2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式单元综合一课一练含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1专题突破专练专题1利用不等式性质求范围1.(2024·北京西城区高二联考)已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是。

答案：(0,8)解析：依题意0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8。2.已知实数a满意ab2>a>ab,求实数b的取值范围。答案：解:若a<0,则b2<1<b,产生冲突,所以a>0,则b2>1>b,解得b<-1,即b的取值范围为(-∞,-1)。3.(2024·山东微山高二月考)若-π2<α<β<π6,求α-答案：解:∵-π2<β<π6,∴-π6<-β<π2。∵-π2∴-2π3<α-β<2π3。又∵α<β,∴α-β<0,∴-2π3<α-4.(2024·北京日坛中学高二月考)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],求4a-2b的取值范围。答案：解:∵a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],∴4a-2b=(a+b)+3(a-b)=[2,4]+3[0,1]=[2,7],∴4a-2b的取值范围为[2,7]。专题2敏捷运用均值不等式求最值5.(2024·江苏南通高三三县联考)已知x,y为正实数,则4xx+3y+3yA.53 B.103 C.3答案：D解析：4xx+3y+3yx=4xx+3y+x+3yx-1≥24x6.(2024·山东潍坊一中高二月考)求y=x2+7x+10答案：解:y=x2+7x+10x+1=当x>-1,即x+1>0时,y≥2(x+1)·4x+1+5=9,当且仅当x=1时取“7.(2024·辽宁鞍山一中高二月考)已知a,b都是负实数,求aa+2b答案：解:∵a,b为负实数,∴a+2b<0,a+b<0,∴a+ba+2b>0,a∴aa+2b+ba=2(a+≥22(a+当且仅当2(a+b)a+2b=a故aa+2b+ba+8.已知x>0,y>0,x+2y+2xy>8,则x+2y的最小值是。

答案：4解析：x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y22(当且仅当x=2y时取等号),整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4(当且仅当x=2y时取等号),则x+29.(2024·江苏淮安清江中学高三第一次阶段测试)设a>0,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为答案：32解析：本题主要考查均值不等式。因为a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=5+4=9。因为(a+1+b+3)2=(a+1)+(b+3)+2a+1·b+3=9+2a+1·b+3≤9+(a+1)+(b+3)=18,当且仅当a+1=b+3=92,即a=72,b=32时等号成立,所以a+1+b+3≤18专题3依据不等式求参数范围10.(2024·甘肃天水月考)若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对随意实数x均成立,则实数a的取值范围是()。A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]答案：B解析：不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意;当a-2≠0时,要使不等式恒成立,需a-2<0,Δ<0,解得-2<a<211.(2024·广东惠州调研)关于x的不等式ax-b>0的解集是12,+∞,求关于x答案：解:因为不等式ax-b>0的解集是12,+∞,所以a>0,且a-2b=0,所以不等式ax-2b-x+5>0等价于x-1-x12.(2024·黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x>0,y>0,x+2y=1,有2x+1y≥m恒成立,求答案：解:∵x>0,y>0,x+2y=1,∴2x+1y=(x+2y)·2x+1y=2+2+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,当且仅当x=12,y=14时取等号,∴2x+1y的最小值为8,又213.(2024·山东威海一中高二月考)若不等式m≤12x+21-x当x∈(0,1)答案：解:当x∈(0,1)时,1-x>0,∴12x+21-x=1-x+x2x+2(1-x)+2x1-x=1-x2x+2x1-x+12+2≥52+21=14.(2024·吉林长春模拟)若正数m,n满意m+n+3=mn,不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立,求实数x的取值范围。答案：解:令m+n=a,则mn=a+3,故m,n是方程x2-ax+a+3=0的两个正实数根,∴Δ=a2-4不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立⇔不等式ax2+2x+a-10≥0在a≥6时恒成立。即函数f(a)=(x2+1)a+2x-10≥0在a∈[6,+∞)时恒成立。f(6)=6(x2+1)+2x-10≥0⇒x≥23或x≤-1专题4含参数一元二次不等式15.(2024·辽宁鞍山三中高二月考)解不等式:ax2+(a+2)x+1>0。答案：解:(1)当a=0时,不等式可化为2x+1>0,解得x>-12。