湘教版高中数学必修第一册第2章2-2从函数观点看一元二次方程课件

2.2从函数观点看一元二次方程第2章一元二次函数、方程和不等式学习任务核心素养1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？必备知识·情境导学探新知

a>0a<0一次函数y＝ax＋b的图象

一元一次方程ax＋b＝0的根

a>0a<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根

a>0a<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点

知识点1二次函数的零点一般地，把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．这样，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的______就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的______．实数根横坐标思考

二次函数一定有零点吗？[提示]

当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．提醒函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． (

)(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数有两个零点． (

)××√知识点2函数零点的探究当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点有两个零点__________________有一个零点x＝____无零点

x1，2体验2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(

)A．1 B．2C．－1 D．－2C

[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．]√类型1二次函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．关键能力·合作探究释疑难

反思领悟

1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不为零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点；(3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．

类型2二次函数零点的讨论与探究【例2】若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[证明]

考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[母题探究]求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．[解]

(必要性)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点；当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，

反思领悟

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac．(1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．(2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．(3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[跟进训练]2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．[证明]

当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．类型3二次函数的零点的分布探究【例3】

(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．(1)能否直接求出函数y＝－x2－2x＋1的零点进行验证？(2)二次函数的两个零点均为正数，则判别式应满足什么条件？两个零点之和呢？两个零点之积呢？

提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．[跟进训练]3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．

1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(

)A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0)C．－5 D．1学习效果·课堂评估夯基础√23题号415A

[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]2．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－3，1)23题号415√

3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．23题号4512

[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]24．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________．23题号4512

[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4．因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为2．]25．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)内，则n的取值集合为__________．23题号451

{－3，0}回