高中数学：10-6频率的稳定性（学案）

第06讲频率的稳定性

课程标准课标解读

1.通过具体实例的剖析，了解随机事件发生的不确定性与频

率的稳定性；通过本节课的学习，要求能在简单的

2.了解概率的意义以及频率与概率的区别与联系；随机实验中了解频率的稳定性，能用

3.能通过具体的案例用频率估计概率，会解决简单的实际随机模拟的方法估计概率.

题中的频率与概率问题.

趣知识精讲

知识点

1.频率的稳定性

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数〃的增

大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率以A)会逐渐稳定于事件A发生的概率尸(A),我们称

频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率4A)估计概率P(A).

2.频率与概率的区别与联系

名称区别联系

本身是随机的，在试验之前无法确(1)频率是概率的近似值，随着试

定，大多会随着试验次数的改变而验次数的增加，频率会越来越接近

频率

改变.做同样次数的重复试验，得概率

到的频率值也可能会不同(2)在实际问题中，事件的概率通

是一个［0,1］中的确定值，不随试常情况下是未知的，常用频率估计

概率

验结果的改变而改变概率

【微点拨】(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；

(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；

(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.

【即学即练1】下列说法正确的是()

A.任何事件的概率总是在（0,1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】C

【解析】解：由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.

频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故5、。不正确.

频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，

随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确.

故选：C.

【即学即练2］为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000

尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合,

再从水库中捕出一定数的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试上述数据，估计水库内鱼

的尾数是（）

A.22000B.23000C.25000D.26000

【答案】C

【解析】由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为9=2,设水库内鱼的尾数是X,

50025

则有2="，解得》=25000,故选：C.

25x

【即学即练3］已知某运动员每次投篮命中的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮

恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,

7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随

机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

【答案】B

【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，

在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.

共5组随机数，所以所求概率为9=0.25.故选：B.

20

【即学即练4】对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据

标准，产品长度在区间［20,25）上为一等品，在区间［15,20）和［25,30）为二等品，在区间［10,15）和［30,

35）为三等品.用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（）

【答案】D

【解析】解：在区间［10，15）和［30,35）为三等品，

由频率分布直方图得：在区间［10,15）和［30,35）的频率为（0.02+0.03）x5=0.25,所以从这批产品中随机

抽取1件，其为三等品的概率是0.25.故选：D.

【即学即练5】张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）

①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜；

②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜；

③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜；

④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜.

A.①②B.②C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【详解】

①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为g,所以公平；

②中，恰有一枚正面向上包括（正，反）,（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅为（正，正），因此②中游戏不公平.

③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为;，所以公平；

④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况（6,6）,（6,8）,（8,6）,（8,8）,两人写的数字相同和不同是等可

能的，均为:，所以公平；.

故选B.

【即学即练6】（多选题）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正直朝上的概率是

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

9

C.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是否

D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

【答案】CD

【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别，故A错误；

对于B,混淆了频率与概率的区别，故B错误；

对于C,抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是京,符合频率定义，故C正确；

对于D,频率是概率的估计值，故D正确.故选:CD.

【即学即练7】一家保险公司为了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，收集了20000辆汽车的信息，时间是从某

年的5月1日到下一年的4月30日，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃

破碎的概率近似为一.

【答案】0.03

【解析】因为实验次数较大，可用频率估计概率，所以概率尸=3_=0.03,

20000

故一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为0.03.故答案为：0.03.

【即学即练8】某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：

命中环数12345678910

频数24569101826128

如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为:不少于9环的概率为.

【解析】

【分析】

由表中的数据，求对应的比值可得答案.

【详解】

由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为需=看,

1n1Q1

不少于9环的概率为益

故答案为：—;—.

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，属于基础题.

【即学即练9】某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下:

本科研究生合计

35岁以下503585

35-50岁201333

50岁以上10212

从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率;

（1）具有本科学历；（2）35岁及以上；（3）35岁以下且具有研究生学历.

897

【答案】⑴三：⑵发⑶五.

【解析】

（1）先求出具有本科学历的人数，再由频率估计概率即可得解；

（2先求出35岁及以上的人数，再由频率估计概率即可得解；

（3）先求出35岁以下且具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可得解;

【详解】

ono

解：（1）具有本科学历的共有50+20+10=80（人），故所求概率为奇=].

459

（2）35岁及以上的共有33+12=45（人），故所求概率为说=证.

（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为35芸=7£.

13026

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.

u能力拓展

考法01

计算频率：

【典例1】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶,

则此人中靶的频率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用频率的公式求解.

