高中数学-平面向量的分解定理教学设计学情分析教材分析课后反思

课题名称：8.3平面向量的分解定理(第一课时)

课型：新授课

一、教学目标

1.理解和掌握平面向量的分解定理；

2.掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的

概念，并能够用基表示平面内的向量；

3.根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究

向量分解的必要性.

4.经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能

力、体会化归思想.

二、教学重点及难点：

1.教学重点：平面向量分解定理的发现和形成过程；

2.教学难点：分解唯一性的说明.

三、教学用具准备

电脑，活动单，互动课堂等.

四、教学过程设计

(-)旧知回顾

前面我们学习了向量的加减法及数乘运算，请同学回答黑板上

的题目.

1.如图，在平行四边形ABCD中，记那心舂微工工则

2.两非零向量善谓平行的充要条件:

展示“活动一”，体会向量的合成.

（二）设置情景，引入课题

L观察

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量,

反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？

下面让我们来看一个实例：

实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线

OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分

解为AO与BO所受的拉力F1和F2.

思考：从这个实例我们看到了什么？

答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.

(三)探索探究，主动建构

概括讨论，提出新问题：

____________gT

如果向量微，出是同一平面内的两个不平行的向量，森是该平面内

的一个非零向量，是否能用向量或，霰表示向量&?

数学实验1

1.实验设计：

(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行

向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解

是否是唯一的？

(2)实验报告：(由学生发言)分解步骤，得到结论可以分解，且分

解的长度和方向唯一的.

师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系

表示出来？

2=入通1+入202.

生：或露是不平行向量，建是平面内给定的向量，在平面内任取

一点。

(1)作次二就，OB=e^,OC=e^.

(2)过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；

(3)过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；

(4)四边形OMCN为平行四边形，由向量平行的充要条件可知

存在实数乙，”,使得OM=^iOA,ON=A2OBA2,则

OC—a-OM+ON=%g+40.

2.探究结果

几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向

量的线性组合，即，且分解是唯一的.

代数角度：说明唯一性：

证明：

⑴当d=6时，6=0•可+0•瓦

(2)当6时，

假设存在乂H及、入"也使得,=入；•可+为•可，

；d=%•可+入2.瓦

则有入；•可+入介石=%•可+%•五

即(乙一入。区+(%一人分冕=6

由于可、与不平行，

故A一入I=0,几2—入；=。,

即入；=%,&=42与假设矛盾.，假设不成立

综上，及、乙唯一性得证.

3.概括得出定理：

平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么

对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

我们把不平行的向量或廊叫做这一平面内所有向量的一组基.

4.定理理解

请学生讨论后回答下列问题.

(1)向量相国能否是零向量？

不能

(2).什么样的两个向量可以作为基？

不平行

(3)一个平面有几组基？

无数组

(4)已知与霰是平面内的两个不平行向量

①若a〃久，则5=•瓦+一•瓦

②若益〃石,贝%=•瓦+—•瓦.

(帮助学生更好理解定理)

5.定理应用

学生完成“活动二”，展示同学画图结果.

(通过“活动二”，学生的动手作图能力得到提高，更好地理解定

理)

(四)例题分析

例1(教材P66.例2)如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交

于点M,且AB="D=b,分别用g、b表示AM、MB、MC和MD.

解：在平行四边形ABCD中，

.AC=AB+lj)=a+b,D

DB=AB-AD=a—h,C

/.MA=——AC=——（a+b）=—a——b,

2222

--*X--*1—f1—1f

・•.MB=—DB=—（a-b）=—a——b,

2222

,~MD=-MB=~-~DB=~-a+-b

222

注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量

（2）平行四边形法则简化为三角形法则.

练习：学生完成活动单“变式”，一名学生板演.

思考：由例1和变式思考平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作

为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？

（五）课堂小结：

1.平面向量的分解定理.对分解定理的理解：平面里的任何一个

向量都可以用两个不共线的向量来表示.这是应用向量解决实际问

题的重要思想方法.

2.从基的角度认识几何图形，能够在具体问题中适当的选取基,

使其它向量都能够统一用这组基来表达.

