高中数学空间简单试题

高中数学空间几何（简单）测试试卷

学校：姓名：班级：考号：

题号—■二三总分

得分

评卷人得分

一.单选题（共—小题）

1.有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九

个点确定的直线最少有（）

A.36条B.33条C.21条D.18条

2.已知直线a和两个平面a,B,给出下列四个命题：①若a〃a,则a内的任何直线都与

a平行；②若aJ.a,则a内的任何直线都与a垂直；③若a〃B,则B内的任何直线都与

a平行；④若a则B内的任何直线都与a垂直.则其中（）

A.②、③为真B.①、②为真C.①、③为真D.③、④为真

3.不共面的四个定点到平面a的距离都相等，这样的平面a共有（）

A.3个B.4个C.6个D.7个

如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为

PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②

直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF〃平面PBC；④平面BCE_L平面PAD.其中正确结

论的序号是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

二面角a-AB-B与B-BC-Y均为©(0<6<IT),AB±BC,Ic

a，mey,则下列不可能成立的是（）

A.I〃mB.I±mC.m〃ABD.aJ_y

正方体ABCD-AiBiCiDi中，EF是异面直线，AC和AiD的

公垂线，则EF和BDi的关系是（)

A.相交但不垂直B.垂直C.异面D.平行

7.已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面a去截此四棱锥,

且要使截面是平行四边形，则这样的平面a（）

A.有且只有一个B.有四个C.有无数个D.不存在

8.在空间中，过点A作平面n的垂线，垂足为B,记B=f.（A）.设a,8是两个不同的平

面，对空间任意一点P,P,Qi=f4f..（P）].Cb=f..[fP（P）],恒有PQi=PCb,则（）

A.平面a与平面B所成的（锐）二面角为45°

B.平面a与平面B垂直

C.平面a与平面B平行

D.平面a与平面B所成的（锐）二面角为60°

9.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个

正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

()

A.48B.18C.24D.36

10.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为a,E,F分别是棱AB,BC上的点，且AE=BF,若

AiE与CiF所成的角最小，则有()

1121

A.AE=BF=-aB.AE=BF=-aC.AE=BF=-aD.AE=BF=-a

4352

11.线a、b和平面a,下面推论错误的是（）

a±a,a_La'

A.=aJB.=〃_La

feca[aII

aA-baIIQ

C.〈=3〃&或3之。D.=>a||b

fe±afeca

12.已知m、n表示两条不同直线，a表示平面.下列四个命题中，正确的个数是（）

①若m〃a,n〃a,则m〃n②若m±a,nua,则m_Ln

③若m±a,m±n,贝ijn〃a④若m〃a,m±n,则n_La

A.4B.3C.2D.1

评卷人得分

二.填空题(共_小题)

13.已知两条不同直线m、I,两个不同平面a、B,给出下列命题：

①若I垂直于a内的两条相交直线，则I，a；

②若l〃a,贝心平行于a内的所有直线；

③若mua,luB且a〃B,则m〃l；

④若luB,l_La,则aJ.6；

其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)

14.给出下列五个命题：

①函数f(x)=上二的图象的对称中心是点(1，1)；②函数y=sinx在第一象限内是增函数；

x+1

③已知a,b,m均是负数，且。〉〃，则竺竺〉£；④若直线1〃平面a,直线"直线m,

h+mh

直线mu平面B,则Pla；⑤当椭圆的离心率e越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近

于圆.其中正确命题的序号为.

15.给出下列命题：

①已知直线m,I,平面a,B,若m_LB,lua,a〃B,则m_U；

②;，二〉。，是:，N的夹角为锐角的充要条件；

③若f(x)在R上满足f(x-2)=-f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数;

@y=sin（2x+-）的图象的一个对称中心是（不，0）

33

以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

在四棱锥S-ABCD中，SBJ_底面ABCD.底面ABCD为梯形,

AB±AD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点，则满足NSEC=90°的

点E的个数是.

17.己知直线m,I,平面a,B,且m_La,|c0,给出下列命题:

①若a〃B,则mil；

②若a±p,则m//h

③若m±l,则a〃B

④若m〃l,则a

其中正确的命题的序号是.

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.

