2022-2023学年广东省汕头市高三年级上册期末考数学试卷含详解

汕头市2022〜2023学年度普通高中毕业班教学质量监测试

题

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合II兀集合11则以下命题为真命题的是（）

A.BxeA,xeBB.B,xiA

C.VXGA,X^BD.VxeB,x^A

2已知复数z满足（l+2i）z=2+i,则|z|=（）

A.—B.1C.J5D.5

5

3.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代

表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）

J/分■甲▲乙

120-----------------------------------

O123456x/次

A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差

B.甲成绩第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数

C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数

D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差

4.已知等差数列｛4｝且3（%+%）+2（%+40+阳）=48,则数列｛为｝的前13项之和

为（）

A.24B.39C.104D.52

5.已知某运动员每次射击击中目标的概率是P,假设每次射击击中目标与否互不影响，设

J为该运动员几次射击练习中击中目标的次数，且E©）=8,。©）=1.6,则，值为

()

A.0.6B.0.8

C.0.9D.0.92

6.如图1,水平放置的直三棱柱容器A5C-AgG中，AC±AB,AB=AC=2,现

往内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边A8固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜

则容器的高力为（）

A.3B.4C.472D.6

7.（x+3y）（x—2y）6的展开式中丁丁的系数为（)

A.60B.24C.-12D.-48

71

8.如图为函数/(x)=2sin(s+o)69>0,0<(P<—的部分图象，则（）

2

2兀

B.对任意的xeR,都有

C.函数/（X）在区间［o,5兀］上恰好有三个零点

71

D.函数/X--是偶函数

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得。分.

9.已知同一平面内的两个向量2=（3,—1）,5=（1,一2）,则（）

fV5_雪

A.与B同向的单位向量是B.4力不能作为该平面的基底

c.1和B的夹角是囚D.1在石上的投影向量等于5

4

10.为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好

是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：

性别

体育合计

男性女性

喜欢280P280+p

不喜欢q120120+q

合计280+q120+p400+p+q

附：上国段Me'

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

7

已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的正，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的

3

―,则下列说法正确的是()

5

A.列联表中q的值为120,p的值为180

B.随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼

C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异

D.根据小概率值a=0.001的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异

11.直四棱柱ABCO-AgCQ中，AB//CD,ABYAD,

AB=2AZ)=2OC=2。，=4.()

A.在棱4B上存在点P,使得。P//平面ABG

B.在棱BC上存在点P,使得AP//平面A3。

C.若尸在棱AB上移动，则AOLRP

D.在棱上存在点P,使得。p_L平面480

12.已知函数/(x)=Y—2d—4x—7,其导函数为y=/'(x),下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)的单调减区间为(一|,2)

B.函数y=/(x)的极小值是一15

C.当a＞2时，对于任意的X＞。，都有＜/(a)+/"(a)(x-a)

D.函数y=/(x)的图像有条切线方程为y=3x—1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且S；=7,56=63,贝1"9=.

14.已知长方形ABCZ)中，A8=4,BC=3,则以A、B为焦点，且过C、。的椭圆的离心

率为.

15.写出符合如下两个条件的一个函数/(x)=.①/(一x)—/(x+2)=0,②

/(%)在(一8,0)内单调递增.

16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆

形纸片直径AB=20cm,需要剪去四边形CEC|O,可以经过对折，沿。C,EC裁剪，展

开就可以得到.

已知点C在圆上且AC=10cm,NECD=30°.则镂空四边形的面积的最小值

为cm2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知数列｛q｝的前〃项积为北，且a“+27；=l,HGN*.

(1)求证：数列，是等差数列；

(2)求数列｛Ina,,｝的前〃项和S,.

18.设锐角三角形ABC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,已知

a=hcosA-acosB.

(1)求证：B=2A；

hA-c

(2)求——取值范围.

a

19.如图，在三棱柱ABC-A4c中，平面平面A4乃乃，且NA4,旦=6()。,

AB=2，AC=AA,=AC1=4.

(1)求平面AgC1与平面ABga夹角的余弦值；

(2)求三棱柱ABC-44G的高儿

20.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前

卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.

场上位置边锋前卫中场

出场率0.50.30.2

球队胜率0.60.80.7

(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率;

(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率;

(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由.

