高中数学函数知识点 总结

中学数学函数学问点总结

1.对于集合，肯定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A={x|y=lgx},8={y|y=lgx},C={（x,y）Iy=1gx}9A、B、C

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2进行集合的交、并、补运算时，不要遗忘集合本身和空集的特殊状况

留意借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=卜伙?-2x-3=0},B={x|ax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

（答:{-1.。,小

明显，这里很简洁解出A={-1,3）.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。依据条件，可以得到a=-l,a=l/3.但是，这里千万当心，还有

•-个B为空集的状况，也就是a=O,不要把它搞遗忘了。

3.留意下列性质：

（1）集合{a〃％,……，an}的所有子集的个数是2、

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素ai来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2,aj,……a”,都有2种选择，所以，总共

有2"种选择，即集合A有2"个子集。

当然，我们也要留意到，这2"种状况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的状况，故真子集个数为2"—1,非空真子集个数为2"-2

（2）若A1B=AriB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律:

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？（解除法、间接法）

如：已知关于X的不等式与0<0的解集为M,若3eM旦5比M,求实数a

x-a

的取值范围。

a•3—5

（,.•3eM,/.__-vO

=a6[1,搭）U（9,25））

•••5EM,/.：5•-5之0

52-a

留意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过：如告知你函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在（-8,1）上单调递减，在（1,+8）上单调

递增，就应当立刻知道函数对称轴是x=l.或者，我说在上，也应当立刻可以想到m,n事实上就是方程的2个根

5、熟识命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（V）,“且"（人）和“非”（「）.

若p/xq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟识充要条件的性质（高考常常考）

A={x|x满意条件p}，3={x|九满意条件q},

若；则〃是q的充分非必要条件oAB；

若：则p是q的必要非充分条件oAB；

若；则p是q的充要条件oAB；

若；则〃是q的既非充分又非必要条件=：

7.时映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否留意到A中元素的随意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

留意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有m个。

如：若4={1,2,3,4},3={〃,Z?,c}；问：A到8的映射有个，5到A的映射有个；A到8的函数有个，若4={1,2,3},则A到

B的一一映射有个。

函数y=0（%）的图象与直线x=a交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

福同函数的推断方法:①表达式相同；②定义域一样（两点必需同时具备）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=—---2的定义域是

（答：（0，2）U（2,3）u（3,4））

lg（x-3）2----------

函数定义域求法：

•分式中的分母不为零：

•偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

・指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零

且不等于一，真数大于零。

正切函数丁=tanx［x£R,且工wk兀+三,keZ

•余切函数丁=cotx（尤£凡且xweZ）

•反三角函数的定义域

［.1/］

函数y=arcsinx的定义域是［―1,1］,值域是22,函数y=arccosx的定义域是［―1,I］,值域是［0,兀］,函数y=arctgx的定义域是R,

7

值域是函数y=arcctgx的定义域是R,值域是（0,兀）.

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满意每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f（x）的定义域是［a,b］,b＞-a＞0,则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定

义域是o（答：|a,-a］）

复合函数定义域的求法：已知＞=/（%）的定义域为［见司，求＞=/卜（刈的定义域，可由相＜g（x）＜〃解出x的范围，即为

y=/[g(x)]的定义域。

例若函数y=/(x)的定义域为1,2,则/(log2%)的定义域为•

,2可知：-1<x<2：所以y=/(log2X)中有(〈logzXWZ。

分析：由函数y=/(x)的定义域为

2

解：依题意知：^<log2x<2

解之，得4

；・7(log2x)的定义域为{x|V2<x<4}

11、函数值域的求法

1、干脆视察法

对于一些比较简洁的函数，其值域可通过视察得到。

例求函数y=L的值域

X

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=%2-2x+5,x£[T,2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的具体写出来，希望大家能够看懂

「型：直接用不等式性质

a.y=J

k+x2

b.y=-———•型，先化简，再用均值不等式

x+mx+n

X

例：y-J_<1

1+x2x+「2

X

x2+m&+n'

y=—型逋常用判别式

x2+rnx+n

X2+mx+n型

y=­

x+n

法一:用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

X2H-X-F1(x-f-l>2-(x+l)+1

例：y(x+1)+-------1>2-1=1

X4-1x+lX4-1

4、反函数法

干脆求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x+4

例求函数y二------值域。

5x4-6

5、函数有界性法

干脆求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

…一以e"-12sin6-12sin^-l

例求函数丫=—---,y=-----------,y=----------二的值域。

ex+1-1+sin。1+cos。

ex-1

y=---------

ex+1罟>。

2sinG-1,.口1]1+，“]

'=------:—―=>lsinO|=|-—」|<1,

1+sin02—y

2sin0—1-•八f八八、

y=----------------=>2sin0—1=y(l+cosO)

