湘教版高中数学必修第一册第3章3-2-1第1课时函数的单调性课件

第1课时函数的单调性第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性与最值学习任务核心素养1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．必备知识·情境导学探新知如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点1增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示

条件设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有___________都有______________f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)函数增函数减函数结论f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调____f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调____递增递减思考在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．

提醒增、减函数定义中x1，x2的三个特征(1)任意性，即“任意两个值x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性． (

)(2)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则该函数是增函数． (

)(3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)． (

)××√知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的________．单调区间提醒对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间I⊆定义域D．(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大．体验2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(

)A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]C

[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1]，选C．]√

(－∞，0)和(0，＋∞)

关键能力·合作探究释疑难

反思领悟

利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2．(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．

反思领悟

求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(1)和(3)．[跟进训练]2．(1)如图所示，写出在每一单调区间上函数的单调性；(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．

类型3函数单调性的应用【例3】

(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是_________________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为____________．(－∞，－4](－∞，1)(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(－∞，3]存在怎样的数量关系？(2)若f(x)是定义域上的单调函数，且f(a)>f(b)，由此我们能得出变量a，b的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？(1)(－∞，－4]

(2)(－∞，1)

[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1．∴实数x的取值范围为(－∞，1)．][母题探究]若本例(2)的函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围．

反思领悟

函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意非空子集上也是单调的．[跟进训练]3．(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(

)A．f(－1)≥f(a2＋1)

B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．√

1．(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(

)A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1，4]上单调递增C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D．函数在区间[－5，5]上没有单调性学习效果·课堂评估夯基础√23题号415ABD

[由题图可知，f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误，其余选项均正确．]√√

23题号415√D

[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上单调递增，故选D．]3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b的取值范围为(

)A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠323题号45√1C

[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b≤3，故选C．]4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则实数k的取值范围为____________．23题号451

5．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是__________．23题号451(－2，1)

[∵f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，∴x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1．∴x的取值范围是(－2，1)．](－2，1)回顾本节知识，自我完成以下问题：1．若x1，x2是区间I上的任意实数，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，能否判定f(x)在区间I上的单调性？[提示]

能，增函数．[提示]

定义法、图象法和基本初等函数法．