（六）作业布置

1.练习部分8.3

2.预习课本例3,并思考：

如下图，O是直线AB外一点，由平面向量分解定理得

0P=入1,0A+入20B,%、

满足什么条件时，A、B、P三点共线?

五、教学设计说明

本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.

在课堂设计上做一种新的尝试，把数学实验带入课堂，让学生通

过实验探究定理的内容.课堂组织形式比较新颖，引起学生的学习兴

趣，激发学生的求知欲，学生们积极的参与了整堂课的学习过程.

通过实验的制作，培养了学生的动手作图能力，通过学生对实验

结果的讨论，培养学生的抽象概括能力，语言表达能力.

学生在原有知识的基础上，自主建构自己新的知识结构，充分体

现了学生为主体，教学为主导的建构主义教学观.学生的学习效果很

好，基本上掌握分解定理的实质内容，并能把定理的思想应用到具体

的问题当中.

学情分析

本节课的授课对象是普通中学的高二学生。该年级的学生已经学

习了向量的基本概念、基本运算（加减法、数乘运算），以及向量平

行的充要条件；学生对向量的物理背景有了初步的了解，如：力的合

成与分解，都为学习本课作了充分准备，具备了进一步探究的能力。

效果分析

本节课运用了“合作探究、分层递进教学法”，使学生在个人自主

学习、小组合作探究、全班互相交流、教师点评总结的交互推动下，

主动学习，积极参与，全面合作，广泛交流。教师营造了民主、平等、

互动、开放的学习、交流氛围，较好地发挥了促进者、指导者和合作

者的作用，引领学生通过对各类有层次的问题的思考、探究、交流、

解决、反思、总结，提炼出了几种重要的数学思想方法，不断培养学

生的数学思维能力，提高学生运用知识分析问题、解决问题的能力。

整个教学过程把教学设计中的基本内容、基本方法、基本问题有机地

融合在了一起，形成交互的三条线：知识线、问题线和思想方法线，

最后是通过师生合作交流，总结出这三条线。使学生在教师的引导下

对知识、对思想方法自主建构。通过本节课的学习，绝大多数同学都

能够理解平面向量分解定理的内容及推导过程，并且能够用基来表示

平面上的任一向量。

教材分析

本节课选自上海教育出版社高二第一学期第八章8.3平面向量的

分解定理，本部分内容应分为两课时（第一课时新授课，第二课时习

题课）。

向量是沟通代数、几何的一种工具。向量有着非常直观的几何意

义，是数与形的完美结合。一方面，它可以把几何问题转化为坐标的

代数运算；另一方面，它还可以结合图形对向量的有关问题进行分析

求解。

平面向量的分解定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两

个不平行向量的线性组合，而且这种表示唯一。该定理以共线向量为

基础，通过一个向量在其他两向量上的分解，说明了该定理的本质。

在教学时，不必严格证明该定理，只要学生理解并会应用该定理就可

以了。

在上海教育出版社的教材中平面向量的分解定理在向量的坐标表

示之后，为了让学生更好理解正交分解，在授课时进行了顺序调整，

先学习分解定理，将正交分解作为分解的一种特殊情况，在之后进行

学习。

8.3平面向量的分解定理活动单

活动一向量合成

例1如图8-12,已知向量4扃，求作向量使得G=-鼠+坛「

活动二向量分解

如图，设两个不平行的向量不高，）是平面内的任一向量，

试将向量"分别分解！到"与两个方向上.

1

fo1111h

/「Y」

Ji：：勺7i

1611iII14i||IlliI

a0+电。=电

=_0+_e2a=___C[+

活动三平面向量分解定理

平面向量分解定理：

我们把的向量,叫叫做表示这一平面内所有向量的一

组—.

证明：

活动四定理理解

1.向量贰国能否是零向量？

2.什么样的两个向量可以作为基？

3.一个平面有几组基？

4.填空：已知砧说是平面内的两个不平行向量,

(1)若0,则0=0+%.

(2)若〃电，贝(J♦=%+・

活动五平面向量基本定理的应用

例2如图8-14,平行四边形J5C0的对角线XC和交于点时,

AB=a,AD=b,

试用基表示AM,育画口砺.

变式.记K为入而为