21.已知函数/(x)=lnx-/CM；2+(a-l)x,tzeR.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)曲线y=/(x)上是否存在不同两点A(%，x)、8(%,%)，使得直线4B与曲线

了=/(%)在点(笠殳,/(然金)处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存

在，请说明理由.

22.已知椭圆6：9+丁=1的左、右顶点分别为A、A”上、下顶点分别为用、B2,

记四边形的内切圆为。2,过椭圆G上一点T引圆G的两条切线(切线斜率存在

且不为0),分别交椭圆G于点P、Q.

(1)试探究直线TP与7。斜率之积是否为定值，并说明理由；

(2)记点O坐标原点，求证：P、。、。三点共线.

汕头市2022〜2023学年度普通高中毕业班教学质量监测试

题

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合II兀集合11则以下命题为真命题的是（）

A.BxeA,xeBB.B,xiA

C.VXGA,X^BD.VxeB,x^A

【答案】A

【分析】利用集合的关系分析即可.

【详解】由题知，集合A={x|xN0},集合8={x|x>l},

所以8是A真子集，

所以玉GA,xeB或玉GA,或VxeB,xeA,

只有A选项符合要求，

故选：A.

2.已知复数z满足（l+2i）z=2+i,则|z|=（）

A.£B.1C.V5D.5

【答案】B

【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解.

2+i(2+i)(l-2i)4-3i.,_V25_,

【详解】由题意z=l+2i=(l+2i)(l-2广5'所则=4-3i

55

故选：B.

3.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代

表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）

分.甲▲乙

120---------------------------

90

■▲

60.----------------------

▲▲▲

30---------------------------

O123456x/次

A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差

B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数

C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数

D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差

【答案】B

【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.

【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于

乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；

将甲成绩进行排序，又6x25%=1.5,故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25

百分位数，估计值为90分，

将乙成绩进行排序，又6X75%=4.5,故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第

75百分位数，估计值大于90分，

从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；

甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.

故选：B

4.已知等差数列｛a,｝且3（4+%）+2（/+4O+43）=48,则数列｛&｝的前13项之和

为（）

A.24B.39C.104D.52

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得知+6。的值，再由等差数列前〃项和等差

数列的性质即可求解.

【详解】由等差数列的性质可得：/+%=2。4，%+qo+%3=3%0，

所以由3（4+。5）+2（q+am+阳）=48可得：3x24+2x3qo=48,

解得：a4+al0=8,

所以数列｛4｝的前13项之和为

c_13（q+《3）_13（/+%o）_13Q_S

13222

故选：D.

5.已知某运动员每次射击击中目标的概率是P,假设每次射击击中目标与否互不影响，设

J为该运动员"次射击练习中击中目标的次数，且Ee）=8,力©=1.6,则P值为

()

A.0.6B.0.8

C.0.9D.0.92

【答案】B

【分析】由自服从根据二项分布的均值和方差公式列式求解.

E记)==8p-0.8

【详解】由题意所以《，解得《

=np(l-p)=1.6n=10

故选：B.

6.如图1,水平放置的直三棱柱容器ABC-A4G中，AC±AB,AB=AC=2,现

往内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜

到某一位置时，水面形状恰好为三角形ABC，如图2,则容器的高"为（)

C.4亚D.6

【答案】A

【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.

【详解】在图1中匕衣=gx2x2x2=4,

1114

在图2中，K小k=匕Aoc-4”一匕c_/,1i|R£>|ct|~_2x2x2x/z—3x_2x2x2x/z=_3h,

4

_h=4,/z=3.

3

故选：A.

7.Cx+3y）（x—2yN的展开式中"y的系数为（）

A.60B.24C.-12D.-48

【答案】B

【分析】首先写出(x-2y)6展开式通项，再考虑通项与x+3y相乘得到含炉产的项，即

可得系数.

【详解】由(x—2y)6的展开式通项为却=2产，(_2))「=(—2)'C06-y,

所以(x+3y)(x-2y)6的展开式V＞2项为［g：-6C：］•%5y2,

故系数为4C；-6C：=24.

故选：B

8.如图为函数/(x)=2sin(s+。)(刃＞O,O＜0＜］］的部分图象，则()

3兀

O\

-1

A.函数/(x)的周期为4兀

B.对任意的xeR,都有

C.函数“X)在区间［0,5可上恰好有三个零点

D.函数/｛x—f］是偶函数

I4J

【答案】C

【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误;

B选项,=2sin—^2,B错误;

57111兀17兀

C选项,整体法得到+F=｛兀,2兀,3无｝,计算出x，C正确;

36彳，丁，丁

=2singx为奇函数，D错误.