【详解】

由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9,

所以此人中靶的频率是S=0.9.

故选：D

【典例2】10个小球分别编号为1,2,3,4,其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数

字0.4是指1号球占总体的（）

A.频数B.频率C.频率/组距D.累积频率

【答案】B

【解析】

【分析】

根据频率的概念即可得出结果.

【详解】

解析：因为1号球的频数为4,

4

则1号球占总体的频率为正=04

故选：B

【典例3】某射击运动员为了检测自己近阶段的训练效果，做了一次射击测试.在这次测试中，他一共射击

100枪，击中10环的有85枪，则这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是,频率是

【答案】850.85

【解析】

【分析】

根据运动员一共射击100枪，击中10环的有85枪求解.

【详解】

因为一共射击100枪，击中10环的有85枪，

所以这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是85,频率是黑=0.85,

1UU

故答案为:85；0.85

【典例4】一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：

组别[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在［10,40）上的频率为.

【答案】0.52

【解析】

【分析】

根据图表，样本数据落在口0,40）上的频数为13+24+15=52,根据频率公式即可得解.

【详解】

样本数据落在［10,40）上的频数为13+24+15=52.

则样本数据落在口0,40）上的频率为益=0.52.

故答案为:0.52

考法02

辨析频率与概率的关系问题：

【典例5】给出下列说法：

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；

②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；

③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；

④频率就是概率.

其中正确的是()

A.①B.①②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，

所以①正确；

对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；

对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1,所以③错误；

对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误.

综上知，正确的命题序号是①②.故选：C.

【典例6】下列说法正确的有()

A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；

C.任意事件A发生的概率P(A)总满足O<P(A)<1；

D.若事件A的概率趋近于0,即P(A)TO,则事件A是不可能事件.

【答案】AB

【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳

定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个

事件的概率.

•••随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.，A正确.

•.•基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，.•.一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生.，B

正确.

•••必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率大于0,小于1,...任意事件A发生的概

率P(A)满足OWP(A)W,，C错误.

若事件A的概率趋近于0,则事件A是小概率事件，；.D错误

二说法正确的有两个，故选:AB.

【典例7】以下是表述“频率”与“概率”的语句：

①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；

②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；

③计算频率通常是为了估计概率.

其中正确的语句为()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】由频率和概率的定义以及频率和概率的关系判断①②③，即可得正确答案.

【详解】

事件A的频率是指事件A发生的频数与«次事件中事件A出现的次数比，

随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发

生的频率会逐渐稳定在区间［0』中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率.所以随着试验次数的增加，

频率一般会越来越接近概率.计算频率通常是为了估计概率.

所以①②③都正确，

故选：D.

【典例8】对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做

〃次随机试验，事件A发生小次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的〃

次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频

率的稳定值.其中正确的说法有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据频率和概率的关系可判断.

【详解】

由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正

确：

由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定

的理论值，故②错误，③④正确.

故选：ACD.

考法03

用频率估计概率：

【典例9］某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示:

射击次数501002004001000

射中8环以上的次数4478158320800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

【答案】C

【解析】

【分析】

利用频率估计概率即可求解.

【详解】

大量量复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8,

所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8,

故选：C.

【典例10］手机支付己经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了

100名顾客进行调查，统计结果整理如下：

顾客年龄70岁及以

20岁以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

（岁）上

手机支付

3121491320

人数

其他支付

0021131121

方式人数

从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的概率为（）

,212〃23c21

A.—B.-C.—D.—

5055025

【答案】A

【解析】

【分析】

算出100名顾客中，顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.

【详解】

在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的共有11+31=42人，所以从该超市随

机抽取I名顾客，估计该顾客年龄在［40,60）且未使用手机支付的概率为「=芸47=芸91.

10（）5（）

故选：A.

【典例11】一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：

时间范围1年内2年内3年内4年内

新生婴儿数”554496071352017190

男婴数“2883497069948892

则4年内男婴的出生频率为（保留4位小数）；这一地区男婴出生的概率约是

【答案】0.51730.5173

【解析】

【分析】

求出每年内男婴出生的频率，从而可估计4年内男婴的出生频率，用频率来衡量概率即可

【详解】

因为男婴出生的频率依次约为0.520（）,0.5173,0.5173,0.5173.

这些频率非常接近0.5173,所以这一地区男婴出生的概率约为0.5173.

故答案为：0.5173,0.5173

【典例12】容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,10）内的频数为,数

据落在［6,10）内的概率约为.

'频率/组距

0.09F...........r-

0.08--------'

0.03............一一1_

002

°（T2C41822样本数箱

【答案】64.0.32.

