江西省萍乡市2025届高三数学下学期4月第二次模拟考试试题理

PAGE7PAGE11江西省萍乡市2025届高三数学下学期4月其次次模拟考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．留意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要仔细核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一样．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A.B.C.D.（2）已知复数满意(为虚数单位)，则=A. B.C. D.已知与满意，，，则与的夹角为A. B.C.D.已知函数为偶函数，且当时，.若，，(其中为自然对数的底数，为圆周率)，则的大小关系为A.B. C. D.（5）2021年3月12日A.各班植树的棵数不是逐班增加的B.4班植树的棵数低于11个班的平均值C.各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D.1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，改变比较平稳（6）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则A.4 B.8 C.10 D.16（7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为A.B.C.2QUOTED.（8）某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位.现全部座舱全部为空座，有10人依次排好队打算乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的状况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择状况共有A.89种 B.90种 C.637种 D.638种（9）2024年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2024”和56根光线线组成，生动呈现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知图1图2A.B.C.D.（10）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为(

)A.B.C.2D.（11）已知数列的前项和为，对随意，有，且恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.（12）若函数，则满意恒成立的实数a的取值范围为A.B.C.D.萍乡市2024－2024学年度高三二模考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22，23题为选考题，考生依据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．（13）已知数列为等差数列，为其前项和，，则.（14）已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，使得，则点的坐标是.（15）已知函数，若存在三个互不相同的实数，满意，则的取值范围是.（16）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为4，则的取值范围为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知的内角所对的边分别为，，为的中点，且，求的值．（18）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与相互垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．（19）（本小题满分12分）已知椭圆，为其左、右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有，椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值．（20）（本小题满分12分）某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农夫年收入也逐年增加，为了制定提升农夫收入、实现2024年脱贫的工作安排，该地扶贫办统计了2024年50位农夫的年收入并制成如右频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图，估计这50位农夫的平均年收入(单位：千元；同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)为推动精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲安排在店，乙安排在店同时参与一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由个商品构成，假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”胜利的概率分别为，，记甲、乙两人抢购胜利的订单总数量、商品总数量分别为，．eq\o\ac(○,1)求的分布列及数学期望；eq\o\ac(○,2)若，，求当的数学期望取最大值时正整数的值．（21）（本小题满分12分）已知函数,函数满意.(1)探讨函数的单调性；(2)若有两个不同的零点,，证明：.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.假如多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，为曲线（为参数）上的动点，将点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得点，记点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）是曲线上异于极点的两点，且，求的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知．（1）关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．萍乡市2024－2024学年度高三二模考试试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）CDCAC；BDABB；DA．二、填空题（4×5=20分）13．21；14．；15．；16..三、解答题（共75分）17.（1）由题知，，则………………2分故.…………3分由，，解得，………5分所以的单调递增区间为，.……………6分（2）.∵.∴………………8分作线段的中点，因为，故．因为，即.…………10分由正弦定理知…………12分18.（1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上连接，则平面.平面平面，平面平面，平面，平面………2分和平面所成的角为，即，，又四边形为平行四边形，……………………5分平面，平面，平面……6分（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则………………8分设平面的一个法向量为则，取，得，取平面的法向量为………………10分设平面与平面所夹角为，则……………11分平面与平面所夹角余弦值为………………12分19.（1）依题意：，则……1分，即，又，解得………………3分所以椭圆方程为：；……………………4分（2）设，则，因为在椭圆上，有：………………6分设直线：，联立………………8分又，得所以，…10分原点O到直线MN的距离故当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1.……………12分20．（1）故估计这50位农夫的年平均收人为1QUOTE17.47.4千元．………………2分（2）eq\o\ac(○,1)由题知，可能取值为0，1，2．，，…4分所以的分布列为：X012P…………6分eq\o\ac(○,2)因为，所以令，设，则，且……………9分当时，，所以在区间上单调递增当时，，所以在区间上单调递减．…………11分所以当，即时，故当取最大值时，的值为3．……………12分21.(1)由已知得函数的定义域为，则，…………1分当时,在上单调递增…………2分当时,在上单调递减，在上单调递增…3分(2)∵，∴，其定义域为，……4分等价于，即设()，………………5分令，则；令，则，∴当时单调递增；当时单调递减∵函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，∵，，∴，…………7分∴有两个不同的零点，…………8分令，则……9分∴在时单调递增，即时，又…………11分，且时单调递增故而，得证.…………………12分22.（1）曲线化为一般方程为：，……1分设P点坐标为，Q点坐标为，则有，………3分消去有，即，此式即为的一般方程.∴曲线的极坐标方程为.…………