多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2jJ,AC=BD=JTo,且。A,

OB,OC两两垂直，给出下列5个结论:

①三棱锥O-ABC的体积是定值;

②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是J5；

③直线OB〃平面ACD；

④直线AD与OB所成角是60°；

⑤二面角A-OC-D等于30。.

其中正确的结论是.

线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的

是（写出所有正确命题的编号）.

①当0<CQV：时，S为四边形；

②当CQ=：时，S为等腰梯形；

③当二VCQV1时，S为六边形；

4

④当CQ=g时，S与QD1的交点R满足CiR=g；

43

⑤当CQ=1时，S的面积为学.

20.已知卜列命题：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；

③过平面一点有且只有一条直线和已知平面平行；

④过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；

⑤过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行

其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）

21.已知m、n是不同的直线，a,B是不重合的平面，给出下列命题：

①若a//B,mua,nuB,则m〃n.

②若m,nca,m〃B,n〃B,Pl1]a//P.

③若m_La,n_LB,m//n,则a〃B.

④m、n是两条异面直线，若m〃a,m〃B,n//a,n〃B,则。〃日.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命的序号）.

22.给出以下三个命题：①垂直于同一条直线的两个平面平行；②与一个平面等距离的两点

的直线一定平行于这个平面；③如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两

个平面平行，其中正确的命题是.

23.已知集合A、B、C,A=｛直线｝,B=｛平面｝,C=AUB.若a《A,b£B,cGC,给出下列四

个命题：

II

②（aXfoII„c

cA^h

③4aII〃=a_Lc

cA-h

④4aJ_b=aJ_c

其中所有正确命题的序号是

（2015秋•临海市校级期中）如图，四棱锥P-ABCD底面是边长为

2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD_L底面ABCD,则侧棱PC与底面ABCD夹

角的正弦值为

评卷入得分

三.简答题（共一小题）

41

的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面a1,a2,a3,a4,其中每相邻两个平面间的距

离都为1,若一个正四面体AiA2A3A4的四个顶点满足：AiGai（i=l,2,3,4）,求该正四面

体AiA2A3A4的体积.

26.（1）过点P作直线I,使点A、B至打的距离相等.这样的直线I可作几条？

（2）过点P作直线I,使点Q到直线I距离为d.这样的直线I可作几条？

（3）与点A、B距离同为d的直线I可作几条？

（4）过点A、B分别作直线11〃卜，使11、L距离为d.这样的直线li、I2可作几组？

（5）过k上-A点作直线I被两平行直线h、12,截得线段为AB,li、L的距离为d.这样的

直线I可作几条？

（I）求证：BD1PC；

（II）求二面角B-PC-A的余弦值.

28.设A、B、C及Ai、Bi、Ci分别是异面直线II、L上的三点，而M、N、P、Q分别是线段

AAi、BAhBBi、CCi的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.

A

号ABCD是矩形，四个顶点在平面a内的射影分别为A',B',U,D',

直线A'B'与C'D'不重合.

(1)求证：A'B'C'D，是平行四边形；

(2)在怎样的条件下，A'B'UD'也是矩形？并证明你的结论.

(2015秋•河南校级月考)如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi,

对角线AiC与平面BDCi交于点O.AC、BD交于点M、E为AB的中点，F为AA1的中点,

求证：(1)Ci、0、M三点共线

(2)E、C、Di、F四点共面

(3)CE、DiF、DA三线共点.

高中数学学科测试试卷

学校：姓名:班级：考号：

题号—■二三总分

得分

评卷人得分

一.单选题（共—小题）

1.有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九

个点确定的直线最少有（）

A.36条B.33条C.21条D.18条

答案：C

解析：

解：在小圆上确定三个点，

两两连接三个点，并延长交外圆于6个点，

下面确定这9个点确定的直线条数，

从9个元素中任取两个共有C9?=36种结果，

其中有3组四个点在同一条直线上，所以要减去3c42=18,

这样多减去了3条线，

共有36-18+3=21,

故选C.

2.已知直线a和两个平面a,B,给出下列四个命题：①若a〃a,则a内的任何直线都与

a平行；②若a,a,则a内的任何直线都与a垂直；③若a〃0,则B内的任何直线都与

a平行；④若aJ,B,则B内的任何直线都与a垂直.则其中（）

A.②、③为真B.①、②为真C.①、③为真D.③、④为真

答案：A

解析：

解：对于①，当线面平行时，直线与平面内所有直线均无公共点，是平行或异面的关系，故

①为假命题.

