苏教版选择性必修第二册6.1.3共面向量定理-1练习

【优编】6.1.3共面向量定理-1优选练习

一.单项选择

1.如图，在四面体。ABC中，M.N分别在棱OA.BC上，且满足0M=2MA,BN=NC,点

G是线段MN的中点，用向量OX,OB,6c表示向量Oh应为（）

-1-1-1-

0G=-OA+-0B+-0C

A.344

-1.1.1,

0G=-OA—0B+-0C

B.344

T1-1T1-

0G=-OA—OB—OC

C.344

111

0G=-OA+-OB—0C

D.344

2.已知空间向量a=G，i,0),人=(x,—3,1),且4工人，则x=()

A.-3B.-1C.1D.2

3.已知向量"=(°「L2),'=(2,0,1),以以人为邻边的平行四边形的面积()

叵

A.回B.2

4.已知向量"=0,-3,1),则下列向量中与“平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)c(2,-3,5)>(-2,-3,-1)

II।.।

5.已知空间向量a=(3,l,0),b=(x,-3,l),且a,b,则x=()

A.-3B.-1C.1D.3

6.已知空间向量"=（3』,1）,"=3,0）,且66,则》=（）

A.-3B.-1C.1D.3

7.已知向量1t无是一组单位正交向量，前=①+3玄i=-f+5j-疝，则莉•八=（）

A.7B.-20C.28D.11

++

8.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则|abc|等于（）

A.0B.3C.&D.2也

9.在空间直角坐标系中，已知点0（1，2,3）,过点P作平面xOz的垂线PQ,垂足为Q,

则点。的坐标为（）

A.9,2,0）B.（0,2,3）二。，。⑶D（1,2,0）

++=.=2

10.已知。是△ABC内部一点，OAOBoco,ABAC且4BAC=60°,则AOBC的面积

为（）

和1

A.3B.2C.12D.3

-»

11.已知平面a内有一点M（1,-1,2）,平面a的一个法向量仁（2,-1,2）,则下

列点P在平面a内的是（）

A.（-M,0）B.（2,0,1）C.（2,3,3）D.（3,-3,4）

12.如图，空间四边形OABC中，OA=atOB=b,OC=cf且0W=2MA,BN=NC,

则MN等于（）

222

12,1

—a——b+—c

232

13.若向量”=(12-2),"=(-2,-4,4),贝响量“与b()

A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对

14.已知空间三点A(-2,2,l),B(-l,l,-2),C(-4,0,2),若向量3AB-R与AB+kAC垂直，则k的

值为()

A.1B.2C.3D.4

15.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是()

A.点P(1，T，O).<2(1.2,3)的距离为(1-1)2+(-1-2)2+(0-3)2=18

B.点4(-3,-1,4)与点8(3,-1,-4)关于y轴对称

C.点"-3,-1,4)与点8(3,-1,-4)关于平面xOz对称

D.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分

T_T->_-»-»_T

16.在空间四边形OABC中，OAa,OBb,occ,点M在线段OA上，且。M=2MA,N

为BC的中点，贝!|M愣于（）

112221

211.+匕\-2一+匕-4->**+****

A.3a2b2cB.2a3b2cC.2a2b3cD.3a3b2c

17.在空间直角坐标系中，点8是A(l，2,3)在)。z坐标平面内的射影，。为坐标原点,

则|OB|等于()

A.匹.屈'c.2百D.而

18.如果三点),)在同一条直线上，则()

Aa=3,b=2B。=6,力=—1

a=3,/?=—3a=—2,b=1

C.D.

参考答案与试题解析

1.【答案】A

1-1-12-11-_

0G=-0M+-ON=-x-0A+-x-(OB+OC)OG=-OA+-OB+-OC

【解析】222322,化简得到344,故选

A.

2.【答案】C

【解析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求

解x的值.

【详解】

由题意知，空间向量a=(3，i,0),b=(x,—3,l),且［_Lb,

所以a，b=0,所以3x+lx(—3)+0*l=°,即3x—3=0,解得x=l.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量

垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，

属于基础题.

3.【答案】A

【解析】先由向量夹角公式，求出小〃的夹角余弦值，从而得到正弦值，再由三角形

面积公式，即可求出结果.

【详解】

因为。=(0,-1,2),6=(2,0,1),

因此以°、匕为邻边的平行四边形的面积为

1x与=回

S=君

2

故选A

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量夹角的坐标表示，以及向量模的坐标运算即

可，属于常考题型.

4.【答案】B

【解析】根据向量平行的定义知4"与a平行，由此判断选项，即可求解.

【详解】

由题意,向量。=(2,-3,1),则44=(2/1,-2%㈤与a平行，

九=—2时，4a=(—4,6,—2)

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了共线向量的概念，以及向量的坐标表示，其中解答中熟记向量的共线表

示是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】根据空间向量的数量积等于0,列出方程，即可求解.

