专题10函数的基本性质（4个知识点7种题型）（原卷版）

专题10函数的基本性质（4个知识点7种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.函数的单调性知识点2函数的单调区间知识点3.函数的最大（小）值知识点4.函数奇偶性的定义【方法二】实例探索法题型1.单调性定义的理解题型2.确定函数的单调区间及单调性题型4.函数的最大（小）值的判定及求解题型5.函数的最大（小）值的应用题型6.函数奇偶性的判断题型7.函数奇偶性的应用【方法三】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.函数的单调性增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示知识点2函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点3.函数的最大（小）值函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标知识点4.函数奇偶性的定义函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称【方法二】实例探索法题型1.单调性定义的理解【例1】证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．【变式】试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．题型2.确定函数的单调区间及单调性【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【变式】(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．【例3】(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．题型4.函数的最大（小）值的判定及求解【例4】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．【变式】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求f(x)的最大值、最小值．【例5】已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．【变式】求函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在[1,4]上的最值．题型5.函数的最大（小）值的应用【例6】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【变式】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？【例7】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．题型6.函数奇偶性的判断【例8】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))【变式】下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq\f(1,x2)；④f(x)＝x＋eq\f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．题型7.函数奇偶性的应用【例9】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．【变式】如图是函数f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【例10】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.【变式】若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·浙江台州·高一路桥中学校考阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．85．（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知是定义在R上的函数，且的图像关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2023秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（

）A． B．C． D．10．（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）下列结论中，所有正确的结论有（

）A．若，则B．当时，的最小值为C．若，则的最小值为D．若，，则11．（2023秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．函数的定义域可以是空集B．函数图像与y轴最多有一个交点C．函数的单调递增区间是D．若，则定义域、值域分别是，12．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．是上的奇函数D．若，则三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则．14．（2023秋·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考阶段练习）函数在区间上具有单调性，则的取值范围为．15．（2023秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为.16．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为.四、解答题17．（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式．18．（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）已知，．(1)若，判断的奇偶性．(2)若是单调递增函数，求的取值范围．(3)若在上的最小值是3，求的值．19．（2023秋·江西宜春·高一江西省宜春中学校考阶段练习）设函数.(1)解关于x的不等式；(2)当，时，记不等式的解集为P，集合.若对于任意正数t，，求的最大值.20．（2023秋