14-cosO

2sin0—ycos夕=1+y

(4+y2sin(6+x)=1+y,艮|3sin(。+x)=,+，=

J4+y2

又由卜in(4+x)|W1矢口J+)=W1

V4+.v2

解不等式，求出y,就星要求的答案

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=2'5+log?J』一1(2WxW10)的值域

7、换元法

通过简洁的换元把•个函数变为简洁函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+Jv—1的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简洁，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P(x.y)在圆xz+y2=l上，

(1)—匕的取值范围

x+2

(2)y-2疝勺取值范围

解：⑴令」一二则y=A(x+2),是一条过(-2,0)的直线.

x-2

d<Rd为圆心到直线的距离,R为半径)

(2)令y-2x=/?,即y—21一力=0,也是直线dd</?

例求函数y二鼠-2)2+"8y的值域。

B上.A>

-802

解：原函数可化简得：y=Ix-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=Ix-2|+|x+8|=I/\B|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=Ix-2|+|x+8|>IAB|=10

故所求函数的值域为：［10,+8)

例求函数丫=不x~-6口+13+《x~+4x+5的值域

解：原函数可变形为：y=J(%-3)2+(0-2)2+"2)2+(0+1)2

A(3,2)

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,

=AB

由图可知当点P为线段与x轴的交点时,ymin।।=J(3+2)~+(2+l)，

故所求函数的值域为［j石，+8)。

注：求两距离之和时，要将函数

9、不等式法

利用基本不等式a+b22J茄，a+b+c233j嬴(a,b,c£),求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式

是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：X24-—(X>O)

X

1/1

=x2+-H-----23?/x2x—x—=3

XXXX

其应用公式a+b+c33V^Z时，注意使3者的乘积变成常数)

X2(3-2X)(O<X<1.5)

=x-x"(3-2ox)、<-(/-x--+--x-+--3-—--2-x-)'3=1.

(应用会、式abcM("+>+c)3时,应注意H更3者龙环口变成常数)

3

倒数法

有时，干脆看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发觉另一番境况

Jx+2

例求函数y二--------的值域

x+3

7x+2

y=-------

'x+3

x+2工OH寸，

1x+2+1/­

——=-/_____=7X4-24->2=^>O<^<—

y7x+2x/x+22

x+2=O时,y=O

丁.。士yw/

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要细致、细致视察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑干脆法，函数单调性法和

基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特殊是做大题时，肯定要留意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：f(jx+1)=ex+x,求f(x).

令t=Jx+1,贝(jt20

x=t—-1

.•.f(t)=el2-'+t2-l

.*.f(x)=ex2-,+x2-l(x>0)

13.反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数)

求反函数的步骤驾驭了吗？

(①反解X；②互换x、y：③注明定义域)

1+x(x>0)

如：求函数f(x)=,，的反函数

-x2(X<0)

x-1(x>1)

(答：f」(x)=1L'/'、)

一Y-x(xv0)

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利。请看这个例题：

(2004.全国理)函数了=五=1+1(*21)的反函数是(B)

A.—2x+2(x〈l)B.y=x2—2x+2(x^l)

C.y=f-2t(x<l)D.y=/-2x(x21)

当然，心情好的同学，可以自己渐渐的计算，我想，一番心血之后，假如不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。惋惜，这个不合我胃

口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为X〉=1,那反函数值域也为y>=l.解除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=l,则反函数定义域为x>=l,答案为B.

我题目已经做完了，似乎没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)

2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)

3、反函数的图像和原函数关于直线二x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y=x对称：

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,acA,beC,则f(a)=bo—(b)=a

f-l[f(a)]=f'(b)=a,f[f-l(b)]=f(a)=b

由反函数的性质，可以快速的解出许多比较麻烦的题目，如

(04.上海春季高考)已知函数y(x)=Iog3(q+2),则方程/T(x)=4的解x=.

X

15.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

推断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

依据定义，设随意得XI,X2,找出f(X),f(X2)之间的大小关系

/(X)-/(X)/(X)

可以变形为求~二^一2的正负号或者三一「与1的关系

x//(%)

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性；(特例：奇函数)

②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例：偶函数)

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向改变的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当。>0时・，它们是同向改变的；当cVO时，它们是反向改变的。

③假如函数门(x),f2(x)同向改变,则函数fl(x)+f2(x)和它们同向改变；(函数相加)

④假如正值函数fl(x),f2(x)同向改变，则函数fl(x)f2(x)和它们同向改变；假如负值函数fl(2)与f2(x)同向改变，则函数fl(x)f2(x)和它

们反向改变；(函数相乘)

⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向改变。

/(A)

⑥若函数u=6(x),x[a,B]与函数y=F(u),u£[4>(a),6(B)]或u£[<i>(B),6(a)]同向改变，则在[a,B]上复合函数y=F[小(x)]