解集为x(2)当a≠0时,∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,解得方程ax2+(a-2)x+1=0两根为x1=-a-2-a2∴当a>0时,解集为xx>-a-2+a2+42a当a<0时,解集为x-a-2+a2+42a16.(2024·山东定陶一中高二测试)解不等式ax2-5ax+6a>0(a≠0)。答案：解:∵a(x2-5x+6)=a(x-2)(x-3)>0,∴当a>0时,解集为{x|x<2或x>3};当a<0时,解集为{x|2<x<3}。17.解不等式x2+ax+4>0。答案：解:∵Δ=a2-16,∴当a∈(-4,4),即Δ<0时,解集为R;当a=±4,即Δ=0时,解集为x|当a>4或a<-4,即Δ>0时,两根分别为x1=-a+a2-162,x2=-a∴不等式的解集为xx>-a+a2-162或18.解不等式x2-a+1ax+1<0(a答案：解:原不等式可化为(x-a)x-1a<0,令a=1a,可得a=±1,∴当a<-1或0<a<1时,此时原不等式的解集为x|当a=1或a=-1时,a=1a,可得其解集为⌀当-1<a<0或a>1时,a>1a,解集为x19.(2024·北京北航附中高二月考)解不等式x2-5ax+6a2>0(a≠0)。答案：解:原不等式可化为(x-2a)(x-3a)>0,对应方程(x-2a)(x-3a)=0的两根为x1=2a,x2=3a,当a>0,即2a<3a时,解集为{x|x>3a或x<2a};当a<0,即2a>3a时,解集为{x|x>2a或x<3a}。20.(2024·日照第一中学高二周练)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。答案：解:若a=0,原不等式⇔-x+1<0⇔x>1;若a<0,原不等式⇔x-1a(x-1)>0⇔x<1若a>0,原不等式⇔x-1a其解的状况由1a和1的大小确定,(1)当a=1时,不等式的解集为⌀;(2)当a>1时,不等式的解集为x|(3)当0<a<1时,不等式的解集为x|1综上所述,当a<0时,解集为x|当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为x|1当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为x|真题分类专练题组1不等式的性质1.(2024·湖北黄冈高二学考·T4)若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：D解析：依据题意,若“0<ab<1”,当a,b均小于0时,b>1a,即“0<ab<1”⇒“b<1a”为假命题;若“b<1a”,当a<0时,ab>1,即“b<1a”⇒“0<ab<1”为假命题。综上,“0<ab<1”是“b<1a2.(四川卷文·T5)若a>b>0,c<d<0,则肯定有()。A.ad>bc B.aC.ac>bd D.a答案：B解析：因为c<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<1-d,又a>b>0,所以a-d>b-c>0,变形得ad<bc,故A不成立;由a>b>0,c<0可得ac<bc<0,故B成立;3.(湖南长沙高二学考·T3)已知a,b,c∈R,且a>b,ab≠0,则下列不等式肯定成立的是()。A.a3>b3 B.ac2>bc2C.1a<1b D.a2>答案：A解析：由函数y=x3在R上是增函数可知A项正确;B项,c=0时不正确;C项,a=1,b=-1时不正确;D项,a=1,b=-1时不正确。4.(2024·湖北仙桃高一(上)学考·T4)给出下列命题,其中正确的是()。A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a>b>0,则1a2C.若a>b>0,c>d>0,则ab>D.若a>b>0,c>0,则ca>答案：C解析：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0,两边同时除以bc,得ab>dc>0,所以ab>dc,所以选项C正确题组2求不等式的解集5.(2024·全国Ⅰ卷·T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=()。A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案：B解析：解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},所以可以求得∁RA={x|-1≤x≤2},故选B。6.(2024·全国Ⅱ卷·T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=().A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)答案：A解析：由题意,得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},则A∩B={x|x<1}。故选A。7.(安徽马鞍山高一(下)学考·T4)不等式2x+3-x2>0的解集为()。A.{x|x<-3或x>1}B.{x|-3<x<1}C.{x|x<-3或x>1}D.{x|-1<x<3}答案：D解析：与不等式2x+3-x2>0对应的方程2x+3-x2=0的两个根为-1,3,结合与之对应的二次函数图像可知不等式的解集为{x|-1<x<3}。8.(2024·辽宁学考·T6)不等式(x+2)(x-3)<0的解集是()。A.{x|-2<x<3} B.{x|-3<x<2}C.{x|x<-2或x>3} D.{x|x<-3或x>2}答案：A解析：因为(x+2)(x-3)=0的根为-2,3,所以由不等式(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,不等式(x+2)(x-3)<0的解集是{x|-2<x<3},故选A。9.(2024·新疆学考·T2)不等式-3x+6<0的解集是()。A.{x|x<-2} B.{x|x<2}C.{x|-2<x} D.{x|2<x}答案：D解析：∵-3x+6<0,∴x>2,∴解集是{x|2<x},选D。