D选项，计算出了

3冗

【详解】从图象可看出“X)的最小正周期为丁=1^2=3兀，

2兀2

因为勿＞0,所以——=3无，解得：«=-,

故A错误;

/(x)=2sin(gx+/),代入(0,1),

2sin0=l,

因为0<*苦，所以0=看

(2兀

故/(无)=2sin

(—3x+—6

2兀2

=2sin|-X—2n+-71|=2sin—^2,

33618

2兀

故不满足对任意的xeR,都有，B错误;

,2兀兀7兀

xe[O,57i]’则5九+7*6'T

36

27T5兀11兀17兀

由/(X)=。可得：-X+—={^,271,371},可得：X=

了,丁，丁

故函数/(x)在区间［0,5句上恰好有三个零点，C正确;

71712

=2sin-X——+—2sin§x,为奇函数，D错误.

346

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.已知同一平面内的两个向量益=(3,—1),^=(1,-2),则()

也,时不能作为该平面的基底

A.与5同向的单位向量是B.

C.々和B的夹角是:D.M在5上的投影向量等于5

【答案】ACD

b

【分析】A选项，利用M进行求解;

B选项，求出M=(3,—1)与5=(1,—2)不平行，从而B错误;

C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解;

a-hh

D选项，利用-厂后求解.

\b\\b\

【详解】^=(1,-2),|^|=>^+4=V5,

则与5同向的单位向量是1=°携=（骼，—乎，A正确;

3x（-2）-lx（-l）^0,故之=（3,—1）与万=（1,一2）不平行，且为非零向量,

故佚时可以作出该平面的基底，B错误；

(3I)Q-2)5_V2

J9+1xJ1+4

因为,所以,®=：,

故1和5的夹角是:，c正确;

a-hb5h-

日在日上的投影向量等于下］",同=忑,十=人，D正确.

故选：ACD

10.为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好

是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：

性别

体育合计

男性女心匕

喜欢280P280+p

不喜欢q120120+q

合计280+q120+p400+p+g

n^ad—bcy

附:2n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

7

已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的历，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的

3

《，则下列说法正确的是()

A.列联表中g的值为120,p的值为180

B.随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼

C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异

D.根据小概率值a=0.001的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异

【答案】ACD

【分析】根据题意求出<7、P，补全2x2列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出长2,结

合独立性检验的思想依次判断选项即可.

7

【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的丁，

3

女生喜欢该项运动的人数占女生人数的g,

73

则280=而(280+幻,p=_(120+p),解得q=120,〃=180,故A正确;

B：补全2x2列联表如下：

男性女性合计

喜欢280180460

不喜欢120120240

合计400300700

所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为尸=—a65.7%,故B错误:

“2n(ad-hc)2700(280x120-180xl20)2”

C：K=-----------------------=------------------------a7.609,

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)460x240x400x300

而6.635<7.609<10.828,

所以根据小概率值a=0.01的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异

D：由选项C知，根据小概率值a=0.001的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有

差异.

故选：ACD

11.在直四棱柱—中，AB//CD,AB±AD,

AB=2AD=2DC=2DDX=4.()

A.在棱AB上存在点P,使得AP//平面ABQ

B.在棱BC上存在点P,使得RP〃平面48a

C.若尸在棱AB上移动，则AO_L〃P

D.在棱44上存在点P,使得。尸_L平面45G

【答案】ABC

【分析】通过线面平行的判定定理来判断AB选项的正确性，根据线线垂直、线面垂直的

知识来判断C选项的正确性，利用向量法判断D选项的正确性.

【详解】A选项，当尸是AB的中点时，依题意可知GA〃OC〃PB，G。=OC=P8,

所以四边形。是平行四边形，所以"P〃C/,由于。PZ平面ABC-Cfu平面

\BC,，所以2尸〃平面,A选项正确.

B选项，设E是AB的中点，P是6C的中点，由上述分析可知"E〃平面48G.由于

PE//AC//A.C,,~£«平面48。1,4Gu平面ABG，所以PE〃平面为8£.由于

REcPE=E,所以平面。/£〃平面43£,所以。P〃平面.B选项正确.