是递增的；若函数u=(i)(x),x[a,B]与函数y=F(u),u£[4>(a),巾(6)]或uW[@(B),小(a)]反向改变，则在[a,B]上复合函数y

=F[6(x)]是递减的。(同增异减)

⑦若函数y=f(x)是严格单调的，则其反函数x=f-(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数

增增增增增如：求y=log|(-x?+2x)的单调区间

增减减//2

减增减//

减减增减减(设u=-x2+2x,由u>。则0<xv2

且k)g]uJ,u=-(x-l)2+1,如图:

2

当x£(0,1]时，uT,又1.yJ

2

当X£[l,2)时，uJ,又AyT

2

)

16.如何利用导数推断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有“x)NO则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x)<0呢？

如：已知a>0,函数f(x)=X，-ax在［1,+8)上是单调增函数，贝如的最大

值是()

A.0

B.1

D.3

则X4Yl或X2.

由已知f(x)在［1,+8)上为增函数，则《41，即a43

，a的最大值为3)

17.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立=f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称

留意如下结论：

(I)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；•个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若必=/片为奇函数‘则实数”

(•.•f(x)为奇函数，xeR,又OeR,/.f(O)=O

a,2°+a—2.八

即Rn-----------=0,a=1)

2°+1

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当XG(O,1)时，f(X)=F—

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令X£(-l,0),则-X£(0,1),f(-x)=———-

又f(x)为奇函数，...f(x)=--^—=一一

4+11+4

2*xe(―1,O)

4*-+x=O

又f(0)=O,/.f(x)=i

2X

xe(O>1)

4+1

推断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非

偶函数.

奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算/(一幻，然后依据函数的奇偶性的定义推断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形

f(x)+f(-X)=0奇函数

f(x)-f(-x)=0偶函数

f(x)

F(^)=1偶函数

f(x)

奇函数

三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)Hg(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非偶奇

偶奇偶非奇非偶奇

偶偶偶偶偶

18.你熟识周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TwO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=_f(x),则

(答：f(x)是周期函数，1=22为0*)的一个周期)

我们在做题的时候，常常会遇到这样的状况：告知你f(x)+f(x+t)=O,我们要立刻反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：

/(x)+/(x+r)=0

=>/(X)=f{x+2t)

/(^+Z)+/(x+2/)=0

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个

数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若/(X)图象有两条对称轴x=a,x=b

即/(a+x)=f{a-x),f(b+x)=/(Z?-x)

=>l'/、、片>/(2a_x)=/(2b_x)

=f(2b-x)J

令，=2a—x,贝-x=t+2.b-2a,/(，)=+2b-2a)

即/(x)=f(x+2b—2a)

所以，函数/(x)以2|。-a|为周期(因不知道a,〃的大小关系,

为保守起见,我加了一个绝对值

如:

19.你驾驭常用的图象变换了吗？

f(X)与f(-X)的图象关于上班对称联想点(x,y),(-x,y)

f(X)与-f(X)的图象关于X轴对称联想点(x.y),(x,-y)

f(X)与-f(-X)的图象关于原点对称联想点(x,y),(-x,-y)

f(X)与fT(X)的图象关于直线y=X对称联想点(x,y),(y,x)

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线X=a对称联想点(x,y),(2a-x,y)

f(x)与-f(2a-X)的图象关于点(a,0)对称联想点(x,y),(2a-x,0)

将y=f(x)图象4■搀@>。)个里"丫=f(x+a)

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)

上移b(b>0)个单位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧-对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要推断函数y-b=f(x+a)

怎么由y=f(x)得到，可以干脆令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)

留意如下“翻折”变换：

/U)——|把x轴下方的图像翻到上面

fM----->Z(I%D把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=|log2(x+1)|及y=log2|x+1|的图象

19.你娴熟驾驭常用函数的图象和性质了吗？

(1)一次函数：y=kx+b(k*O)(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

(2)反比例函数：丫="(1<工0)推广为丫=6+」一(1<力0)是中心0'缶，b)

xx—a

的双曲线。

(3)二次函数y=ax?+bx+c(aX0)=a[x+\1r图象为抛物线

顶点坐标为(一畀守'对称轴x=-2

4ac—b?

开口方向：a>O,向上，函数y,m

4a

4ac-b2

a<0,向下，y,.

