2024年九年级数学下册28锐角三角函数小专题六走进圆中解直角三角形检测题含解析新版新人教版

小专题(六)走进圆中解直角三角形1．(衢州中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(A)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)2．如图，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为eq\f(2,3)．3．(凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是eq\o(BDC,\s\up8(︵))的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F，E，且eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵)).(1)求证：△ADC∽△EBA；(2)假如AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠CDA＝180°.又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.∵eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA.(2)∵A是eq\o(BDC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).∴AB＝AC＝8.∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，eq\f(DC,BA)＝eq\f(AC,EA)，即eq\f(5,8)＝eq\f(8,AE).∴AE＝eq\f(64,5).∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(8,\f(64,5))＝eq\f(5,8).4．(河北中考)如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧eq\o(CD,\s\up8(︵))于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.(1)求证：AP＝BQ；(2)当BQ＝4eq\r(3)时，求eq\o(QD,\s\up8(︵))的长；(结果保留π)(3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．解：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与⊙O相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠APO＝∠BQO＝90°.∵OA＝OB，OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP＝BQ.(2)∵BQ＝4eq\r(3)，OB＝eq\f(1,2)AB＝8，∠BQO＝90°，∴sin∠BOQ＝eq\f(\r(3),2).∴∠BOQ＝60°.∵OQ＝8×cos60°＝4，∴eq\o(QD,\s\up8(︵))的长为eq\f(（270－60）π×4,180)＝eq\f(14π,3).(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM＝4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.5．(保定模拟)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接OC，假如OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝eq\f(1,2)，AD＝3，求直径AB的长．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°.∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠OBC＝90°.∴BC是⊙O的切线．(2)∵E是弦BD的中点，点O是AB的中点，∴OE∥AD.∴∠COB＝∠A.∵∠D＝∠OBC＝90°，∴∠C＝∠ABD.∵tanC＝eq\f(1,2)，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，即eq\f(3,BD)＝eq\f(1,2).∴BD＝6.∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5).6．(河北中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起围着点O按逆时针方向起先旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发觉(1)当α＝0°，即初始位置时，点P在直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转的过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．拓展(4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究(5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．备用图解：(1)当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.(2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时，OA＋AP＝OP成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°时，P，A间的距离最小．PA的最小值为1.(3)设半圆K与BC的交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°.∴∠RKQ＝2×30°＝60°.∴S扇形RKQ＝eq\f(60π×（\f(1,2)）2,360)＝eq\f(π,24).在Rt△RKE中，RE＝RK·sin60°＝eq\f(\r(3),4)，∴S△RKP＝eq\f(1,2)PK·RE＝eq\f(\r(3),16).∴S阴影＝eq\f(π,24)＋eq\f(\r(3),16).(4)∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.∴eq\f(AN,BN)＝eq\f(AO,BM)，即eq\f(1－BN,BN)＝eq\f(1,x).∴BN＝eq\f(x,x＋1).如图4，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F.BQ＝AF＝eq\r(OQ2－QF2)－OA＝eq\r(32－12)－1＝2eq\r(2)－1.∴x的取值范围是0＜x≤2eq\r(2)－1.(5)半圆与矩形相切，分三种状况：①如图③，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G.在Rt△OSK中，OS＝eq\r(OK2－SK2)＝eq\r(（\f(5,2)）2－（\f(3,2)）2)＝2.在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2eq\r(3)，KO′＝2eq\r(3)－eq\f(3,2).在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝eq\f(1,2)KO′＝eq\r(3)－eq\f(3,4).在Rt△OGK中，sinα＝eq\f(KG,OK)＝eq\f(\r(3)－\f(3,4),\f(5,2))＝eq\f(4\r(3)－3,10).②半圆K与AD切于点T，如图6，同理可得sinα＝eq\f(KG,OK)＝eq\f(\f(1,2)O′K,\f(5,2))＝eq\f(\f(1,2)（O′T－KT）,\f(5,2))＝eq\f(1,2)×[eq\r(3)×eq\r(（\f(5,2)）2－（\