指数函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数第四章指数函数与对数函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.(数学抽象)2.能够应用指数函数的定义判别指数函数.(数学运算)3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(直观想象)4.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点一:指数函数的概念1.一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数.其中指数x是自变量,定义域为R.2.指数函数的特征:判断函数是否为指数函数的标准(1)底数a>0,且a≠1;(2)指数幂的系数是1.名师点睛根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才是指数函数.微思考指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如

无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.知识点二:指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质项目a>10<a<1图像

项目a>10<a<1性质(1)定义域:R(2)值域:(0,+∞)(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1(4)当x<0时,0<y<1;当

x>0时,y>1(4)当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1(5)在R上是增函数(函数图象从左往右上升)当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0(5)在R上是减函数(函数图象从左往右下降)当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大微思考指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特征是什么?提示

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势,当x>0时底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0<a<1时,图象具有下降趋势,且x<0时,底数a的值越小,函数减少得越快.重难探究·能力素养速提升问题1增长率是刻画事物变化规律很重要的量,如何研究此类指数增长或衰减的函数模型?问题2通过分数指数幂的性质,思考指数函数的底数为什么要大于0?问题3类比幂函数的定义,如何给指数函数下定义?探究点一指数函数的概念问题4如何根据指数函数的定义求指数函数的解析式?【例1】

(1)如果指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),那么f(4)f(2)等于

.

64(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.规律方法

指数函数是一个形式定义,其特征如下:问题5在同一个坐标轴画出几个不同的指数函数,根据这几个指数函数的图象思考:指数函数的增减速度与底数有什么关系?问题6观察几个指数函数的图象,认真理解何为“定点”.思考:我们能否说函数y=2x的定点是(0,1)呢?探究点二指数函数的图象问题7你能用描点法画出指数函数的图象吗?怎么取点合适呢?【例2】

在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=()x的图象,并说明它们的关系.解列表:画图:两个函数的图象关于y轴对称.探究点三指数函数的图象及应用问题8如何利用指数函数图象的定点求指数型函数图象的定点?【例3】

已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

(-1,4)解析

∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).延伸探究若本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3呢?规律方法

指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b),即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求点.问题9如何利用指数函数图象的性质求参数?【例4】

函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.规律方法

指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.问题10能由指数函数的图象画出指数型函数的图象吗?【例5】

画出函数y=()|x|的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象指出它的值域和单调区间吗?∵y=()x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).规律方法

指数函数y=ax与y=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.探究点四利用指数函数的单调性比较幂值大小问题11如何利用指数函数的单调性比较两个数的大小?【例6】

比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(2)1.5-7,()4;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.规律方法

比较幂的大小的常用方法

学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.下列函数中,是指数函数的个数是(

)①y=(-8)x;②y=;③y=ax;④y=2×3x.A.1 B.2 C.3 D.0D解析

①中底数-8<0,所以不是指数函数;②中指数不是自变量x,而是x的二次函数,所以不是指数函数;③中底数a没有规定a>0且a≠1,不能说是指数函数;④中3x前的因数是2,而不是1,所以不是指数函数.12345678910112.(多选题)已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是(

)A.c>b>a B.b>a>c

C.a>b>c D.a>c>bBC12345678910113.如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则(

)A.b<-1 B.-1<b<0C.0<b<1 D.b>1B解析

函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B.12345678910114.若函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指数函数,则a的值为(

)A.2 B.1

D12345678910115.已知0<a<b<1,则aa,ab,ba从大到小的顺序是

.

ba>aa>ab解析

先比较aa,ab,由于0<a<b<1,函数y=ax为减函数,故aa>ab,再比较aa,ba,由于0<a<b<1,函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,故ba>aa.综上,ba>aa>ab.12345678910116.已知函数

则f(f(3))的值为

.

1234567891011B级关键能力提升练7.设函数f(x)=()10-ax,其中a为常数,且f(3)=,则a的值为

;若f(x)≥4,则x的取值范围为

.

2

[6,+∞)12345678910118.一个函数的图象过点(1,2),且在(0,+∞)上单调递增,则这个函数的解析式可以为

.(至少写2个)

y=2x,y=2x2(答案不唯一)解析

设该函数为y=ax(a>1),因为函数的图象过点(1,2),且在(0,+∞)上单调递增,解得a=2,所以该函数为y=2x;设该函数为y=bx2(b>0),因为函数的图象过点(1,2),且在(0,+∞)上单调递增,解得b=2,所以该函数为y=2x2.12345678910119.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数

是奇函数,则实数m的值为

.

-1解析

设x>0,则f(x)=1-e-x,f(-x)=e-x+m,∴e-x+m+1-e-x=0,m=-1.此时,x<0时,f(x)=ex-1,f(-x)=1-ex=-f(x),f(x)为奇函数.1234567