北师版九上数学1.2矩形的性质与判定（第三课时）课件

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定（第三课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习011.矩形的周长与面积.若矩形相邻两边长分别为

a

，

b

，则矩形的周长＝

⁠

，矩形的面积＝

⁠.2.矩形中的综合问题.（1）判定矩形的几种方法；（2）由矩形的性质，得出边角关系，再计算.注：矩形的定义既可作为矩形的判定方法，又可作为其性质.2（

a

＋

b

）

ab

数学九年级上册BS版典例讲练02

如图，在矩形

ABC

D中，

AB

＝3，

BC

＝6，对角线

AC

的垂直平

分线分别交

A

D，

AC

于点

M

，

N

，连接

CM

，则

CM

的长

为

⁠.

【思路导航】先由线段垂直平分线的性质得出

AM

＝

CM

，再在

Rt

△D

MC

中，由勾股定理，列方程后求出

CM

的长即可.

【点拨】熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出关于

CM

的方

程是解此题的关键.

如图，在△

ABC

中，已知∠

A

＝60°，

B

D⊥

AC

，垂足为D，

C

E⊥

AB

，垂足为E，点O为

BC

的中点，连接OD，OE，则

∠DOE的度数为

⁠.60°

如图，在▱

ABC

D中，对角线

AC

与

B

D交于点O，

B

D＝2

AB

，

点

M

，

N

分别为O

A

，O

C

的中点，延长

BM

至点E，使E

M

＝

BM

，连接DE.（1）求证：四边形DE

MN

是矩形；（2）若

AB

＝5，D

N

＝4，求四边形DE

MN

的面积.【思路导航】（1）先证明△O

BM

≌OD

N

，可得

BM

＝D

N

，从

而得出四边形DE

MN

为平行四边形，再证明其为矩形；（2）由

勾股定理可以求得

AM

的长，进而得到

MN

的长，由矩形面积公

式可以求出结果.

∴△

OMB

≌△

OND

（

AA

S）.∴

BM

＝

DN

.

又∵

EM

＝

BM

，∴

EM

＝

DN

.

∴▱

DEMN

为平行四边形.又∵∠

EMO

＝90°，∴四边形

DEMN

为矩形.

【点拨】熟练掌握平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩

形的面积公式等是解决此类题目的关键.

（2022·云南）如图，在▱

ABC

D中，连接

B

D，点E为线段

A

D

的中点，延长

B

E与

C

D的延长线交于点F，连接

A

F，∠

B

DF＝

90°.（1）求证：四边形

AB

DF是矩形；（1）证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AB

∥

CD

，即

AB

∥

CF

.

∴∠

BAE

＝∠

FDE

.

∵点

E

为线段

AD

的中点，∴

AE

＝

DE

.

又∵∠

AEB

＝∠

DEF

，∴△

ABE

≌△

DFE

（

A

S

A

）.∴

AB

＝

DF

.

又∵

AB

∥

DF

，∴四边形

ABDF

是平行四边形.又∵∠

BDF

＝90°，∴▱

ABDF

是矩形.（2）若

A

D＝5，DF＝3，求四边形

ABC

F的面积S.

如图，将一张矩形纸片

ABC

D（

A

D＞

AB

）折叠一次，使点

A

与点

C

重合，再展开，折痕EF交

A

D边于点E，交

BC

边于点F，

连接

A

F，

C

E.（1）求证：

A

O平分∠D

A

F；（2）若

A

E＝8cm

，△

AB

F的面积为20cm2，求△

AB

F的周长.【思路导航】（1）由折叠及

A

D∥

BC

可得∠

A

FE＝∠

A

EF，由

等腰三角形的性质可得出结论；（2）在

Rt

△

AB

F中，可得

AB2

＋

B

F2的值，又根据△

AB

F的面积，可得

AB

·

B

F的值，进而求

得

AB

＋

B

F的值，从而可得△

AB

F的周长.（1）证明：由折叠可知，∠

AFE

＝∠

CFE

，

AF

＝

CF

，

EF

⊥

AC

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

AEF

＝∠

CFE

.

∴∠

AFE

＝∠

AEF

.

∴

AE

＝

AF

.

∴△

AEF

为等腰三角形.又∵

AO

⊥

EF

，∴

AO

平分∠

DAF

.

（2）解：由（1）可得，

AF

＝

AE

，∴

AF

＝

AE

＝8cm

.∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝90°.在Rt△

ABF

中，由勾股定理，得

AB2＋

BF2＝

AF2，∴

AB2＋

BF2＝82＝64.

∴

AB

·

BF

＝40.

②把②代入①，得（

AB

＋

BF

）2－2×40＝64.∴

AB

＋

BF

＝12（

cm

）或

AB

＋

BF

＝－12（舍去）.∴

AB

＋

BF

＋

AF

＝20（

cm

）.∴△

ABF

的周长为20cm

.【点拨】折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相

等，且对应点的连线被折痕垂直平分.矩形折叠产生菱形时，常

常会借助勾股定理建立方程.

如图，将矩形纸片

ABC

D折叠，使点

C

与点

A

重合，折痕为EF.

若

AB

＝4，

BC

＝8，求D'F的长.解：∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝∠

D

＝90°，

CD

＝

AB

＝4，

AD

∥

BC

.

∴∠

AFE

＝∠

CEF

.

由折叠的性质，得∠

AEF

＝∠

CEF

，

AE

＝

CE

，∠D'＝∠

D

＝90°，

A

D'＝

CD

＝4.∴∠

AFE

＝∠

AEF

.

∴

AF

＝

AE

＝

CE

.

设

AF

＝

AE

＝

CE

＝