)组1.设(为常数),为圆周取逆时针方向,求向量沿闭曲线的环流量。解：向量沿闭曲线的环流量由斯托克斯公式知2.证明：证明：设则。综合习题12(A)组1．计算下列各题：(1)设为曲线，求。解：，其中为曲线。(2)设为曲线，求。解：。(3)设，其中为第一象限圆弧自点A（1，0）到B（0，1），求的值。解：令则，即积分与路径无关。因此原式其中为直线段。(4)设:，求解：(5)设:，求。解：由高斯公式得由对称性得。(6)求向量场在点处的散度。解：。2.计算下列各题：(1)设是椭圆周顺时针方向的曲线,在内具有二阶连续偏导数，求。解：由格林公式得。(2)设是半球面,求.解：由于关于平面对称，被积函数关于为奇函数，则。(3)设是半球面的外侧,求解：将补上的平面后，利用高斯公式有。(4)设可导，为光滑曲线，若曲线积分与路径无关，求应满足关系式。解：由题意得即即应满足，解得（若），解得（为任意常数）。(5)若，求。解：令则是全微分。由解得又，则则，解得因此。(6)若是圆周求。解：由由对称性得。(7)设为锥面的外侧，求。解：补充面，与构成封闭曲面后，利用高斯公式有原式。(8)设为曲面，其面积为A，求。解：由对称性得3.计算下列各题：(1),其中是自沿至点的弧。解：令则则的积分在任意不含0点的单连通区域内与路径无关，选择折线代替后有原式。(2),其中为下半球面的上侧。解：补充的平面，方向向下，与围城一单连通区域，则由高斯公式得原式(3)，其中为椭圆，周长为。解：由对称性得到。(4)设函数使得积分与路径无关，且，试确定函数。当是自沿任意曲线至点的弧时，求的值。解：与路径无关，得知即。直线的方程为，则。(5),其中为抛物面被所截下的有限部分的下侧。解：。4.在过原点和点的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从原点和点的积分的值最小。解：令，令解得，当，取最小值，则的方程为。5.求向量穿过圆柱的侧表