考点巩固卷03 函数及其性质（十大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages4949页考点巩固卷03函数及其性质（十大考点）考点01：已知函数解析式求定义域问题若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法.解题模板如下：第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零；(4)的底数不为零；(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；(6)正切函数y=tanx的定义域为.(7)指数式中底数大于零且不等于1.(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.(9)对于幂函数：m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R.第二步：列出不等式（组）第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.1．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.【详解】根据题意得，解得即.故选：D．2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域.【详解】因为函数的定义域是，由，解得，所以函数的定义域为.要使有意义，则，解得，所以的定义域是.故选：.3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式和可得．【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：C.4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数和根式函数的定义域列出不等式组解出即可.【详解】要使得函数有意义，则，即，解得所以函数的定义域为.故选：B5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论．【详解】中，，则，所以函数中，解得，故选：A．6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】根据题意可得，解得且．故选：C7．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域.【详解】函数有意义，等价于，解得，，故函数的定义域为.故选：A.8．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由有意义，等价于，解得，即函数的定义域为.故选：D.9．函数的定义域为（

）A．{且} B．{且}C． D．{且}【答案】D【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.【详解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D.10．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.【详解】由有意义，可得，解得且.故选：D.考点02：抽象函数定义域的妙解使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.解题模板如下：解题模板1已知的定义域，求的定义域.求解思路：若的定义域为，则在中，，解得的取值范围构成的集合，即为的定义域.解题模板2已知的定义域，求的定义域.求解思路：若的定义域为，则由确定的的范围（值域）构成的集合，即为的定义域.解题模板3已知的定义域，求的定义域.求解思路：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域.11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求解即可【详解】函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为故选：C12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由题意可知，要使有意义，只需要，解得，所以，所以函数的定义域为.故选：D.13．已知的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.【分析】因为的定义域为，即，则，所以，所以的定义域为.故选：C.14．函数与有相同的定义域，且对定义域中任何都有，，若的解集是，则函数是（）.A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【分析】先分析的定义域，再根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性.【详解】因为的定义域为，即，所以的定义域关于原点对称.，所以为偶函数.故选：B15．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件列出不等式组，解出即可.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得或，故函数的定义域为，故选：A.16．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解.【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则，所以的定义域为，故满足，解得.故选：B.17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为.故选：C18．若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.【详解】设，依题意可得，解得，所以，所以的定义域为，值域为，且，对于函数，则，解得，即函数的定义域是.故选：B19．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域.【详解】因为函数的定义域是，由，解得，所以函数的定义域为.要使有意义，则，解得，所以的定义域是.故选：.20．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.【详解】依题意，函数的定义域为，所以，即函数的定义域为，所以在函数中有，解得，所以的定义域为，故选：A.考点03：求函数解析式的六大思路模型一：待定系数法求函数解析式适用条件：已知函数解析式的类型步骤如下：第一步：先设出第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.模型二：换元法求函数解析式适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来.步骤如下：第一步：令，解出且注意新元的取值范围第二步：然后代入中即可求得第三步：从而求得.模型三：配凑法求函数解析式适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来.步骤如下：第一步：将等号右边先出现第二步：将题干等号右边形式变形成的形式.第三步：从而求得的解析式.模型四：方程组法求函数解析式适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式步骤如下：第一步：将原式抄写一遍，如第二步：将交换，再写一遍.第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式.模型五：抽象函数求函数解析式适用条件：已知：括号中既有又有时步骤如下：第一步：令或（令字母出现次数少的为）第二步：代入出现或形式且求出第三步：从而求得的解析式.模型六：分段函数求函数解析式适用条件：已知的解析式求的解析式.步骤如下：第一步：明确函数的奇偶性第二步：，代入已知函数解析式第三步：利用奇偶性从而求得的解析式.21．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数【答案】C【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.22．下列函数满足的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案．【详解】令，，则，由可得，对于A，，故A错误；对于B，，不满足，B错误；对于C，，即，即，C正确；对于D，，即不成立，D错误．故选：C．23．定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（

