高等数学教程　下册　第4版 课件 11.3 三重积分

11.3三重积分11.3.1三重积分的概念问题11.2求非均匀密度的物体的质量(1)分割设某物体占有空间区域求物体的质量M.其体积记为V,

物体将空间区域任意分成n个小闭区域质量为

记的体积为上连续,

(2)近似(3)

求和在上任取一点(4)取极限

如果函数,定义将空间区域任意分成n个小闭区域记小闭区域的体积为在上任取一点存在,则称函数在

上可积,设是空间有界闭区域

上的有界体积元素三重积分的几何意义设被积函数则区域V的体积为非均匀密度物体的质量可表示为

三重积分的计算一般是先化为一个定积分记和一个二重积分,最后化为三次定积分.相应的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在空间直角坐标系中,用平行于三个坐标面的平面的来划分积分区域11.3.2空间直角坐标系下三重积分的计算得到的小闭区域为长方体,1.投影法(先一后二法,先对积分)设积分区域面上的投影为闭区域过点作直线,的函数,于是则再计算在闭区域上的二重积分面x=0,y=0,z=0及平面

x+y+z=1所围成的四面体.Dxy:x=0,y=0,x+y=1围成例1计算三重积分其中

是由坐标解Oyx11x+y+z=1所围成的四面体.思考题:设

是由坐标面x=0,y=0,z=0及平面解由对称性于是柱面以及抛物面围成.例2计算其中

是由坐标面z=0解

在xOy面投影为

Oyx11由积分区域和被积分函数的对称性,有解

的原函数不是初等函数,应先

x对积分一定要交换积分次序.例3计算球面

及抛物面所围成.先求两个曲面的交线

例4计算三重积分其中

是由上半

解由解得故,

在xOy面投影为

规定:称为点M的柱面坐标.设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数注:直角坐标与柱面坐标的关系为

在柱面坐标下2.积分区域

是由柱面、锥面、旋转抛物面、平

常用柱面坐标计算1.若被积函数形如三重积分在柱面坐标系下的表达式为通常化为先对z、再对r、后对的三次积分.面或球面所围成.2.截面法(先二后一法，后对积分)(红色部分)得投影区间(3)计算二重积分(4)最后计算定积分即(1)把积分区域

向某轴(如z轴)投影,截面法(先二后一法)解例5计算三重积分其中

为三个原式坐标面及平面所围成的闭区域.解与平面所围成的锥台体.可看出如先对z积分,

积不出来.这里应先对

积分,最后对z积分.例6计算其中

是由锥面三重积分对称性质:若f关于变量z是奇函数,即1.设积分区域

关于xOy坐标面对称.为

在xOy坐标面的上半部分区域.则若f关于变量z是偶函数,即则类似地,若f关于变量

x是奇函数,即2.设积分区域

关于yOz坐标面对称.为

在

yOz坐标面的前半部分区域.则若f关于变量

x是偶函数,即则若f关于变量

y是奇函数,即3.设积分区域

关于xOz坐标面对称.为

在

yOz坐标面的右半部分区域.则若f关于变量

y是偶函数,即则例设

为则则必有()设空间区域C记投影向量与x轴正方向的规定:正方向间的夹角为设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,夹角为11.3.3利用球坐标系计算三重积分称为点M的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系为2.积分区域

是由球面、锥面或平面所围成.

常用球面坐标计算因此

在球面坐标下1.若被积函数形如SρM

yz

x0ρ=常数:

=常数:球面S动点M(ρ,

,

)球面坐标下的三坐标面分别为

Cρ=常数:球面S

=常数::S半平面P动点M(ρ,

,

)M

yz

x0

P

=常数:锥面Cρ

dρd

ρsin

xz

y0圆锥面

ρd

球面ρ圆锥面+d

球面ρ+dρ元素区域由六个坐标面围成：d

ρsin

d

球面坐标下的体积元素半平面

及+d

；

半径为ρ及ρ+dρ的球面圆锥面

及+d

ρ

dρd

xz

y0d

ρd

元素区域由六个坐标面围成：ρsin

d

ρ2sin

dρd

d

dVdV=半平面

及+d

；

半径为ρ及ρ+dρ的球面；圆锥面

及+d

三重积分在球面坐标系下的表达式为通常化为先对再对

后对

的三次积分.例7计算其中

是由锥面

与平面所围