【详解】

II

由空间向量a=(3,l,0),b=(x,-3,l),

I,II11

又由a'b,即a'b=3x+lx(-3)+O，l=3x-3=0,解得x=1,故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据'a'b,利用向量的数量积

等于0,列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力.

6.【答案】C

【解析】由空间向量垂直的充要条件的坐标运算可得：3X+1X(-3)+1X°=O,运算即

可得解.

【详解】

解:因为向量"=(3,1/)，b=(x,-3,0),且a_Lb,

所以3x+1x(—3)+1x0=0

解得x=l,

故选C.

【点睛】

本题考查了空间向量的坐标运算及向量垂直的充要条件，属基础题.

7.【答案】C

【解析】向量/I丘是一组单位正交向量，所以m=m=南=1,♦7=了.=＞后=。，进

而根据数量积的分配率求解即可.

【详解】

向量Z工后是一组单位正交向量，所以|力=|7|=南=1,｝；=＞」=11=0.

m=Sj+3k,n=~i+5j—4^9

所以由-n=(8;+3/c)-(-t+5j-4/c)=40-12=28

故选c.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.

8.【答案】D

+=厂++2

【解析】由题意得abc,|c|=j2,故有|abc|=|c|,由此求出结果.

【详解】

->+TTT

由题意得，ab-c,且|"二立

~2T厂

.•/abc|=|c|=2j2,

故选：D.

【点睛】

本题考查两个向量的加减法的运算，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的

方法，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】由过点（X''z）作平面x°z的垂线，垂足的坐标为（乂0"）,即可求出结果.

【详解】

因为过点P作平面x°z的垂线PQ,垂足为0,所以可得产，。两点的横坐标与竖坐标

相同，只纵坐标不同，且在平面尤°z中所有点的纵坐标都是0,因为P（l'2,3）,所以有

2（1,0,3）

故选C

【点睛】

本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题型.

10.【答案】A

【解析】由&+加+&：=6可得点0为三角形的重心，故得AOBC的面积为AABC面积的

1

3.再根据ABAC=2得到|AB|」AC|=4,故可得△ABC的面积，进而得到所求.

【详解】

•/OA+OB+OC=0,

.・.OA+OB=-OC,

.•.点0为三角形的重心，

1

/.△OBC的面积为△ABC面积的3.

・.・AB-AC=|AB]•|AC|cos乙BAC=2,ZBAC=60°,

...AB|.AC|=4,

-lABl-lAClsin^BAC=

•••△ABC的面积为2,

g

，AOBC的面积为3.

故选A.

【点睛】

解答本题的关键是根据条件得到点O为三角形的重心，进而得到AOBC与△ABC的面积比,

然后根据三角形的面积公式求解，体现了向量具有“数”和“形”两方面的性质.

11.【答案】C

【解析】由题意，点P在平面内，可得麻P^=0,然后再验证答案，易知C选项可得

加=(1,4,1),此时而P%=0,得出答案.

【详解】

因为点M.P是平面内的点，平面的一个法向量4(2,-1,2),

所以而P%=0

对于答案C,(1,4,1)

此时点Pn=lx2+4x(-1)+1x2=0

故选C

【点睛】

本题主要考查了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为基础题.

12.【答案】C

.12

ON=-(OB+OC)OM=-OA

【解析】BN=NC,可得2,由可得3

可得MN=0N-0M,即可求出。

【详解】

___1_______2

：.ON=-(OB+OC):.OM=-OA

解：BN=NC，2,•.OM=2MA,3

:.MN=ON-OM=-(OB+OC)--OA=--a+-h+-c

23322,故选：c»

【点睛】

本题考查了空间向量的加减运算，属于基础题。

13.【答案】C

【解析】根据向量平行的坐标关系得解.

【详解】

一2-44,所以向量。与b平行.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

14.【答案】B

【解析】用点坐标表示出向量3点-血与AB+kAC,由向量垂直得到向量点乘等于零，计

算出k的值

【详解】

•••A(-2,2,1),B(-l,l,-2),C(-4,0,2),

AB=(1,-1,-3),AC=(-2,-2,1),

•・•向量3AB-ACJEJAB+kR垂直，

贝lj(3AB-AC)•(AB+kAC)=3AB2+(3k-1)AB-AC-kAC2=0

即：3xll-3x(3k-l)-9k=0

36-18k=0

解得k=2

故选B

【点睛】

本题考查了运用点坐标求解向量垂直时参数的取值，运用向量垂直计算公式即可计算出

结果，较为简单

15.【答案】B

【解析】根据空间坐标系两点间距离公式.空间点的对称性及空间直角坐标系的概念对

题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】

对于A,点P(1,-1,0).Q(1,2,3)的距离为依-+(-1-2)2+(0-3心=3花

A错误；

对于B,点A(-3,-1,4)与B(3,-1,-4)关于y轴对称，B正确；

对于C,点A(-3,-1,4)与B(3,-1,-4)不关于平面xOz对称，C错误；

对于D,空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D