高中数学 3-3（一）二倍角的三角函数(一)活页训练 北师大版必修4

【创新设计】-学年高中数学3-3（一）二倍角的三角函数(一)活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．计算1－2sin222.5°的结果等于()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)解析1－2sin222.5°＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).答案B2．已知等腰三角形底角的余弦值为eq\f(2,3)，则顶角的正弦值是()．A.eq\f(4\r(5),9)B.eq\f(2\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9)D．－eq\f(2\r(5),9)解析令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(2,3)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),9). 答案A3．若eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，则cosα＋sinα的值为()．A．－eq\f(\r(7),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(7),2)解析由eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),2)得eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\f(\r(2),2)，所以cosα＋sinα＝eq\f(1,2).答案C4．函数f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期是________．解析∵f(x)＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,2))),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin4x，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)5．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝________.解析∵tan(π＋2α)＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，∴tanα＝－eq\f(1,2)，或tanα＝2.∵α在第二象限，∴tanα＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)6．(1)求coseq\f(π,12)coseq\f(5π,12)的值；(2)求cos20°·cos40°·cos80°；(3)求eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)的值．解(1)coseq\f(π,12)coseq\f(5π,12)＝coseq\f(π,12)sineq\f(π,12)＝eq\f(1,2)·2coseq\f(π,12)sineq\f(π,12)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).(3)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),\f(1,2)×2sin10°·cos10°)＝eq\f(4·sin30°－10°,sin20°)＝4.综合提高限时25分钟7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析由角θ的终边在直线y＝2x上可得tanθ＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5).答案B8．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ的值为()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1＋tan2θ,tanθ)＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).答案D9．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))的值为________．解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝－1＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－1＋2×eq\f(1,9)＝－eq\f(7,9).答案－eq\f(7,9)10．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，则tan2α＝________.解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝－eq\f(4,3).答案－eq\f(4,3)11．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(eq\r(2)，eq\r(2))，若a·b＝eq\f(8,5)且eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，求eq\f(sin2x1＋tanx,1－tanx)的值．解∵a·b＝eq\r(2)cosx＋eq\r(2)sinx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(8,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，∵eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,4)<eq\f(3,4)π.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(4,3).∴eq\f(sin2x1＋tanx,1－tanx)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq\f(28,75).12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cos2x0的值．解(1)∵f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴函数f(x)的最小正周期为π.∵f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上为增函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上为减函数，又f(0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－1，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))).∵f(x0)＝eq\f(6,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).又∵x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x0＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6))).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq\f(4,5).∴cos2x0＝coseq\b\l