高中数学必修1知识点与练习题

高中数学必修1各章学问点总结

第一章集合及函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义

2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性

3、集合的表示：列举法、描绘法(语言描绘法)、文氏图

4、常用数集及其记法：

⑴非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+

⑵整数集Z

(3)有理数集Q

⑷实数集R

5、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

⑵无限集含有无限个元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：{X|X2=-5}

二、集合间的根本关系

1、“包含”关系一子集

2、“相等”关系：A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为中

4、区分概念：子集、真子集、非空子集、非空真子集

5、几个规定：

(D空集是任何集合的子集

(2)空集是任何非空集合的真子集

(3)任何一个集合是它本身的子集

⑷假如AB,BC,那么AC

⑸假如AB同时BA,那么A=B

(6)有n个元素的集合，有2”个子集，2联1个真子集，2自个非空子集，2储个非空真子集

三、集合的运算

运算交集并集补集

AfiA=AAlJA=A(C„A)A(QB)=C“(AUB)

Afi中=中AU4>=A

(CUA)UO)=c„(AAB)

性质AC|B=Br|AAUB=BUAAU(C„A)=U

ApBcAAljBoAAA(C“A)=①.

AflBcBAUBoB

四、函数的有关概念

1、函数的概念:设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f,使对于集合A中

的随意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集

合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),xGAo

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函

数值，函数值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函数的值域.

(1)定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

(2)求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：

•分式的分母不等于零；

•偶次方根的被开方数不小于零；

•对数式的真数必需大于零；

•指数、对数式的底必需大于零且不等于1;

•假如函数是由一些根本函数结合而成的,那么其定义域要使的各部分函数都有意义；

•指数为零底不行以等于零；

•实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义。

注：一样函数的推断方法:①表达式一样；②定义域一样_

2、值域:先考虑其定义域，然后通常是根据函数关系的整合来得到其值域，一般的方法有

视察法(简洁函数关系)、配方法(二次)、代换法(分式)。

3、函数图象学问归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xGA)中的x为横坐标，函数值y为纵

坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(xGA)的图象.C上每一点的坐标(x,y)

均满意函数关系y=f(x),反过来，以满意y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,

y),均在C上.

(2)画法:描点法、图象变换法

(3)常用变换方法有三种:平移变换、伸缩变换、对称变换

4、区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示。

5、映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f,使对于

集合A中的随意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应

f：AfB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)->B(象)”

对于映射f：A-B来说，则应满意：

(D集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数

(2)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集

7、复合函数

假如y=f(u)(uGM),u=g(x)(x6A),则y=f[g(x)]=F(x)(xGA)称为f、g的复合函数。

五、函数的性质

1、函数的单调性(部分性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量X”

X2,当xKxz时，都有f(x)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间以称为y=f(x)

的单调增区间；假如对于区间D上的随意两个自变量的值xi,X2,当xKxz时，都有f(x)

>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数，区间a称为y=f(x)的单调减区间。

(2)图象的特点

假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是

下降的。

(3)函数单调区间及单调性的断定方法

A、定义法：任取、作差、变形、定号、下结论；B、图象法

(4)复合函数的单调性

复合函数f［g(x)］的单调性及构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性同增异减。

注：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性一样的区间写成并集。

2、函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数：f(-x)=f(x),图象关于y轴对称

(2)奇函数：f(-x)=-f(x),图象关于原点对称

3、利用定义推断函数奇偶性的步骤：

(1)首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称；

⑵确定f(一x)及f(x)的关系;

⑶作出相应结论：若f(—x)=f(x),则是偶函数;若f(-x)=-f(x),则是奇函数。

留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否

关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。

4、函数的解析表达式包括了对应法则和其定义域。

5、函数最值

(1)二次函数的性质(配方法)(2)图象(3)函数单调性的

6、函数极值

⑴假如函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增,在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在

x=b处有极大值f(b)；

⑵假如函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减,在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在

x=b处有微小值f(b)。

第二章根本初等函数

一、指数函数

1、指数函数

(1)根式：一般地，假如x"=a,那么x叫做。的“次方根，其中〃〉1,且〃CN*.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作火=0。

注：当〃是奇数时，。当〃是偶数时，'4^=\a\=\a

—a(a<0)