C选项，根据已知条件可知四边形AOA4是正方形，所以由于AB_L4Z

AB±AAt,ADoAA,=A,所以AB工平面4。。小，所以ABJ.4。.由于

D}A^AB=A,所以4O_L平面ADf,所以A。，RP.C选项正确.

D选项，建立如图所示空间直角坐标系，A(2,0,2),8(2,4,0)，G(0,2,2),

---z、------,、n/cc、「cf力户•AB=4f-4=0

AB=（0,4,-2），ACl=（-2,2,0）,^P（2,r,2）,re[0,4].|_?_L,=_4+^=o此方

程组无解，所以在棱A冏上不存在点P,使得。p,平面A/G.D错误.

故选：ABC

12.已知函数/(x)=d-2f—4%—7,其导函数为y=/'(X),下列说法正确的是(

A.函数〉=/(%)的单调减区间为

B.函数)=/(x)的极小值是一15

C.当a>2时，对于任意的x>。，都有/(x)</(a)+/'(a)(x-a)

D.函数y=/(x)的图像有条切线方程为y=3x-l

【答案】AB

【分析】对函数/(x)=V—2x2-4x—7进行求导，对A令/'(x)<0即可解决问题；

B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发

反向分析即可得答案.

【详解】因为/(x)=N--4x-7

2

所以f'(x)=3x2—4x—4<0,——<x<2,

所以/(X)的单调减区间为1-g，2),

故A正确.

令/'(X)=3尤2—4x—4>0,

则尤<一2或x>2

3

所以/（X）在（2,”）单调递增

在（-单调递减

I3J

所以函数的极小值为/（2）=-15,

故选项B正确；

由/'（。）=3片一4。一4,

若〃%）<〃a）+r（a）（x-a）

即x3_4-2（x2<（3a2-4a-4j（x-<2）

x:+H+QX—2（x+a）—4<3u~~4tz—4

o（x-a）［x+2（a-l）］<0

ox+2（a—1）<0矛盾，

故选项C错误.

=3f-4x-4=3,

7

解的户一1或一，

3

当户一1时切点（一1,一6）不在y=3x—1上

7（7392、

当时切点一~三J不在y=3x-l上，

故选项D错误，

故选:AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,且$3=7,$6=63,则Sg=.

【答案】511

【分析】利用等比数列的性质可得S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，代入数据即可求解.

【详解】因为等比数列中s“,s2„-s„,sin-s?”…成等比数列，

所以S3，S6-S3，S9-S6成等比数列,

所以出6-S3）2=S3（S「S6），

2

BP（63-7）=7X（S9-63）,解得:59=511.

故答案为：511

【点睛】本题考查等比数列性质的应用，熟练掌握各个性质，可大大简化计算步骤，节约

时间，提高正确率.考查计算化筒的能力，属基础题.

14.已知长方形48co中，AB=4,BC=3,则以A、B为焦点，且过C、。的椭圆的离心

率为.

【答案】g##0.5

【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c,即可得到椭圆的离心率.

【详解】由题知，2c=A6=4,解得c=2,

AC^ylAB2+BC2=V42+32=5'

由椭圆的定义知：2a=AC+BC=5+3=8,解得a=4,

c2I

所以椭圆的周心率e=———.

a42

故答案为：.

15.写出符合如下两个条件的一个函数/(%)=.①/(一力一〃x+2)=0,②

“X)在(—8,0)内单调递增.

【答案】-f+2x—1(答案不唯一)

【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可.

【详解】•・•/(-x)-/(x+2)=0

・・•/(2-x闫(x)

...函数的图象关于x=l对称，

又••,函数(—8,0)内单调递增，

.•.符合条件的一个函数解析式可以是：f(x)=-x2+2x-l(答案不唯一).

故答案为：一/+2%—1(答案不唯一).

16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆

形纸片直径A3=20cm,需要剪去四边形CEG。，可以经过对折，沿。C,EC裁剪，展

开就可以得到.

已知点C在圆上且AC=10cm,ZECD=30°.则镂空四边形的面积的最小值

为cm2•

【答案】150(2-73)

【分析】由对称性可得SCECQ=2SE),所以求△CEO面积的最小值即可，设

CE=a,CD=b,ED=c,根据A6=20,AC=10,NECD=30°可得NC4E=60°,根据

△CED的面积公式可得a,b,c的关系，再根据基本不等式即可求△CEO面积的最小值.