）A．B．曲线在点处的切线方程为C．在上恒成立，则D．【答案】C【分析】由，可得，即可得的解析式，结合导数计算、导数的几何意义及利用导数求函数的极值与最值即可判断各选项.【详解】由，有，则，即，则，整理得，有，则，，即，故A正确；，，故切线方程：，化简得，故B正确；在上恒成立，由，故，故C错误；不等式等价于，令，则，故当时，，在、上单调递减，当时，，在上单调递增，故有极小值，当时，有，故，即，故D正确.故选：C.24．已知为定义在上的单调函数，且对，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得.【详解】设，则，所以，即，设，易知在上单调递增，所以，即，故，所以．故选：B．25．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.【详解】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C26．已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法令，代入运算求解即可.【详解】令，则，由于，则，可得，所以.故选：B.27．已知函数满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将换成，得到即，联立方程组求得的解析式，进而求得的值.【详解】由，将换成，可得，即，联立方程组，解得，所以.故选：B.28．已知，且，则=（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案.【详解】由题意知，且，用代换x，则，即得，故选：B29．已知函数满足：，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过化简即可得出函数的解析式.【详解】因为，∴，故选：A.30．若函数，满足，且，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.【详解】因为，所以，联立可得，所以，，因为，所以，则，所以.故选：C.考点04：各种函数值域问题形如①：或采用判别式法.形式1：形式2：移项继续利用形式1进行处理.形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.简称直接法解题步骤：第一步：观察函数中的特殊函数；第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.31．若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则，解得，综上，.故选：C.32．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.【详解】令，，则，∵，∴，∴，∴，故选：B．33．函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解.【详解】函数的定义域为，令，则，设，可得，当时，有最大值为2，所以函数的最大值为2.故选：D.34．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增【答案】C【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C35．已知函数在上的值域为，则（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可.【详解】的对称轴为，则，解得，则在上单调递增，所以，即，所以，为方程的两个根，即为方程的两个根，所以.故选：D.36．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当时，恒成立，即恒成立，当时，上式成立；当，，明显函数在上单调递增，所以，所以；当时，恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，又开口向下，对称轴为，所以的最大值为，所以，综上：实数a的取值范围是.故选：D.37．已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以．因为，令，则，，所以，由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，所以当时，，所以.故选：B．38．已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.【详解】集合，而，由，得，则，所以的取值范围为.故选：B考点05：函数单调性的处理技巧①：定义法使用前提：一般函数类型解题步骤：第一步：取值定大小：设任意，且；第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；第三步：定符号，得出结论.注意：同向递增，异向递减②导数法使用前提：较复杂的函数类型解题步骤：第一步：求函数的定义域和导函数的解析式；第二步：在定义域范围内解不等式或；第三步：得出函数的增减区间.斜率39、已知函数利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.解：第一步：取值定大小：设任意，且；，任取，设第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；第三步：定符号，得出结论.又是其定义域R上的增函数.40、已知函数．（1）求证：在上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．（1）第一步：取值定大小：设任意，且；证明：设，则，，第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；∵，第三步：定符号，得出结论.∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，∴，即，，∴．41、已知函数是定义在上的函数.（1）用定义法证明函数在上是增函数；（2）解不等式.解：（1）第一步：取值定大小：设任意，且；任取，且，第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；，第三步：定符号，得出结论.∵，∴，又，∴，即，故函数在上是增函数.（2）∵，∴是上的奇函数，则，又是上的增函数，∴.，故解集为42、已知函数定义在上的奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的单调性，并证明；（3）解关于的不等式．