4a

—b±r

根的关系:x=

-2a-

b

X]+x=----,X)xx=

2a2

二次函数的几种表达形式：

"x)=ax2+Z?x+c(-一般式)

/(x)=a(x—+"(顶点式，(m,n)为顶点

/(x)=々(x—X])(尤—“2)(E，出是方程的2个根)

/(x)=a(x—)(x—x2)+/?(函数经过点(犬1，%)(工2，八)

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程

ax2+bx+c=0,△>()时，两根X1、x2为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。

区间在对称轴左边(〃v———)fmax=/*(/??),fmin=f(n)

2a

区间在对称轴右边(”>———>fmax=y(rz),fmin=/(w)

la

区间在对称轴2边(〃v——<nr)

2a

—Z?2

fmin=-------------,fmax=max(/(7??),/(«))

4a

也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大

(只讨论a>0的情况)

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

A>0

b[

如：二次方程ax?+bx+c=O的两根都大于k=,--->k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于ku>f（k）<0

A>0

b

m<--<n

在区间（m,n）内有2根2a

(4)指数函数：y=ax(a>0,awl)

>0

/(H)>0

在区间（m,n）内有1根

(5)对数函数y=k)gax(a>0,awl)

由图象记性质！（留意底数的限定！）

（6）“对勾函数"y=x+-（k>0）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？（均值不等式肯定要留意等号成立的条件）

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(a/0),a-P=4(a#0)

ap

an=(a>0),an=——(a>0)

对数运算：log“(MxN)=log,,M+log„N(M>0,N>0)

loga=logaM-logaN,logaVKi=-logaM

Nn

对数恒等式：a^x=x

对数换底公式：log“6=心队b=>logb"=—log(,b

log(.a"m

,1

10g"X="j-------

log)

21.如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如：⑴xKR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,........)

(2)xwR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t•t)

Af(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

Af(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性：f(x2)=f[(x2-Xj)+x2]=.......

(对于这种抽象函数的题目，其实简洁得都可以干脆用死记了

1、代y=x,

2、令x=0或1来求出f(0)或f(l)

3、求奇偶性，令丫=-x；求单调性：令x+y=xi

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

f(x)=kx(AX0)---------------f(x±j)=f(x)±f(y)

2.事函数型的抽象函数

X/(X)

f(x)=x0----------------f(xj)=f(x)f(j);/(—)=-----

y/(y)

3.指数函数型的抽象函数

f(x)

f(工)=心------------f(x+y)=f(x)f(j)；f(x—j)=-........

f(y)

4.对数函数型的抽象函数

X

f(x)=log«x(。>0且---f(x-y')=f(x)+/(y)；f(—)=f(x)—f(j)

y

5.三角函数型的抽象函数

/(x)+/(y)

f(x)=tgx・-fa+y)=

f(x)=cotr--f(x+y)=

f(x)+f(y)

例1已知函数/(X)对随意实数X、y均有/Cr+y)=/(x)+/(y),且当xX)时，/)乂)，五-1)=-2求段)在区间[—2,1]上的值域.

分析：先证明函数/(外在R上是增函数(留意到了(也)=J[(%2-xi)+xi]=f(x2-xy)+/(xi))；再依据区间求其值域.

例2已知函数/(X)对随意实数x、y均有/(x+y)+2=f(x)+/(y),且当心>0时，段)>2,<3)=5,求不等式/(排―？)<3的解.

分析：先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1)；再求出/(I)=3；最终脱去函数符号.

例3已知函数/(x)对随意实数x、y都有/(外)=f(X)f(y),且，(-1)=1,/(27)=9,当OWxVl时，f(x)G[0,I].

(1)推断f(%)的奇偶性；

(2)推断f(x)在[0,+8]上的单调性，并给出证明；

(3)若々20且/(a+1)&正,求〃的取值范围.

分析：(1)令y=-1；

X.X.

⑵利用/(川)=/(—-X2)=/(-)/(X2)；

x2x2

(3)0，＜2.

例4设函数/(x)的定义域是(一8,4-oo),满意条件：存在使得/(xi)W/(%2)；对任何x和y,/(x+y)=f(x)f(y)成

立.求：

(1)/(O)；

(2)对随意值4,推断了G)值的符号.

分析：(1)令x=y=O；(2)令y=xWO.

例5是否存在函数/(%),使下列三个条件：®f(x)>OKEN；②/*(a+b)=f(a)/(b),a、b《N；®f(2)=4.同时成立？若存在，求

出了(x)的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出/(x)=2七再用数学归纳法证明.

例6设f(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满意/(%・y)=/(x)+/(y),/(3)=1,求:

(1)/(I)；

(2)若/CO+/(x-8)W2,求x的取值范围.

分析：(1)利用3=1X3；

(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y=/(x)的反函数是y=g(x).假如/(〃b)=/(a)+/(b),则g(o+b)=g(a)•g(b)是否正确，试说明理由.

分析：设f(a)=阳，f(b)=n,则g(w)=a,g(n)=b>

进而“+〃=/(a)+/(b)=f(6?b)=f[g(加)g(n)

例8已知函数/(x)的定义域关于原点对称，旦满意以下三个条件：

/,(花)/(匕)+1

①k、M是定义域中的数时,有了(XI—X2)

②

=-1(a>0,a是定义域中的一个数);

③

当OVxV2a