2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七 函数的单调性与最值含答案

9版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七函数的单调性与最值含答案七函数的单调性与最值(时间:45分钟分值:105分)【基础落实练】1.(5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是 ()A.y=x+sinx B.y=e-xC.y=lnx D.y=|x|【解析】选A.对于A,函数y=x+sinx的定义域是R,且y'=1+cosx≥0,所以y是R上的增函数,满足题意;对于B,函数y=e-x=1ex是对于C,函数y=lnx的定义域是(0,+∞),所以不满足题意;对于D,函数y=|x|=x,x≥0-2.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为 ()A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)【解析】选C.由复合函数的单调性知,要使f(x)单调递增,需x2-4>0,3.(5分)函数f(x)=1x2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 A.12,15 BC.2,1 D.1,1【解析】选A.因为y=x2+1在(0,+∞)上单调递增,且y>1,所以f(x)=1x2+1在区间[1,2]上单调递减,所以函数f(x)=1x2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)=112+14.(5分)函数f(x)=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)【解析】选D.因为f(x)=2-xx+1=-1+3x+1在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,且当x∈(m,n]时最小值为0,即f(n)=0,n=2,所以m<n=2.又函数f(x)的定义域分为两段,x5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,设a=f(A.a<b<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<b<a【解析】选A.因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2),因为x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递增,因为2<2<3,所以f(2)<f(2)<f6.(5分)(多选题)关于函数y=4-(x+1)A.在区间[-1,0]上单调递减B.单调递增区间为[-3,-1]C.最大值为2D.没有最小值【解题指南】先求出函数定义域,令t=4-(x+1)2,根据二次函数的性质,由已知解析式,逐项判断,即可得出结果.【解析】选ABC.由4-(x+1)2≥0得-3≤x≤1,即函数y=4-(令t=4-(x+1)2,则t=4-(x+1)2的图象是开口向下、对称轴为x=-1的抛物线,所以函数t=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减.又y=t单调递增,所以y=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,故A,B正确;ymax=4-当x=1时,y=4-(1+1)27.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为____________,单调递减区间为________________.

【解析】y=-即y=-(画出函数图象如图所示,则其单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).答案:(-∞,-1]和[0,1][-1,0]和[1,+∞)8.(5分)函数f(x)=-x+1x在[-2,-13]上的最大值是【解析】易知f(x)在[-2,-13]即f(-2)为最大值,为2-12=3答案:39.(5分)函数y=2x+x-1的最小值为【解析】方法1(单调性法):函数y=2x+x-1的定义域为[1,+∞),因为函数y=2x与y=故y=2x+x-所以当x=1时,ymin=2+1-即函数y=2x+x-1方法2(换元法):令x-1=t,则t≥0,x=t2+1,所以原函数转化为f(t)=2t2+t+2=2(t+14)2易知在t∈[0,+∞)时,函数f(t)单调递增,所以当t=0时,f(t)min=2,故函数y=2x+x-1答案:210.(10分)已知函数f(x)=x+2(1)写出函数f(x)的定义域和值域;(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.又f(x)=1+2x,所以函数f(x)的值域为{y|y≠1}(2)由题意可设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1+2x1)-(1+2x2)=2x又0<x1<x2,所以x1x2>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.在x∈[2,8]上,f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(8)=54【能力提升练】11.(5分)(2023·兰州模拟)若函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ()A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(0,2] D.[2,+∞)【解析】选D.在函数f(x)=ln(ax-2)中,令u=ax-2,函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数,而函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则函数u=ax-2在(1,+∞)上单调递增,且∀x>1,ax-2>0,因此a>0,a所以实数a的取值范围为[2,+∞).12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是 ()A.f(x)=x2+1x2 B.f(x)=2xC.f(x)=x-1x+1 D.f(【解析】选AD.对于A,f(x)=x2+1x当且仅当x2=1x2,即x=±1时等号成立,故f(x)min对于B,当x>0时,f(x)=2x+2x≥22当且仅当2x=2x,即x当x<0时,-f(x)=2(-x)+2-x≥22(-x)·2-x=4,当且仅当2(-x)=2-x,即x=-1时等号成立,故f(x)≤-4.所以f对于C,f(x)=x-1x+1=1-2x+1对于D,由题意可得x≥0x+1>0故f(x)=lg(x+1)的定义域为[0,+∞).因为y=lgu在定义域内单调递增,u=x+1在定义域[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg(x+1)在定义域[0,+∞)上单调递增,则f(x)=lg(x+1)≥f(0)=0,故f(x)=lg(x+1)有最小值0,D正确.13.(5分)若函数y=||x|-1x2|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=A.3116 B.2 C.94 D【解析】选A.可令|x|=t,则1≤t≤4,y=t-1t易知y=t-1t所以其最小值为1-1=0,最大值为2-116=3116,则m=0,M=3116,则M-m14.(5分)能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,则h(x)=f(x)g(x)在R上为增函数”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________,________.

