高等数学教程　下册　第4版 课件 9.3 空间曲面和曲线

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义:9.3空间曲面和曲线9.3.1空间曲面方程(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程;(1)曲面上任一点的坐标都满足方程;如果曲面与三元方程有下述关系:而曲面S称为方程的图形.

那么,方程就称为曲面S的方程,解由题意,有所求方程为特别地,球心在原点的球面方程为即设是球面上任一点,例1

建立球心在点半径为

R的球面方程.球面的一般方程为经配方,可化为球面的标准方程.例如配方后得例如与分别表示上、下半球面.定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称母线.称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在一条平面曲线母线轴作坐标轴.平面取作坐标面,旋转轴取将代入得所求方程为例2求

yOz坐标面上的已知曲线绕

z轴旋转一周的旋转曲面方程.(2)点M到z轴的距离解xOz坐标面上的已知曲线绕

x轴旋转一周的旋转曲面方程为绕

y轴旋转一周的旋转曲面方程为同理:yOz坐标面上的已知曲线解

圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为

的圆锥面的方程.转轴为z轴,面上直线方程为例3直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式与分别表示开口朝上与朝下的半锥面.曲面研究的另一个基本问题:根据曲面方程研究曲面的图形.一般来说方程F(x,y,z)=0的图形不容易直接得到,但如果取定x、y、z中的某个变量，与平面z=z0的交线.时，的全貌.例如

z=z0

为常数它是曲面F(x,y,z)=0F(x,y,z0)=0就是一条曲线，我们可以通过这些交线了解曲面这种方法称为截痕法.定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.所形成的曲面称为柱面.移动的直线L

准线母线柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：(其他类推)在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,其准线为xOy面上的曲线C.通过坐标系的旋转和平移,其一般方程为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.我们可以把二次曲面的一般方程化为标准方程.1.椭球面用平行于坐标平面的平面去截椭球面(必须相交)所有截痕(或称截口曲线)都是椭圆.2.单叶双曲面xyoz用平面z=z0

截割该曲面时，所有的截痕曲线都是椭圆，用平面x=x0

或y=y0

截割该曲面时，截痕曲线是双曲线3.双叶双曲面xyo4.二次锥面二次锥面与平面z=z0(非零)的截口曲线都是椭圆,而与平面x=0或y=0的接口曲线都是一对直线.特例：圆锥面.直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角称为圆锥面的半顶角.(与

同号)5.椭圆抛物面zxyoxyzo特殊地:当

时,方程变为旋转抛物面分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.例如与(与

同号)(马鞍面)设图形如下:6.双曲抛物面马鞍面与平面z=0的截口为对直线，与平面z=z0≠0截口曲线都是双曲线。而与平面x=x0

或y=y0

的截口曲线都是抛物线空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线方程例4

方程组表示怎样的曲线?解表示圆柱面,表示平面,交线为椭圆C例5

方程组表示怎样的曲线?解上半球面(如图)圆柱面(如图)交线为蓝色部分(如图)称为空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点全部点.消去变量z后得:——曲线关于xOy的投影柱面.设空间曲线C的一般方程:投影柱面的特征：此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、

C母线垂直于所投影的坐标面.例6设一立体

由上半球面解半球面和锥面的交线为的投影.所围成,求它在xOy面上和锥面类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.yOz