对于②，由线面垂直的定义可知，其为真命题.

对于③，有面面平行的性质可得其为真命题；

对于④，当面面垂直时，只有在其中一个平面内和交线垂直的直线才垂直与另一平面，故④

为假命题.

故只有②③为真命题.

故选A.

3.不共面的四个定点到平面a的距离都相等，这样的平面a共有（）

A.3个B.4个C.6个D.7个

答案：D

解析:

解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D-ABC,

C

①当平面侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式,

此时满足条件的平面个数是四个，

②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对

棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，

所以满足条件的平面共有7个，

故选D.

DC

如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为

B

PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②

直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF〃平面PBC；④平面BCE_L平面PAD.其中正确结

论的序号是（）

A.①@B.②③C.①④D.②④

答案：B

解析：

解：如图所示，

①连接EF,则；E、F分别为PA、PD的中点,.\EF〃AD,VAD//BC,，EF〃BC,AE,F,

B,C共面，二直线BE与直线CF是共面直线，故①正确；

②平面PAD,AFu平面PAD,E建AF,BG平面PAD,直线BE与直线AF是异面直线,

故②正确；

③由①知EF〃BC,：£卬平面PBC,BCu平面PBC,.•.直线EF〃平面PBC,故③正确;

④由于不能推出线面垂直，故平面BCEL平面PAD不成立.

二面角a-AB-B与B-BC-Y均为。(0<0<n),AB±BC,1c

a,mu丫，则下列不可能成立的是（）

A.I〃mB.I±mC.m/7ABD.a±y

答案：C

解析：

解：因为lua,meY，由题意a,丫相交，这两个平面的直线有平行、相交或者异面；所

以l〃m有可能成立；有可能垂直；故A,B有可能成立；

因为AB与丫相交于B,而mu丫，所以m〃AB不可能成立；

如果a,B作为三棱柱的侧面，Y作为底面，此时a，丫成立；

所以c正确;

故选c.

正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线，AC和AiD的

公垂线，则EF和BDi的关系是()

A.相交但不垂直B.垂直C.异面D.平行

答案：D

解析：

解：建立以Di为原点的空间直角坐标系Di-xyz,且设正方形的边长为1

所以就有Di(0,0,0),B(1,1,0),Ai(1,0,0),D(0,0,1),A(1,0,1),C(0,

1,1)

所以A]Q=(-1，0,1),4C=(-1,1,0),BDI=(-1，-1.1)

所以A[Q=；+l=0所以AiDLBDi,

获•西＜=1-1=0所以ACLBDi,

所以BDi与AiD和AC都垂直

又YEF是AC、AiD的公垂线,

；.BDi〃EF

故选D

7.已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面a去截此四棱锥,

且要使截面是平行四边形，则这样的平面a()

A.有且只有一个B.有四个C.有无数个D.不存在

答案：C

解析：

p

侧面PAB与侧面PCD相交,

设两组相交平面的交线分别为m,n,

由m,n决定的平面为B,

作a与B平行且与四条侧棱相交,Di,

则由面面平行的性质定理得:

AiBi〃m〃DiCi,AiDi〃n〃BiCi,

从而得截面必为平行四边形.

由于平面a可以上下移动，则这样的平面a有无数多个.

故选：C.

8.在空间中，过点A作平面n的垂线，垂足为B,记8=八(A).设a,8是两个不同的平

面，对空间任意一点P,P,Qi=fP[f..(P)],Cb=f..[fP(P)],恒有PQi=PCb,则()

A.平面a与平面B所成的(锐)二面角为45°

B.平面a与平面B垂直

C.平面a与平面B平行

D.平面a与平面B所成的(锐)二面角为60°

答案：B

解析：

解：设Pi=f.(P),则根据题意，得点P1是过点P作平面a垂线的垂足

(P)]=。(Pi),

•••点Qi是过点Pi作平面B垂线的垂足

同理，若P2=f“(P),得点P2是过点P作平面B垂线的垂足

因此Cb=f“岛（P）］表示点6是过点P2作平面a垂线的垂足

,对任意的点P,恒有PQI=PQ2，

点QI与Cb重合于同一点

由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且NP1Q1P2是二面角a-I-B的平面角

：NPIQIP2是直角，.•.平面a与平面B垂直

故选：B

9.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个

正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

（）

A.48B.18C.24D.36

答案：D

解析：

解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，

分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面

对”有2X12=24个；

②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”

有12个；

所以正方体中“正交线面对”共有36个.