解：（1）函数是定义在上的奇函数，，又．，，．（2）在上为增函数，理由如下.第一步：取值定大小：设任意，且；设，则，，，，第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；第三步：定符号，得出结论.在在上为增函数，（3），，又在在上为递增的奇函数，，不等式的解集为．43、已知是定义域为的偶函数，且当时，．（1）当时，求函数的表达式；（2）求证：在区间上是减函数，在上是增函数，并写出函数取得最小值时的取值．解：（1）当时，，由已知得．函数是偶函数，；⑴第一步：取值定大小：设任意，且；设，第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；．第三步：定符号，得出结论.当时，，，，，即，所以，函数在上是减函数；当时，，，，即，所以，函数在上是增函数．由函数是偶函数，及单调性知当时，函数取得最小值.44、已知函数，试判断函数的单调性，并证明.因为所以为单调递增函数.证明:第一步：设任意,且,第二步：则,第三步：且,所以函数在上单调递增.45、求函数的单调减区间.解：第一步：求函数的定义域和导函数的解析式；函数的定义域为，，第二步：在定义域范围内解不等式或；令，即：，解得：，第三步：得出函数的增减区间.所以函数的单调递减区间为.考点06：函数奇偶性的处理技巧①：基本方法判定函数的奇偶性使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.解题步骤：第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步:得出结论.②：利用函数的奇偶性求函数的解析式使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量；第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.46、判定下列函数的奇偶性：(1) (2).(3)； (4)；解：(1)第一步确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数的定义域要求真数大于0，即，解得，函数的定义域.函数的定义域关于原点对称，第二步若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；，第三步得出结论.所以函数为奇函数.(2)第一步确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；由题意可得，所以且，所以，函数的定义域为，关于原点对称，第二步若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；又，第三步得出结论.所以函数为偶函数.(3)第一步确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．第二步若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，第三步得出结论.所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)第一步确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，第二步若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；函数的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．47、下列函数是偶函数的是（）A． B． C． D．解：C.定义域为定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；D.定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；B.为奇函数A.定义域为故为偶函数选A48、设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．49、已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.50、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出函数的解析式.解：第一步，首先设出所求区间的自变量x.设x<0，则－x>0，第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围：所以f(－x)=－x(1－x)，第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(x)=f(－x)=－x(1－x)，即f(x)=x(1－x)，所以函数的解析式为.51、已知函数在R上为奇函数，且时，，则当时，________.解：设，则，因为时，，所以，又因为函数在R上为奇函数所以故答案为：52、函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．解：令，则，∴，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，．考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围结论1：奇函数单调性不改变，若函数为定义在上的奇函数时①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即.②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即.结论2：偶函数单调性改变，若函数为定义在上的偶函数时①若时，为单调递增，则时，为单调递减，即，.②若时，为单调递减，则时，为单调递增，即，.53、定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．解：第一步：判断单调性当时，单调递减，，当时，单调递减，，故在上单调递减，第二步：确定对称轴由，得的对称轴为，第三步：利用结论解不等式若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，故实数的最大值为.故选：C.54、已知函数，，如果成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．解：第一步：判断奇偶性是奇函数第二步：判断单调性，，在上恒成立，在上是增函数．第三步：利用结论解不等式不等式可化为，从而可知，需满足，解得．故选：A.55、已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C． D．解：第一步：判断奇偶性设，，则为奇函数，且，当时，，，则，当时，，，则，当时，，，则，则当时，不等式的解集为：；第二步：利用结论解不等式又都是奇函数，利用奇函数的对称性可得：当时，不等式的解集为：；所以的解集应为．故选：C.56、已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C． D．解：第一步：判断奇偶性，显然该函数的定义域为全体实数，因为，所以该函数是偶函数，第二步：判断单调性设，当时，单调递增，因此函数在时单调递增，而函数是偶函数，第三步：利用结论解不等式所以由，两边同时平方整理得：，故选：D57、设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（）A．B．C．D．