【详解】由对称性可得SCEC、D=2SCED，所以求MED面积的最小值即可，

如图所示，设。为圆心，连接AC,作CGLAB于G,

由题意AC=AO=OC=10,所以NOAC=60°,所以，

设CE=a,CD=b,ED=c,由面积公式S=,。匕5皿30°=！。・。6得

ab=106c，

22

由余弦定理B="2+、-2可得拒帅=a+b--，

22ab300

又根据基本不等式可得6ab=a2+b2-->lab--，即"N300(2—百)，

300300

当且仅当a=b=)300(2-百)时取等号，

所以S.CED75(2一百)，

所以四边形CEG。的面积的最小值为150(2—Ji)cm2,

故答案为：150(2-73)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知数列｛为｝的前〃项积为北，且％+27；=1,〃N*.

(1)求证：数列，是等差数列;

kJ

(2)求数列｛In4｝的前"项和S..

【答案】(1)答案见解析

【分析】(1)利用等差数列的定义即可求解;

(2)利用裂项相消法即可求解.

【小问1详解】

.•数列｛凡｝的前〃项积为刀，

4=4,*=%出…%'&i=4a2•••〃〃+】

•a=^-

••Un+\_y,

・"+24=1，

，〃=1时，q+27]=1,即4+2%=1,解得工=q

3

***an+\+2&i=1

冬+2(+1=1,即zr-一~=2.

'〃+1

11Ic

故数列《TTb是以了=3为首项，以2为公差的等差数歹|J.

【小问2详解】

由(1)知"=3+(〃_l)x2=2〃+l,

1n

所以＜=)不，所以q=7=2牛"=|='

2几+1Tn_x12九+1

2〃-1

?n-1

因此，Inq=In—~-=ln(2/2-l)-ln(2n+l),

所以S〃=Ina}+In%+Ina3+•••+Inan,

即Sn=lnl-ln3+ln3-ln5+ln5-ln7+**»+ln(27?-l)-ln(2n4-l)

化简得：S„=ln--.

2〃+1

18.设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知

a-bcosA-acosB.

(1)求证：B=2A；

(2)求—hA-c■的取值范围.

a

【答案】(I)证明过程见解析.

(2)(72+1,73+2)

【分析】(1)利用正弦定理及积化和差得到sinA=sin(3—A),结合角的范围，得到3=2A；

(2)利用正弦定理得至ij"=4(cosA+,、

-，根据三角形为锐角三角形，得到

a\4；4

cosAe＞从而求出取值范围.

【64)I22J

【小问1详解】

a=bcosA-acosB,

由正弦定理得：sinA=sinBcosA-sinAcosB,

由积化和差公式可得:

sinA=-sin（B+A）+—sin（5-24）--sin（/4+B）--sin（A-5）=-sin（Bsin（A-B）

2222

因为5sin（A_6）=——sin—A）,

所以sinA=sin(3—A),

因为三角形ABC为锐角三角形，故

所以8—Ae

故A=8—A，即3=2A；

【小问2详解】

由Q)知：B=2A，

由正弦定理得：

/?+c_sin3+sinC_sin2A+sin(8+A)_sin2A4-sin3A

———,

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA,

因为sinAwO,

所以"£=2si"8s4+2sinAcos"+cos2AsinA=2cosA+2cos?A+cos2A

asinA

(1Y5

=2cosA+2cos92A+2cos2A-l=4cos2A+2cosA-l=4cosA+-，

I4j4

由3=得：

由C=TC-A—8=兀-3AW(0,5),解得4d蓊)，

00s

结合可得：46后,()，Ae住用,

“[¥，等)上单调递增，

故c=4cosA+——*在cos/

a(^)4

所以+'=4COS2A+2COSA-lG\4xl+V2-l,4x-+^-l|,

aI24)

即的上e(夜+1,百+2).

19.如图，在三棱柱ABC-中,平面平面A41B乃，且444月=60。,

AB=2>AC=AA[=ACt~4.

小

明…衿G

//、X

//、、

//、、

//、、

r

(i)求平面AAG与平面ABAA夹角的余弦值;

（2）求三棱柱ABC-A4G的高儿

【答案】（1）好

5

⑵岖

5

【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出。E,A4,，a。两两垂

直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求出夹角的余弦值；

（2）在第一间的基础上，利用点到平面的向量求距离公式进行求解.