选D.

10.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为a,E,F分别是棱AB,BC上的点，且AE=BF,若

AiE与CiF所成的角最小，则有（）

1121

A.AE=BF=-aB.AE=BF=-aC.AE=BF=-aD.AE=BF=-a

4352

答案：D

解析：

解：如图示：

八

2E

—»一»A|E*C|F

・•・cosVA]E，C|F>=^=;一"=^二|

另设分母中；f(x)=(x2+a2)[a2+(a-x)2],

Afz(x)=2[(2x3-ax2)-a(2x2-3ax+a2)]

=2(2x-a)(x2-ax+a),

又・.,f〃(x)=6(2x2-2ax+a2)>0,

・・・f'（x）是增函数，

.••只能有1个零点x=ga,

2

；.f（X）在*=12时，取到最小值,

2

.,.AE=BF=-a,

2

故选：D.

11.线a、b和平面a,下面推论错误的是（）

a±an±a

A.=aB.=>/?!a

a

aA.baIIa

C.=a〃a或a£aD.life

fe±atea

答案：D

解析：

解：对于A,由线面垂直的定义可以得到，正确；

对于B,由线面垂直的性质定理可以得到，正确；

对于C由线面垂直的性质定理及直线与平面的位置关系可得，正确；

对于D,由直线与平面平行的性质定理及空间两直线的位置关系得，错误；

故选D.

12.已知m、n表示两条不同直线，a表示平面.下列四个命题中，正确的个数是（）

①若m〃a,n〃a,则m〃n②若m±a,nua,则m_Ln

③若m_La,m±n,则n〃a④若m〃a,m_Ln,则n_La

A.4B.3C.2D.1

答案：D

解析：

解：对于①，若0!〃<1,n〃a,则m与n平行、相交或者异面：故①错误；

对于②，若m_La,nua,根据线面垂直的性质可得mJ_n；故②正确；

对于③，若m_Ln,则n〃a或者nua内；故③错误；

对于④，若m〃a,m±n,则nJ.a或者nua；故D错误；

故选D.

评卷人得分

二.填空题（共一小题）

13.己知两条不同直线m、I,两个不同平面a、B,给出下列命题:

①若I垂直于a内的两条相交直线，则I，a；

②若l〃a,贝Ijl平行于a内的所有直线；

③若mua,luB且a〃B,则m〃l；

④若luB,l±a,则&_LB；

其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

答案：①④

解析：

解：①I垂直于a内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l_La,故①正确；

②若l〃a,则I与a内的直线平行或异面，故②不正确；

③mua,luB且a〃B,则m〃l或m与I异面，故⑤不正确；

④若luB,l±a,则由平面与平面垂直的判定定理知a，6,故④正确.

故答案为：①④.

14.给出下列五个命题：

o

①函数f(x)=土v+的图象的对称中心是点(1,1)；②函数y=sinx在第一象限内是增函数；

x+1

③已知a,b,m均是负数，且a〉4,则竺竺〉巴；④若直线1〃平面a,直线」直线m,

b+mb

直线mu平面B,则Ba；⑤当椭圆的离心率e越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近

于圆.其中正确命题的序号为.

答案：③⑤

解析：

解：•••f(X)=*=L+],.•.图象为y=L图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位,

x+1x+1X

二对称中心是(-1,1)

...①错误

工,以1都是第一象限角，且?■〈UU,但sin?>sinYD,...不能说函数丫=4祇在第一象

303D3D

限内是增函数.

...②错误

..a+maah+bm-ab-anirn(b-a)..出且/粕口.a+fna-.

