沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第14讲二次函数中的平移问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

第14讲二次函数中的平移问题（核心考点讲与练）【基础知识】一．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。【考点剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过、两点．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；（2）将抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点．①求的度数；②将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．2.(2023宝山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=13x2+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．【过关检测】1．(2023普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．yx2bxc（0和（4Px轴相Q.BCBQ=CP3(2023闵行一模24）.如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．（1）用含的代数式表示顶点的坐标：（2）当顶点在△AOB内部，且S△AOC（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在△AOB内，求的取值范围．4(2023奉贤一模24）（本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题每小题满分4分)如图11,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0),与y(1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标;(2)将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为M,点C的对应点为E.①如果点M落在线段BC上,求∠DBE的度数②设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当PE=2PQ时,图图115．(2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．6.【2023年静安区二模24】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．求此抛物线表达式与顶点C的坐标；求∠ABC的正弦值；将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第2（第24题图）AOxy7.【2023年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．8.【2023年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．9.【2023年浦东新区二模24】（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．第14讲二次函数中的平移问题（核心考点讲与练）【基础知识】一．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。【考点剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过、两点．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；（2）将抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点．①求的度数；②将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．答案:（1），（2）①；②或分析：（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；（2）①连接，则轴，设交点为C，则，根据平移求得点的坐标，进而即可求得的度数，②根据题意画出图形，过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，根据△MNB的面积为1建立方程，即可求得点N的坐标．【小问1详解】解：∵抛物线经过、解得∴∴【小问2详解】∵抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点∴连接，则轴，设交点为C，则∵∴，在中，∴②过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，∵在中，，，∴，，则∵将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，∴∴在与△BMD中∴∴，∵∴∵将抛物线向左平移个单位，平移后的抛物线顶点∴平移后的抛物线解析式为设，则∴，∵∴∴∵∴解得或∴N的坐标为或【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，平移问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．2.(2023宝山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=13x2+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．分析：（1）根据题意可画出函数图象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，进而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），将点A的坐标代入抛物线解析式可求出b的值，化作顶点式可求出点P的坐标；令（2）根据抛物线的平移可求出新抛物线，令x＝0，可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可求出△APM的面积；（3）过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，可得出MQ和PQ的长，进而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN与△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出点【解答】解：（1）根据题意可画出函数图象，令x＝0可得y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1．在Rt△AOC中，tan∠CAB=1∴OCOA∴OA＝3，∴A（3，0）．将点A的坐标代入抛物线解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b∴抛物线的解析式为：y=13x2−23x﹣1∴顶点P（1，−4令y＝0，即13（x﹣1）2−∴x＝3或x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y=13（x﹣3）2令x＝0，则y=5∴M（0，53连接AP并延长交y轴于点D，∴直线AP的解析式为：y=23∴D（0，﹣2），∴S△APM=12（xA﹣xP）•MD=12×（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=1∴AB＝4，AC=10如图，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，∴MQ＝1，PQ53∴tan∠MPQ=MQPQ=1∴∠MPQ＝∠CAB，若△PMN与△ABC相似，则PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，设N（1，t），则PN＝t+4∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+4解得t=76或t∴N（1，76）或（1，8【点评】本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角函数值，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识．第（3）问得出∠MPQ＝∠CAB是解题关键．【过关检测】1．(2023普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．分析：（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．yx2bxc（0和（4Px轴相Q.BCBQ=CP解：（1）根据题意………（2分）解得：，。∴抛物线的表达式是…………………（2分）（2），∴顶点P的坐标是（2，5）.对称轴是直线x=2，点Q的坐标为（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根据题意，BC∥PQ.如果点C在点B的上方,PC∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是.…………（2分）如果点C在点B的下方，四边形BCQP是等腰梯形时BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分别为E、F.根据题意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是……………（2分）.综上所述，平移后的抛物线解析式是或.3(2023闵行一模24）.如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．（1）用含的代数式表示顶点的坐标：（2）当顶点在△AOB内部，且S△AOC（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在△AOB内，求的取值范围．【小问1详解】解：拋物线，∴顶点C的坐标为；【小问2详解】解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵顶点C在△AOB内部，且S∴，∴a=2，∴拋物线的表达式为；【小问3详解】解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，∵平移后的抛物线的顶点仍在△AOB内，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范围为1＜a＜3．4(2023奉贤一模24）（本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题每小题满分4分)如图11,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0),与y(1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标;(2)将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为M,点C的对应点为E.①如果点M落在线段BC上,求∠DBE的度数②设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当PE=2PQ时,图图11【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）①设直线x＝1交x轴于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．5．(2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．分析：（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．6.【2023年静安区二模24】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．求此抛物线表达式与顶点C的坐标；求∠ABC的正弦值；将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第2（第24题图）AOxy解：（1）∵抛物线经过点A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴抛物线表达式为，顶点C的坐标为（）． （2分）（2）设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交于点E、F，点E（3，0）．∵点B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA与△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为或． （1分）7.【2023年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．答案:（1）；（2）m＝4；（3）分析：（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，−t＋4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得故抛物线的表达式为；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，)，设直线PA的表达式为y＝kx+b，代入A、P坐标得，解得，∴直线PA的表达式为y＝（）x，令x=0，y=故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．8.【2023年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．分析：（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx＋n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在