【解析】

（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式屋条=频率，计算频数；

（2）转化为求数据落在［6,10）内的频率.

【详解】

由题图易知组距为4,故样本数据落在［6,10）内的频率为0.08x4=0.32,频数为0.32x200=64,故数据落

在［6,10）内的概率约为0.32.

故答案为：64：0.32

【点睛】

本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.

【典例13】某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：

体重变化体重减轻体重不变体重增加

人数27614480

如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：

（1）这个人的体重减轻了；（2）这个人的体重不变；（3）这个人的体重增加了.

【答案】（1）0.552；（2）0.288；（3）0.16.

【解析】

（1）由频率估计概率运算即可得解：

（2）由频率估计概率运算即可得解；

(3)由频率估计概率运算即可得解.

【详解】

(1)由频率估计概率可得：体重减轻了的概率估计值为就=0.552；

50()

144

(2)由频率估计概率可得：体重不变的概率估计值为丽=0.288；

QA

(3)由频率估计概率可得：体重增加了的概率估计值为盘=016.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，重点考查r运算能力，属基础题.

【典例14】某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋

的颜色随机调查了500()名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算

了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：

(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？

(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？

(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？

【答案】(1)红色的频率越来越稳定在0.2

(2)0.2

(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为4:2:2:12:0.8(合理即可)

【分析】(1)根据折线图分析即可；

(2)根据频率和概率的关系判断即可；

(3)根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；

【解析】(1)根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在0.2；

(2)由图可知，红色的频率基本在0.2附近浮动，所以中学生选取红色的概率是0.2：

(3)由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是0.4、0.2、0.2、0.15、0.1,

故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为4:2:2:12:0.8(合理即可);

考法04

游戏的公平性问题：

【典例15］甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）

A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

【答案】B

【解析】

【分析】运用古典概型的概率计算公式，分别计算A,B,C,D中的概率，结合题意，即可得到所求结论.

【详解】A项，P（点数为奇数）=P（点数为偶数）=/；

B项，P（点数之和大于7）=弓15=三5，P（点数之和小于等于7）==21二7/；

36123612

C项，P（牌色为红）=P（牌色为黑）=/；

D项，P（同奇或同偶）=P（奇偶不同）=g.故选：B.

【典例16］（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（）

A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

【答案】ACD

【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.

【解析】对于选项A,甲胜和乙胜的概率都是=3=1所以游戏是公平的；

对于选项B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所

以游戏不公平；

对于选项C,甲胜和乙胜的概率都是||=g,所以游戏是公平的；

对于选项D,甲胜的概率是3，乙胜的概率是所以游戏是公平的.

故选：ACD

【典例17】一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏

是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700

次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？

【解析】当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3,

乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相

对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率

更近.而游戏玩到100（）次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由认为游戏是

不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.

【典例18].一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色,

还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，

由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面

的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的

面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢

的概率为子，我赢的概率也是怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.

【答案】见解析.

【解析】把卡片六个面的颜色记为G-G,G3,用，Bz,B,,其中，G表示球色，B表示蓝色；G3和纥

是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.

【详解】把卡片六个面的颜色记为G-G，G,,用，B2,B、,

其中，G表示绿色，B表示蓝色；G3和鸟是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.

游戏所有的结果可以用如图表示.

朝1.的面G,GGB,B；B,

IIIIII

初卜的面（；:＜；,B,H,B,（；,

不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有.2种，因此乙

赢的概率为因此，这个游戏不公平.

oJ

【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题.

考法05

频率稳定性问题的常见题型：

【典例19】将A,B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下:

投篮次数102030405060708090100

投中次数7152330384553606875

A

投中频率0.7000.7500.7670.7500.7600.7500.7570.7500.7560.750

投中次数8142332354352617080

B

投中频率0.8000.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800

下面有三个推断：

①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；

②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员

投中的概率是。750；

③当投篮达到200次时，5运动员投中次数一定为160次.

其中合理的是（）.A.①B.②C.①③D.②③

【答案】B

【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理,

可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.

【详解】

解：①在大量重复试验时.，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，

次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；

②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；

③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定

是160次，故③不合理；故选：B.

【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.

【典例20],概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生

的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计.利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为20,

100,500时各做5组实验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：

〃=20n=\00n=500

序号

频数频率频数频率频数频率

1120.6560.562610.522

290.45500.552410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

用折线图表示频率的波动情况如下图所示:

n-2O3100〃二500

Q7-------------------------------------------------07-------------------------------------------------

„\/\/

04

09-------------------------------------------------03--------------------------------------------------

1234512945

1294S

根据以上信息，下面说法正确的有（）A.实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率

具有随机性；

B.实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越少越好；

C.随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；

D.我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据频率、概率的知识确定正确选项.