.-------=----------------=-------,.,b,m均是负数，且a>b,..------->0n..

b+mbb(b+m)b(b+m)b+mh

a+m〉a

b+mb

...③正确

例如在正方体ABCD-AiBiCiDi中，AC〃平面A©,AC1BD,BD二平面BDCi,但平面止J与

平面BDCi并不垂直

二④错误

e2=—=^—^=1—,当e越接近于0时，匕就越接近1,a就越接近b,椭圆的形状就越接

［工a-aa

近于圆，

...⑤正确

故答案为③⑤

15.给出下列命题：

①已知直线m,I,平面a,B,若m_LB,lua,a〃B,则m±l；

②;4〉o,是:，1的夹角为锐角的充要条件；

③若f(x)在R上满足f(x-2)=-f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数；

@y=sin(2X+7)的图象的一个对称中心是(?，0)

33

以上命题正确的是(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

答案：①③④

解析：

解：已知直线m,I,平面a,B,

若m_LB,lca,a〃B,则m_LB,，m_LI.故①正确；

②当;，i同向时，;・7〉。，但;，［的夹角为。°,故②不正确；

③若f(x)在R上满足f(x-2)=-f(x),

则f(x)是以4为周期的周期函数，③正确；

@y=sin(2x+—)的图象的一个对称中心是(1，0),④正确.

33

故答案为：①③④.

如图，在四棱锥S-ABCD中，SBJ_底面ABCD.底面ABCD为梯形,

ABXAD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点，则满足/SEC=90°的

点E的个数是.

答案：2

解析：

ABEXCE.

故问题转化为在梯形ABCD中，点E是线段AD上的动点，求满足BELCE的点E的个数.

设AE=x,则DE=3-x,

VAB1AD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2,

.,.10=l+x2+4+(3-x)2,

x2-3x+2=0,

.*.x=l或2,

满足BE±CE的点E的个数为2,

满足NSEC=90°的点E的个数是2.

故答案为：2.

17.己知直线m,I,平面a,B,且m，a,luB,给出下列命题：

①若a〃B,则mil；

②若a则0!〃1；

③若mJJ,则a〃B

④若m//l,则aJ.8

其中正确的命题的序号是.

(注：把你认为正确的命题的序号都填上).

答案：①④

解析：

解：m_La,lu8,对于①a//0,则m_LB,根据线面垂直的性质得到m_U,故①正确;

对于②，a±p,m与I可能相交、平行或者异面；故②错误；

对于③，mil,a与B可能相交，故③错误;

对于④，m〃l,由已知得到l_La,根据线面垂直的判定定理，得到aJ_B；故④正确;

故答案为：①④

多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2jJ,AC=BD=JTo，且OA,

OB,0C两两垂直,给出下列5个结论:

①三棱锥O-ABC的体积是定值;

②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是屏；

③直线0B〃平面ACD；

④直线AD与0B所成角是60°；

⑤二面角A-OC-D等于30°.

其中正确的结论是.

答案：①②④

OB=y,OC=z,

对于①，三棱锥。-ABC的体积为*CX京AXOB#,故①对；

对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,

即为42+32+事）2=晅,故②对;

对于③，由于。B〃AE,AE和平面ACD相交，贝ljOB和平面ACD相交，故③错.

对于④，由于OB〃AE,则/DAE即为直线AD与OB所成的角，

DE

由tan/DAE=r=则NDAE=60°，故④对;

AEy

⑤因为AO_LOC,DC10C,所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A.OC・D的二面角

AF一

大小，连接0E,则角AOE为所求，tanZAOE-=R,所以NAOE=60。；⑤错误；

OA"

故答案为：①②④

线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的

是（写出所有正确命题的编号）.

①当0VCQV：时，S为四边形；

②当CQ=：时，S为等腰梯形；

③当之VCQVl时，S为六边形；

4

31

④当CQW•时，S与CiDi的交点R满足CiR--；

43

⑤当CQ=1时，S的面积为当.

答案：①②④⑤

解析：

解：如图当CQ』寸，即Q为CJ中点，此时可得PQ//AD】，AP=QD苫,

DICl

故可得截面APQDi为等腰梯形,故②正确;

由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜；,只需在DDi上取点M满足AM〃PQ,即可得

截面为四边形APQM,故①正确;

3

当CQ=—时，如图，

4

延长DDi至N,使DIN=L连接AN交A1D1于S,连接NQ交GDi于R,连接SR,可证AN

2

〃PQ,由△NRDIS/\QRCI,可得CiR：DiR=CiQ：DiN=l：2,故可得CiR=-,故④正确；

3

3

由上可知当二＜CQV1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显

4

然为五边形，故错误；

⑤当CQ=1时，Q与J重合，取AM的中点F,连接AF,可证PJ〃AF,且PCi=AF,

可知截面为APJF为菱形，故其面积为:ACI・PF=£,故正确.