10.(上海卷文·T15)下列不等式中,与不等式x+8x2+2x+3A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)C.1x2D.x2+2答案：B解析：因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,x+8可能是正数、负数或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)可得x+8x2+2x+3<2,所以与不等式x+8x2+2x+311.(大纲卷文·T3)不等式组x(x+2)>A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}答案：C解析：∵x(x+2)>0,|x|<112.(2024·广东一月学考·T7)不等式x2-9<0的解集为()。A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}答案：D解析：由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3。故选D。13.(2024·天津卷·T10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为。

答案：-解析：3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,即-1<x<23,故x的取值范围是-14.(2024·江苏卷·T23)设x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2。答案：x解析：当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-13当0≤x≤12时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解当x>12时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1综上,原不等式的解集为x|题组3均值不等式的应用15.(湖南卷文·T7)若实数a,b满意1a+2b=ab,则ab的最小值为(A.2 B.2 C.22 D.4答案：C解析：∵1a+2b=ab,∴a>0,b>0。∵ab=1a+2b≥21a×2b=22ab,∴ab≥22(当且仅当b=2a时取等号),16.(2024·浙江11月学考·T16)若实数a,b满意ab>0,则a2+4b2+1ab的最小值为()A.8 B.6 C.4 D.2答案：C解析：实数a,b满意ab>0,则a2+4b2+1ab≥4ab+1ab≥4,当且仅当a=2b时等号成立。故选17.(2024·北京十五中会考)假如a>b>0,且a+b=1,那么下列不等式中肯定成立的是()。A.ab<1 B.1bC.1b+1a<1ab D.答案：D解析：∵a≠b,∴ab<a+b22=14,∴D肯定18.(2024·浙江卷·T5)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()。A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：当a>0,b>0时,a+b≥2ab,则当a+b≤4时,有2ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满意ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件。19.(2024·天津卷·T13)设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(答案：43解析：(x+1)(2y∵x>0,y>0,x+2y=5,xy>0,∴2xy+6xy≥22xy·6xy=43,当且仅当xy=3,即x=3,20.(2024·天津卷·T12)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b答案：4解析：a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4,前一个等号成立条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=1221.(湖南卷·T18)设a>0,b>0,且a+b=1a+1证明:(1)a+b≥2;答案：证明:由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b由均值不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2。当且仅当a=b时取“=”。(2)a2+a<2与b2+b<2不行能同时成立。答案：假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1冲突。故a2+a<2与b2+b<2不行能同时成立。题型4不等式的综合应用22.(2024·江苏卷·T10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是。

答案：30解析：总费用为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900x【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧,使其满意均值不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“相等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误。23.(2024·湖北黄冈高二会考·T14)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为答案：