【解析】根据题意,“若函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,则h(x)=f(x)g(x)在R上为增函数”为假命题,即函数f(x),g(x)在R上均为增函数,而函数h(x)=f(x)g(x)在R上不是增函数,可考虑f(x),g(x)均为一次函数,可取f(x)=x,g(x)=x,则函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,但函数h(x)=f(x)g(x)=x2在R上不是增函数.答案:f(x)=xg(x)=x(答案不唯一)15.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=f(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=0,所以b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,所以a=1,b=2,从而f(x)=x2+2x+1.所以F(x)=((2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,所以g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-2-k2≤-2或-2-k2≥2,得k≤-2或k≥6.16.(10分)已知f(x)=x2+2x+a(1)当a=12时,求函数f(x(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=12时,f(x)=x+1任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(12x1-1因为1≤x1<x2,所以x1x2>1,所以2x1x2-1>0.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72(2)在区间[1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立⇔x2设g(x)=x2+2x+a(x≥1),则g(x)min>0.又g(x)=(x+1)2+a-1,其图象的对称轴为x=-1,且开口向上,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=3+a.由3+a>0,得a>-3,所以a的取值范围是(-3,+∞).【素养创新练】17.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-fA.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数【解析】选A.不妨令x1<x2,所以x1-x2<0,因为f(x1)-f(x2)x1-x2>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)<g(x2),又x1<x2,所以g(x)=f(x)+x是增函数.18.(5分)如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=f(x)x在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫“缓减区间”.可以证明函数f(x)=xa+bx(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-ab],[ab,+∞);单调递减区间为[-ab,0),(0,ab].若函数h(x)=12x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数hA.(0,2] B.(0,2]C.[32,2] D.[1,3【解析】选C.对于h(x)=12x2-2x+1,单调递减区间是(-∞,2];对于y=h(x)x=x2+1x-2,单调递增区间是(-∞,-2]和[2,+∞),h(x)=12x2-2x+1的“缓减区间”为(-∞,-2]和[2,2],只有C中的[七十随机事件的概率与古典概型(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则 ()A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A=BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或5【解析】选A.设A={1,3},B={1,5},则A∩B={1},A∪B={1,3,5},所以A≠B,A∩B表示向上的点数是1,A∪B表示向上的点数为1或3或5.2.(5分)抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”,事件B为“向上一面点数为6的约数”,则P(A+B)= ()A.13 B.12 C.23 【解析】选D.由题意得,抛掷结果有6种等可能的结果,事件A即为向上一面的点数为2或4或6,事件B即为向上一面的点数为1或2或3或6,事件A+B即为向上一面的点数为1或2或3或4或6,所以P(A+B)=563.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 ()A.16 B.13 C.12 【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=21-721=24.(5分)奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成,五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见.5个奥林匹克环共有8个交点,从中任取3个点,则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为 ()A.314 B.514 C.37 【解析】选A.从8个点中任取3个点,共有C83=56种情况,这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有3×C43=12种情况,故所求的概率P=5.(5分)(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,D3=“点数大于5”;E=“点数为奇数”;F=“点数为偶数”.下列结论正确的是 ()A.C1与C2对立 B.D1与D2不互斥C.D3⊆F D.E⊇(D1∩D2)【解析】选BC.对于A,C1=“点数为1”,C2=“点数为2”,C1与C2互斥但不对立,故选项A不正确;对于B,D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,当出现的点数是2时,D1与D2同时发生,所以D1与D2不互斥,故选项B正确;对于C,D3=“点数大于5”表示出现6点,F=“点数为偶数”,所以D3发生时F一定发生,所以D3⊆F,故选项C正确;对于D,D1∩D2表示两个事件同时发生,即出现2点,E=“点数为奇数”,所以D1∩D2发生,事件E不发生,所以E⊇(D1∩D2)不正确,故选项D不正确.6.(5分)(多选题)某评分软件将用户评价的一到五星转化为分值(一星2分,二星4分,三星6分),用得分总和除以评分的用户人数得到数字.某影片的评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是()A.m的值是32%B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件【解析】选ACD.参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确;随机抽取100名观众,可能有100×24.0%=24(人)评价五星,但只是估计值,B错误;评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%,故C正确;根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件,故D正确.7.(5分)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.

【解析】根据题意,从正方体的8个顶点中任选4个,有C84=70若这4个点在同一个平面,有侧面6个、对棱面6个,一共有6+6=12种情况,则这4个点在同一个平面的概率P=1270=6答案:68.(5分)某城市2023年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100概率111污染指数T110130140概率721其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50<T≤100时,空气质量状况为良;100<T≤150时,空气质量状况为轻微污染.该城市2023年空气质量状况达到良或优的概率为__________.

【解析】从题表中可以看出,空气质量为优的概率为110,空气质量为良的概率为16+13=12.所以空气质量状况达到良或优的概率为110答案:39.(10分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如表:排队人数012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“4人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.【能力提升练】10.(5分)如果事件A,B互斥,记A,B分别为事件A,B的对立事件,那么 ()A.A∪B是必然事件B.A∪B是必然事件C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥【解析】选B.如图①所示,A∪B不是必然事件,A∪B是必然事件,A与B不互斥;如图②所示,A∪B是必然事件,A∪B是必然事件,A与B互斥.11.(5分)(多选题)甲、乙两人做下列4个游戏,其中对甲、乙都公平的有 ()A.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数为奇数,则甲胜,向上的点数为偶数,则乙胜B.甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,则甲胜,是黑色,则乙胜D.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,则甲胜,两枚都是正面向上,则乙胜【解析】选ABC.P(向上的点数为奇数)=P(向上的点数为偶数)=12,选项A公平甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是12,选项B公平P(牌为红色)=P(牌为黑色)=12,选项C公平同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为12,两枚都是正面向上的概率为14,P(甲胜)≠P(乙胜),选项D12.(5分)已知从某班学生中任选两人参加农场劳动,选中两人都是男生的概率是13,选中两人都是女生的概率是215,【解析】记“选中两人都是男生”为事件A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件C,易知A,B为互斥事件,A∪B与C为对立事件,又P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+215=715,所以P(C)=1-P(A∪B)=1-7答案:813.(10分)近年来,我国科技成果斐然,北斗三号全球卫星导航系统已开通多年,北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星,共30颗卫星组成.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率;(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.【解析】(1)记地球静止轨道卫星为1,2,3,记倾斜地球同步轨道卫星为a,b,c,则所有的选择为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(1,c),(2,3),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,b),(a,c),(b,c).记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