22

故答案为：①②④⑤

20.已知下列命题:

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;

②过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；

③过平面一点有且只有一条直线和已知平面平行；

④过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；

⑤过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行

其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）

答案：①②④⑤

解析：

解：根据空间点、线、面间的位置关系，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,

故①正确.

过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确.过平面外一点有无数条直线和已知平

面平行，故③不正确.

过一点有且只有一个平面和已知直线垂直，故④正确.过平面外一点有且只有一个平面和

已知平面平行，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

21.己知m、n是不同的直线，a,B是不重合的平面，给出下列命题：

①若a//B,mua,nuB,则m〃n.

②若m,nca,m〃6,n〃B,则a〃B.

③若m±a,n_LB,m〃n,则&〃6.

④m、n是两条异面直线，若m〃a,m〃B,n〃a,n〃B,则&〃0.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命的序号）.

答案：③④

解析：

解：若a〃8,mua,nuB,则m与n平行或异面，故①错误；

".'m,n不一定相交，故当m,nca,m〃B,n〃B时，a〃8不一定成立，故②错误；

由m_La,m〃n则nJ_a,又由n_LB,：.a//^,故③正确

：m、n是两条异面直线，.•.当m〃a,m〃B,n〃a,n〃B时，a//p,故④正确;

故答案为：③④

22.给出以下三个命题：①垂直于同一条直线的两个平面平行；②与一个平面等距离的两点

的直线一定平行于这个平面；③如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两

个平面平行，其中正确的命题是.

答案：①

解析：

解：根据线面垂直的儿何特征，可得垂直于同一条直线的两个平面平行，即①正确；

过与一个平面等距离的两点的直线可能平行于这个平面，也可能相交，故②错误；

如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行或相交，故③错误;

故答案为：①

23.已知集合A、B、C,A=｛直线｝,B=｛平面｝,C=AUB.若adA,b£B,cGC,给出下列四

个命题：

a16

①《"="IC

s\b

aA-b

②，="IIc

cA-b

aII6

cA-b

aJ-b

其中所有正确命题的序号是.

答案：④

解析：

解：对于①，当C表示平面时，根据2〃[3且（：〃1）,

不一定有a〃c成立，可能auc,故①不正确；

对于②，当c表示直线时，a与a可能重合，当c是平面时，可以有a在c内，故②不正确；

对于③，当c表示平面时，由a〃b且c_Lb不能推出a_Lc成立，故③不正确；

对于④，用与③相同的方法，可证出aj_c成立，故④正确

综上，正确命题的序号为④

故答案为：④

（2015秋•临海市校级期中）如图，四棱锥P-ABCD底面是边长为

2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD_L底面ABCD,则侧棱PC与底面ABCD夹

角的正弦值为

答案：g

4

解析:

解：：四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且有侧面PAD

_L底面ABCD,

四棱锥的高为JI，

；PC=2「,

侧棱PC与底面ABCD夹角的正弦值为£=旦

2424

故答案为：叵.

4

评卷入得分

三.简答题（共一小题）

41

(1)如图，对于任一给定的四面体AiA2A3A4,找出依次排列的四

个相互平行的aI，a2,a3,a4,使得2,3,4),且其中每相邻两个平面间

的距离都相等；

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面a1,a2,a3,a4,其中每相邻两个平面间的距

离都为1,若一个正四面体AiA2A3A4的四个顶点满足：AiGai(i=l,2,3,4),求该正四面

体AiA2A3A4的体积.

答案:

ZA

解：(1)如图所示，取A1A4的三等分点P2,P3,A1A3的中点

M,A2A4,的中点N,

过三点A2,P2,M,作平面a2,过三点A3,P3,N作平面a3,

因为A2P2”NP3,A3P3〃MP2,所以平面<>2〃03,

再过点Ai,A4,分别作平面a1,a4,与平面a3平行，

那么四个平面ai,a2,a3,a4依次互相平行，

由线段A1A4被平行平面a”a2,a3,a4截得的线段相等知，其

中每相邻两个平面间的距离相等，故a［，(12,a3,a4为所求平面.

