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文档简介

第九章

空间曲线与空间曲面9.1空间向量及其运算在空间取定一点O,作三条互相垂直的数轴,竖轴它们都以O为原点,三个坐标轴的正方向符合右手系.坐标轴.即以右手握住

z轴,x轴以角度转向正向y轴时,大拇指的指向称为空间直角坐标系这三条轴统称为纵轴就是z

轴的正向.横轴ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间直角坐标系共有八个卦限.Ⅶ任意两个轴所确定的平面称为坐标面.空间的点P点的P坐标其中x、y、z分别称为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标.为空间两点,则空间两点间距离公式为向量:既有大小又有方向的量.向量表示:零向量:模为0的向量,向量的模:向量的大小.单位向量:模为1的向量.或或或为终点的有向线段.以

为起点,记作分别表示与x轴、y轴和z轴同方向的称为基本单位向量.空间直角坐标系中,用记作如果两个非零向量与的方向相同或相反,则称向量与平行,

记作相等向量:单位向量,大小相等且方向相同的向量.称

设向量是以为起点，

为终点，为终点，向量是以坐标系原点O为起点显然为向量的坐标,并记定义9.1(向量的加法)

设向量称为向量与的和,记作这种做两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则.任取一点A,作向量再以B为起点,作向量

连接AC,则向量注意到

有称为向量按基本单位向量的分解式称为向量在x轴、y轴和z轴上的分向量,

称为向量在x轴、y轴和z轴上的投影.设向量定理9.1

向量的加法满足下列运算律(1)交换律(2)结合律定义9.2(向量与数的乘法)定义为实数,称为向量与实数的数乘.设向量定理9.2向量的数乘满足下列运算律(1)结合律(2)第一分配律(3)第二分配律特别地,记

显然,

称为的负向量,同方向的单位向量.非零向量与三个坐标轴正向的夹角称为非零向量

的方向角.方向角的余弦叫做向量的方向余弦非零向量的方向余弦为且解例9.1设已知两点计算向量

的模、方向余弦和方向角.定义9.3(向量的数量积)

设为向量,是它们夹角.

称为向量

与的数量积,即设为向量,则向量

在向量的上一般地,的投影为向量的数量积有明确的物理意义：

沿直线从点则力所做的功为移动到点当物体在常力作用下,定理9.3数量积满足下列运算律(1)交换律(2)分配律(3)关于数因子的结合律

其中为任意实数.

则

数量积的坐标表达式设向量故

数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量垂直的充要条件为设向量两向量垂直的充要条件解例9.2设已知三点且求的夹角.所以

例9.3设液体流过平面S

上面积为A

的一个区域,液体在这个区域上各点处的流速均为(常向量)v,设向量n

为垂直于S

的单位向量,计算单位时间经过这区域流向n

所指一侧的液体的质量(液体的密度为)解单位时间内流过此区域的液体组成一个底面积为A,斜高|v|的斜柱体.这个柱体的斜高与底面的夹角就是v

与n

的夹角.

体积为单位时间内经过这个区域流量n所指一方的液体的质量为设为向量,向量

与的向量积.定义向量的模为方向按右手规则从转向来确定,

称为向量积的几何意义

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