2、分数指数累

正数的分数指数幕的意义，规定：

注：0的正分数指数嘉等于0,0的负分数指数累没有意义。

3、实数指数黑的运算性质

(l)a,•as=a''(a>0,r,sGR)

(2)(ar)s=ars(a>O,r,sGR)

⑶(ab)r=arbr(a>0,r,s€R)

4、指数函数的概念：一般地，函数y=a*(a>0,一目刀工1)叫做指数函数，其中x是自变

量，函数的定义域为R。

留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。

5、指数函数的图象和性质

a>l0<a<l

4Al-L

/

00

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)

留意：(1)在［a,b］上，£5)=2*5>0且2工1)值域是任9),1?(1))］或任3),1?伯)］；

(2)若xwO,则f(x)Yl；f(x)取遍全部正数当且仅当XGR；

(3)对于指数函数f(x)=a、(a>0且akl),总有f(l)=a；

二、对数函数

1、对数的概念；一般地，假如优=N那么数x叫做以“为底N的对数,

记作：x=log“N(。为底数，N为真数，log“N为对数式)

2、底数的限制a>0,且a，l；a"=Nolog〃N=x；留意对数的书写格式。

3、常用对数IgN(以10为底)；自然对数InN(以无理数e=2.71828…为底)

4、指数式及对数式的互化：。〃=Nolog«N=b

三、对数的运算性质

假如a>0,且M>0,N>0,那么：

⑴logu(M•N)=log4M+log„N；

⑵log”—=log„M-logaN；

⑶log“M"nlog„M(ne/?)o

换底公式logaA=(a〉0,且awl；c>0,且cwl；b>0)。

log,a

利用换底公式推导下面的结论(l)log⑵log“b=—

"mlog〃a

四、对数函数

1、对数函数的概念：函数y=logax(a>0,且awl)叫做对数函数，其中x是自变量,

函数的定义域是(0,+8)。

留意：(D对数函数的定义及指数函数类似，都是形式定义，留意区分。如)，=210g?x,

y=logs|都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。

(2)对数函数对底数的限制：(a〉0,且。工1).

2、对数函数的性质:

a>l0<a<l

11

\—r-

i01

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)

五、基函数

1、幕函数定义：一般地，形如y=x"(aeR)的函数称为幕函数，其中a为常数.

2、基函数性质归纳.

(1)全部的暴函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点(1,1)；

(2)a〉0时，辱函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.特殊地，当a>l时,

幕函数的图象下凸；当0<a〈l时，幕函数的图象上凸；

(3)a<0时，基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原

点时，图象在y轴右方无限地靠近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地

靠近x轴正半轴.

第三章函数的应用

一、方程的根及函数的零点

1,函数零点的概念：对于函数y=/(x)(xe。)，把使/(x)=0成立的实数x叫做函数

y=/(x)(xw力)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数y=/(x)

的图象及x轴交点的横坐标。即：方程f(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象及x轴

有交点o函数y=/(x)有零点。

3、函数零点的求法：

(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以利用函数y=/(x)的图象找出零点。

4、二次函数的零点：

二次函数y=ax1+bx+c(a*0).

(l)A>0,方程O?+H+C=O有两不等实根，图象及x轴有两个交点，函数有两个零

点；

(2)A=0,方程以2+灰+。=0有两相等实根，图象及x轴有一个交点，函数有一个二

重零点；

(3)A<0,方程⑪2+云+。=0无实根，图象及x轴无交点，函数无零点。

第一章习题：

1、下列四组对象，能构成集合的是()

A.某班全部高个子的学生B.闻名的艺术家

C.一切很大的书D.倒数等于它自身的实数

2、集合{a,b,c,d,e,f,g}的真子集共有个。

3、若集合M={y|y=x2-2x+l,xGR},N={x【x20},则M及N的关系是.

4、设集合A={x|l〈x<2},B={x|x<a},若AqB,则a的取值范围是

5、50名学生做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40人，化学试验做得

正确得有31人，两种试验都做错得有4人，则这两种试验都做对的有人。

6、用描绘法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.

7、已知集合人=以|X2+2X-8=0},B={xX2-5X+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若BPICK①,

ACC=①，求m的值

第二章习题

L求下列函数的定义域：

2.设函数/(x)的定义域为［0,1］，则函数/(一)的定义域为。

3.若函数/(x+1)的定义域为［-2,3］，则函数/(2x-l)的定义域是。

x+2(x<-1)

4,函数/(X)=