高等数学教程　下册　第4版 课件 12.5 第二型曲面积分_第1页
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文档简介

通常光滑曲面都有两侧.12.5第二型曲面积分12.5.1双侧曲面及其法向量

单侧曲面莫比乌斯(Möbius)带.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起,B、C粘在一起形成的环行带.上、下曲面的几种常用表达形式:封闭曲面:

内、外左、右规定了侧(或称方向)的双侧曲面称为有向曲面.

前、后曲面的方程为

偏导数连续,且指向曲面的另一侧.

指向曲面的一侧,光滑曲面：例如,椭球面的法向量为

外侧正号,内侧负号.光滑曲面的方向用法向量函数表示曲面的方程

法向量

上侧正,下侧负右侧正,左侧负前侧正,后侧负简单有向曲面的法向量问题12.4(流量问题)12.5.2第二型曲面积分的概念

设某流体的密度处处相同(无妨设密度为1),即为有向光滑曲面,

是在点(x,y,z)的单位法向量.

求流体在单位时间内通过曲面流向指向一侧的流量中各点的速度只与该点的位置有关而与时间无关,液体简单情况

流量当流速不是常向量,或不是平面闭区域时,用积分思想研究流量问题.将曲面任意划分成个小曲面

记第k小块曲面的面积为流量为

设为上任意一点,我们从两方面近似:

(1)把近似为平面,方向为

(2)把上的流速近似为常向量

则求和,取极限,由对面积的曲面积分的定义,有即

抽去上述问题的物理意义,积分的定义.就得到了第二型曲面定义为第二型曲面积分.设为光滑的有向曲面,

是在点(x,y,z)的单位法向量,

向量函数

的各分量在上连续,

则称

特别地,

都称作第二型曲面积分.

对坐标y,z的曲面积分

对坐标z,x的曲面积分

对坐标x,y的曲面积分

记作:第二型曲面积分的计算:概念产生方法1.求曲面方向向量的方向余弦;2.计算对面积的曲面积分.几何性质,二重积分性质:与第一型曲面积分类似有向性:如果与是同一个曲面的不同侧解单位化:例1计算积分其中是球面的外侧.球面外侧的法向量为

用几何性质计算的例子(1)当有向曲面的方程为时,有其中,是在xOy面上的投影.化成表示曲面的两个自变量的二重积分上侧取正号,下侧取负号.右正,左负.(2)当有向曲面的方程为时,有其中,是在xOz面上的投影.前正,后负.(3)当有向曲面的方程为时,有其中,是在yOz面上的投影.单个函数对坐标的曲面积分计算步骤从曲面方程中解出z=z(x,y),必要时分片表示.求出曲面在xOy投影上正,下负前正,后负右正,左负解投影域例2计算其中Σ是球面外侧在的部分.单个函数对坐标的曲面积分计算解例3其中Σ是旋转部分的下侧.抛物面得曲面下侧的方向向量为计算法向量:化为对x,y的二重积分注意到:故解例4右侧.计算其中Σ是锥面化为对x,z的二

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