【详解】“实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性“，A正确；

”实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越多越好”，B

错误；

“随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近“，C正

确、D错误.故选：AC

【典例21】在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明

通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数可能

是个.

【答案】16

【解析】

【分析】

根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.

【详解】

根据概率是频率的稳定值的意义，

红色球的个数为40x0.15=6个；

黑色球的个数为40x0.45=18个；

故白色球的个数为40-6-18=16个.

故答案为：16.

【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.

【典例22】在一次掷硬币试验中，掷30000次,其中有14984次正面朝上，则出现正面朝上的频率近似是,

据此，掷一枚硬币，正面朝上的概率是.

【答案】04990.5

【解析】

设“出现正面朝上”为事件A,则〃=30000.%=14984,即可计算频率，进而求得答案.

【详解】

设“出现正面朝上”为事件人.

则"=30000.%=14984.

14984

2(A)=--------»0.499,

"30000

T当实验数据越多频率就越接近概率，

P(A)=0.5.

故答案为：0499,0.5.

【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是频率和概率的定义,当实验数据越多频率就越接近概率,考查

了分析能力和计算能力,属于基础题.

【典例23】2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病

例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表:

年龄(岁)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数50a32030080

(I)求。的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(II)用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.

【答案】(I)"=250,平均数为52.2；(II)0.38.

【解析】(1)由题意知50+a+32()+3(X)+80=l(XX),

a=250>

10x50+30x250+50x320+70x300+90x80c

年龄平均数=---------------------------------------------=52.2.

1000

(II)1000人中年龄不小于60岁的人有380人，

38()

所以年龄不小于60岁的频率为嬴=0.38,

用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.

【典例24】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生

的婴儿性别比分别为115.88和113.51.

(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)

(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

【解析】(1)2014年男婴出生的频率为.‘0.537

100+115.88

2015年男婴出生的频率为一113・51―"0$32

100+113.51

由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532

(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.

因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的'’的结论.

【典例24］某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数,

如下表所示：

鱼卵数200600900120018002400

孵化出的鱼苗数188548817106716142163

孵化成功的频率0.9400.9130.908①0.897②

（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）？

（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.

（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）？

【答案】(1)0.889,0.901(2)0.9(3)翳々5600

【解析】

（1）计算器，墨的值，即可得答案:

（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多,孵化成功的频率稳定在0.9

附近，即可得答案；

（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.

【详解】

（1）黑"°-889,羽”。-901,所以①②对应的频率分别为0.889,0.90L

（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多,孵化成功的频率稳定在0.9

附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.

（3）大概需要鱼卵曹"5600（个）.

【点睛】

本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列说法错误的是（）

A.随机事件的概率与频率是一样的

B.在试验中，某事件发生的频率的取值范围是［0』］

C.必然事件的概率是1

D.不可能事件的概率是0

【答案】A

【解析】

【分析】依据频率和概率，必然事件和不可能事件的定义，依次判断即可

【详解】对于选项A,概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机

事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；

对于选项B,频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是［0』］,故B正确；

对于选项C,D,由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.

故选：A

2.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）

A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.概率是随机的，在试验前不能确定

D.频率就是概率

【答案】A

【解析】

【分析】因为概率是在大量重复试验后，事件A发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案.

（详解】事件A的频率是指事件A发生的频数与«次事件中事件A出现的次数比，

一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增

加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率.

・•・随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.

故选：A.

3.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生

的（）

A.概率为3B.频率为±C.频率为8D.概率接近0.8

55

【答案】B

【解析】投球1次即进行一次试验，连投球10次，即进行了10次试验，用A表示"投进球''这一事件，恰

好投进了8次.则事件A发生的频数为8,所以事件A发生的频率为：—所以CD都不对故选：B.

105

4.关于频率和概率，下列说法正确的是（）

①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为

②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬

币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；

③某类种子发芽的概率为0.903,当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；

④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.

A.②④B.C.①②D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.

【详解】

①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为|,不能说概率，故错误；

②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5,也可能小于05故正确；

③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；

④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.

故选：A

【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.

5.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

本科研究生合计

35岁以下403070

35-50岁271340

50岁以上8210

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（）

A.该教职工具有本科学历的概率低于60%

B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%

C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

【答案】D

【解析】

【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.

【详解】

754

A.该教职工具有本科学历的概率p=高=营=62.5%>60%,故错误；