湖南省湘楚名校2023-2024学年高一下学期5月联考 数学试题（含解析）

2023-2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考数学试卷2024.5注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：必修第一册，必修第二册（6.1~9.3）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合，，下列结论成立的是（

）A． B．C． D．2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，，，则外接圆的半径为（

）A． B．1 C．2 D．34．如图，已知，则（

）A． B．C． D．5．如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（

）（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）

A．2024年月份，商品零售总额同比增长B．2023年月份，餐饮收入总额同比都降低C．2023年月份，商品零售总额同比都增加D．2023年12月，餐饮收入总额环比增速为6．已知非零平面向量满足，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（

）A．摩天轮离地面最近的距离为8米B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30D．存在，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米11．计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（

）A．使用方案①调整，当时，B．使用方案②调整，当时，C．使用方案①调整，当时，D．使用方案②调整，当，时，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品.某日三种产品的生产比例如图所示，且医用防护口罩和医用外科口罩共生产了45000个，则医用普通口罩生产的个数为.13．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是．14．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为．

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．已知函数（且）为奇函数.(1)求实数的值；(2)若，求函数的解析式.16．已知函数．（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．17．已知长方体中，棱，，连结，过点作的垂线交于，交于．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.19．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①；②．1．D【分析】根据两个集合中的元素，进行交并补的运算并判断包含关系.【详解】集合，，，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项错误；，故D选项正确．故选：D.2．D【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，得到其共轭复数，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，其共轭复数为，所以对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.3．C【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解.【详解】设为外接圆的半径，由正弦定理得，解得，所以外接圆的半径为.故选：C.4．B【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案；【详解】，，故选：B.5．C【分析】根据折线统计图一一分析即可.【详解】对于A，2024年月份，商品零售总额同比增长，故A错误；对于B，2023年8月份，餐饮收入总额同比增加，故B错误；对于C，2023年月份，商品零售总额同比都增加，故C正确；对于D，2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误.故选：C6．A【分析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为的不等式即可得解.【详解】依题意，，，，当时，上述最后等式不成立，从而有，，当且仅当时取“=”，又，当且仅当与同方向时取“=”，则有，解得，当且仅当=时取“=”，所以的最小值是4.故选：A【点睛】结论点睛：平面向量，，当且仅当与方向相同或至少一个为零向量时取等号；，当且仅当与方向相反或至少一个为零向量时取等号.7．C【分析】延长CB至F，使得，可得四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角，设，取的中点，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．【详解】D为的中点，E为的中点，所以，，如图，延长CB至F，使得，连接DE，DF，AF，，因为，所以，，所以四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角．设，取的中点，连接、，则，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得．所以直线AD与BE所成角的余弦值为故选：C.

8．B【解析】易知，是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，由，得到的图象关于对称，且在上递减，在上递增，再根据不等式成立，由求解.【详解】函数，令，因为，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，所以的图象关于对称，且在上递减，在上递增，若使得不等式成立则，即，解得，所以实数的取值范围是故选：B9．CD【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；对于C中，球的表面积为，所以C正确；对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.故选：CD.10．ABC【分析】A选项，最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，求出A正确；B选项，建立平面直角坐标系，求出时，初相为，进而得到，，得函数解析式；C选项，由B选项得到方程，求出或，故C正确；D选项，整体法求出在上单调递增，在上单调递减，结合特殊点的函数值，得到在只有一个解，选项D错误.【详解】对于A，最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，所以摩天轮离地面最近的距离为（米），选项A正确；对于B，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，设分钟时，游客位于点，以为终边的角为，分钟时，旋转角度为，所以周期，角速度为，在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是：，选项B正确；对于C，在，时刻，游客距离地面的高度相等，即，即，故或，当时，，当时，，由于不相等且为非负整数，故此时，故的最小值是30，选项C正确；对于D，，令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，当时，，故在只有一个解，选项D错误.故选：ABC.11．AC【分析】方案①：根据的性质，将、及代入判断A；利用对比度公式可得，即可判断C；方案②：在时代入特殊值判断B；根据条件判断且，特殊值代入判断D.【详解】使用方案①调整：当时且，又则，A正确；，，当，即且，又，可得，C正确；使用方案②调整：当时，显然若时，B错误；，而，则，故，又，则，，所以，而，时，则，则，此时，显然存在，D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：判断D时注意的取值范围，根据n值判断的大小关系.12．【分析】通过医用防护口罩和医用外科口罩的总数以及所占比例和，求出三种产品的总数，然后利用医用普通口罩的百分比，即可求解【详解】因为三种产品的总数为：（个），所以医用普通口罩生产的个数（个）.故答案为：13．【分析】先求出整体的范围，由没有零点得，解出的范围，再结合的取值，即可求解.【详解】由可得，又在区间内没有零点，则，解得，又，解得，又，所以或，当时，；当时，；综上：的取值范围是.故答案为：.14．【分析】根据可知点的轨迹，再利用正弦定理以及圆周角和圆心角之间的关系，易知当为与圆的交点时，取最小值，再利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，因为，所以在如图所示的圆上，圆的半径为，

由圆周角的性质可得，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即，又，在中，，根据余弦定理可知，所以的最小值为．故答案为：15．(1)2(2).【分析】（1）根据奇函数的定义域一定关于原点对称求得m；（2）利用，求出底数a即可得解析式,注意求函数的定义域.【详解】（1）由，得，方程的两个根为，2.又函数为奇函数，定义域关于原点对称，，，此时，则，即为奇函数，故；（2）由（1）知，，，，解得..令，解不等式得：所以定义域为，所以的解析式为.16．（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值；（Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出.【详解】（Ⅰ），令，，解得，，故的单调递增区间为，，易得的最大值为，最小值为；（Ⅱ）函数在有且仅有两个零点，函数，与有且仅有2个不同的交点，由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减，又，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解.17．（1）具体见解析；（2）.【分析】（1）利用条件先证明平面，得，再证明平面，得，进而通过线面垂直的判定定理得到结论；（2）连接AC交BD于O，根据二面角平面角的定义可证明是二面角的一个平面角，进而求出正切值.【详解】（1）如图，连接AC交BD于O，由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD，又平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以平面，则.又因为平面，平面，所以，又，而，所以平面，所以.而，所以平面.（2）因为，且，所以，所以相似于，所以，由勾股定理易得：，易知O为BD的中点，所以，易知，且，所以是二面角的一个平面角，，即二面角的正切值为.18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案；（2）利用余弦定理结合，平方，将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数得性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为所以，则，即，所以，又，则，所以，即，由，得，所以，所以；（2）解：因为，所以，因为D为AC的中点，所以，则，因为，所以，，则，因为，所以，所以，则，所以，所以.19．（1）0.06