（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为

1,

则正四面体AiA2A3A4就是满足题意的正四面体.

设正四面体的棱长为a,以AA2A3A4的中心。为坐标原点，以直线AQ为y轴，直线OAi为

Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，

则Ai（0,0,且a）,A2更a,0）,A3（-,叵a,0）,Z（0,史a,0）.

326263

令P2,P3为.A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0,-生a,如a）,N（；,正

99412

a,0),

所以尸3%=,—^a,--a),NAR=(—a,—a,0),A“N=(-—>—：

a,0)

4369-44444

n・p3N=09x-5国+4.=。

设平面A3P3N的法向量〃=（x,y,z）,有＜一即

3x+&=°

n*NA3=0

所以”=（1,-后，因为ai，a2,a3,a4相邻平面之间的距离为1,

l(——)x1+—«x(—J3)+0x(—)1

=

所以点A4到平面A3P3N的距离44.=1，解得aJ10'

J1+（一行）-+（一北广

由此可得，边长为眄的正四面体AiA2A3A4满足条件.

所以所求四面体的体积V=?Sh=!x22义旦=23=生.

3343123

解析:

解：（1）如图所示，取A1A4的三等分点P2,P3,A1A3的中点

M,A2A4,的中点N,

过三点A2,P2,M,作平面a2,过三点A3,P3.N作平面a3,

因为A2P2//NP3,A3P3〃MP2,所以平面a2〃a3,

再过点Ai,A4,分别作平面a1,a4,与平面a3平行，

那么四个平面ai,a2,a3,a4依次互相平行，

由线段AS,被平行平面a】，a2,a3,a4截得的线段相等知，其

中每相邻两个平面间的距离相等，故a】，a2,a3,a4为所求平面.

（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为

则正四面体AiA2A3A4就是满足题意的正四面体.

设正四面体的棱长为a,以4A2A3A4的中心。为坐标原点，以直线A4。为y轴，直线OAi为

Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，

业■a,0),A4(0,

令P2,P3为.A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3(0,-±a,好a),N(--

994

a,0),

亭),NA=弓a,亨a,0),布=4,0)

所以23'=aga，3

9x-5^Jv+4^6z=0

设平面A3P3N的法向量;=（X,y,z）,有

[n*A^=0l3x+JJy=0

所以;=（1，-回，-后）.因为ai,a2,a3,a4相邻平面之间的距离为1,

1（—-）x1J^）+0x（—J6）l__

所以点A4到平面A3P3N的距离44_=i，解得a=JG，

J1+（一日）2+（-#）2

由此可得，边长为JT6的正四面体AiA2A3A4满足条件.

所以所求四面体的体积V=Lsh=LX@“2X叵2=^^3=乂!

3343123

26.（1）过点P作直线I,使点A、B至心的距离相等.这样的直线I可作几条？

（2）过点P作直线I,使点Q到直线I距离为d.这样的直线I可作几条？

（3）与点A、B距离同为d的直线I可作几条？

（4）过点A、B分别作直线li〃b,使3L距离为d.这样的直线kI2可作几组？

（5）过11上-A点作直线I被两平行直线h、12,截得线段为AB,h、L的距离为d.这样的

直线I可作几条？

答案：

解：（1）当点P为线段AB的中点时，过点P作直线I,使点A、B至心的距离相等，这样的

直线I可作无数条.

当点P在直线AB上，但点P不是线段AB的中点时，过点P作直线I,使点A、B至心的距

离相等，这样的直线I可作一条，就是直线AB.

当点P不在直线AB上时，过点P作直线I,使点A、B到I的距离相等，这样的直线I可作

2条，一条和AB平行，另一条过线段AB的中点.

（2）当d>PQ时，过点P作直线I,使点Q到直线I距离为d,这样的直线I可作0条；

当d=PQ时，过点P作直线I,使点Q到直线I距离为d,这样的直线I可作1条.

当d<PQ时，过点P作直线I,使点Q到直线I距离为d,这样的直线I可作2条，直线PQ

正好是这2条直线的角