解：第一步：判断奇偶性因为是上的奇函数，则，第二步：判断单调性由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，，则，作出函数的大致图象如下图所示：第三步：利用结论解不等式由，可得，由，可得或，此时；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故选：B.58、已知函数则不等式的解集为（）A．(-3，0) B． C．(0，3) D．解：第一步：判断奇偶性因为，，所以为奇函数，第二步：判断单调性是增函数，是减函数，为R上的增函数，第三步：利用结论解不等式所以等价于，因此，即：.故选：B.考点08：函数周期性的处理技巧类型一：抽象函数的周期性使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期解题步骤：第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；常见的结论包括：结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.59．设函数的定义域为，且满足，，当时，，下列结论：①；②当时，的取值范围为；③为奇函数；④方程仅有6个不同实数解．其中正确的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据所给条件推导出的周期、对称性，结合周期性判断①，②，根据奇函数的定义判断③，画出、的部分图象，数形结合即可判断④.【详解】依题意，当时，，所以当时，，当时，，函数的定义域为，有，，即，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，对于①，，故①不正确；对于②，当时，，有，则，当时，，，有，，所以当时，的取值范围为，故②正确；对于③，因为，所以函数为奇函数，故③正确；对于④，因为，所以的图象关于对称，又，即，所以的图象关于对称，由前述说明可知的值域为，又当时，当时，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如下图所示：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有个交点，因此方程仅有个不同实数解，故④错误.故选：B60．对任意的函数，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（

）A．(3,5) B．(3,4) C．[3,4] D．[3,5]【答案】A【分析】根据条件得到函数的奇偶性和周期性，并求出在上的解析式，分和，结合函数图象，得到，求出答案.【详解】由，知函数为偶函数，由，知函数为周期函数，且．又当时，，则当时，，，由，得，所以，若方程在上有6个不等实根，则函数与图象在上有6个不同的交点，若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故，如图，由图可知，，解得，即实数a的取值范围为．故选：A．61．已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D．【答案】D【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A.【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，且定义域为，故是偶函数，故B错误；对于C，因为函数对都有，所以取，可得，又是偶函数，所以，从而可得，则，故是周期为6的周期函数，故C错误；对于D，因为是偶函数，且是周期为6的周期函数，所以，，又对，当时，都有，所以在上单调递减，则，即，故D正确；对于A，由在上单调递减，，可得，故A错误.故选：D.62．定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；因为，所以所以是周期为4的周期函数，③正确；由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数则的对称中心为，②错误；令，则，所以，在中，令，则.于是，，，，则，所以，④正确；因为的图象关于点对称，因为周期为4，所以，所以为奇函数，⑤错误.故选：C.63．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．-1【答案】A【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.【详解】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称，所以，所以，即，所以，则函数的一个周期为4，令，则，所以，令，，又，所以，，所以.故选：A64．已知是定义域为的奇函数且满足，则（）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根据题意，推得，得到是周期为2的周期函数，结合，即可求解.【详解】由是定义域为的奇函数，则，且，又由满足，即，则有，可得，即函数是周期为2的周期函数，故.故选：B.65．定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（

）A．是函数图象的一条对称轴B．2是的一个周期C．函数图象的一个对称中心为D．若且，，则n的最小值为2【答案】D【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项.【详解】由可得，所以关于直线对称，所以关于直线对称，即关于直线对称，所以关于直线对称，所以关于直线对称，所以有，所以有，所以.又由可得，，所以关于点对称，所以.对于B项，因为，，所以，，所以，所以，的周期为，故B项正确；对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；对于C项，关于点对称，所以关于点对称，所以关于点对称，所以.又关于直线对称，所以，所以，所以有，所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，所以，，，所以.又的周期为4，所以对，.因为，则当时，有.因为，所以，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意.故n的最小值为3，D错误.故选：D66．已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】借助赋值法可得，结合题意计算可得函数的周期，即可得解.【详解】因为，取得，即，又，取得.由得，所以函数的一个周期为，故.故选：B.考点09：函数对称性的处理技巧类型一：函数自身的对称性使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征解题步骤：第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性常见函数的对称性包括：定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是.定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即.推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是.67、定义在上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是()A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数解：第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性为偶函数，则.故函数有两条对称轴与.第二步：结合函数的对称性确定结论因此是以为其一个周期的周期函数，