【小问1详解】

取A4的中点。，连接。G，£>4,在上取点E,使得4E=1,连接。£,

因为AC=A&=AG=4,所以AA4G为等边三角形，

故G。1AA1,

因为平面A4CC，平面AA用8，交线为AA|,CQu平面A4G。，

故C|O_L平面AAA8,

因为NAA|g=60°,Afi=2，AA|=4,

所以44=4。=2,

则VDA,B,为等边三角形，NADBt=60°,

因为"1//8耳，所以/5月。=/4。8]=60。，

在ABQE中，由余弦定理得：

222

DE=B1£+BlD-2B,EB1Dcos60°=l+4-2xlx2x^=3,

故DE=6

则。炉+月后2=用。2,

故DE_LB|E,则DE±A4,,

因为平面A4CC，平面交线为AA，QEu平面A44B,

所以。EJ_平面A4CC，故OE,A4,，C。两两垂直，

以短为坐标原点，。瓦。。|,。4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系，

则A,(0,0,2),B,(x/3,0,l),C,(0,2>/3,0),

设平面AB。1的法向量为m=(x,y,z),

玩T4=(x,y,z)•(百,0,—1)=也x-z=0

、«i-^q=(x,y,z)-(0,2V3,-2)=2^-2z=0，

令x=1,则z=6,y=1,

故而=(1,1,6),

平面的法向量为3=(0,1,0),

设平面46cl与平面ABB.A,夹角为0,

则平面44G与平面ABB}\夹角的余弦值

|m-n||(1,1,^)-(0,1,0)|亚

cos6=cos(m,n

/n|-|n|Jl+1+35

【小问2详解】

A点到平面4B1G的距离即为三棱柱ABC-44a的高h,

由(1)知：平面AgG的法向量为而A(0,0,-2),

|福T|(0,0,4).(1,1,V3)|

473_4715

故〃=■*―口一-=

-

\tn\Jl+1+3T/T5

20.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前

卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.

场上位置边锋前…中场

出场率0.50.30.2

球队胜率0.60.80.7

（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

（3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由.

【答案】（1）0.32

⑵—

17

（3）边锋，理由见解析.

【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率,

最后相加得到甲球员参加比赛时，球队高球的概率，再用1去减即可.

（2）根据条件概率的计算公式即可求解，

（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.

【小问1详解】

设A1表示“甲球员担当边锋”；4表示“甲球员担当前卫”；A?表示“甲球员担当中场“；B

表示“球队赢了某场比赛”，

则p（B）=p（A）尸（BIA）+P（4）P网4）+P（4）尸⑹4）

=0.5X0.6+03x0.8+0.2X0.7=0.30+0.24+0.14=0.68,

该球队某场比赛输球的概率为1-P（B）=1-0.68=0.32,

【小问2详解】

由⑴知:尸（8）=0.68

P(4叽03x0.86

所以P（4⑻

P(B)-0.6817

所以球员甲担当前卫的概率为9

【小问3详解】

0,5xQ.6_15

同⑵P（A|8）=

P(B)-0.68—三

由于尸（4I8）＞P（4I8）＞P（4I8）,所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.

21.已知函数了（力=此］一3^?+（Q-1）X,aeR.

（1）讨论/（X）的单调性；

（2）曲线y=/（x）上是否存在不同两点A（%，x）、8（%,%），使得直线4B与曲线

y=/（x）在点（国强殳））处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）答案见解析；

（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）求定义域，求导，分情况分类讨论，得到/（X）的单调性；

（2）利用直线A8的斜率与曲线y=/（x）在点竺”,/（土产7处的切线斜率相

I，\））

x,-x.M+X.

等,列出方程,化简整理得：肝氤==,再证明出

X,-xX,/、

IJ?玉工工2,恒成立，从而说明不存在这样的不同两点A（X],yJ、

inXj—in%22

3(孙力)•

【小问1详解】

/(x)=\nx-^a)r+(a-l)x定义域为(0,+8),

n../\1/\—6LV2+(。—1)X+1(—X+1)(CIX+1)

则/«)=——or+(Q_l)=-------——1——------八----二

XXX

当一：=i,即。=一1时，r（x）=（三小）-2

此时“X）在（0,+8）上单调递增,

当a<—1时，此时—：e(0,l),令/«x)>0得：xe[o