专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题12反比例函数与几何综合压轴题的五种考法类型一、平行四边形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．

(1)求线段的长度；(2)试判断点是否在函数的图像上，并说明理由；(3)已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标．【答案】(1)(2)点在函数的图像上．理由见解析(3)点坐标为【分析】（1）先求得C的坐标可得，然后再说明四边形为矩形即可解答；（2）由题意可得点坐标为，设直线的函数表达式为，进而得到；再确定点的横坐标为，然后代入即可解答；（3）如图：过点作于点，先根据坐标求得，设点坐标为，则，由平行四边形的性质可得，进而证明≌可得，最后结合即可解答．【详解】（1）解：当时，，坐标为，即，轴，轴，，，四边形为矩形，．（2）解：点在函数的图像上．理由如下：点在函数的图像上，点坐标为，，可设直线的函数表达式为，，点A坐标为点的横坐标为，当时，，即，点在函数的图像上．（3）解：如图：过点作于点，

由（2）得，，，，即设点坐标为，则四边形是平行四边形，，，在与中，，≌，即，，即点坐标为．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数图像的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．【变式训练1】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)，(2)(3)点坐标为或或，见解析【分析】（1）先确定点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，，则，再由，求出的值即可求点坐标；（3）先求平移后的直线解析式为，则，设，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可．【详解】（1）点，在反比例函数图象上，，解得，，反比例函数的解析式为；设一次函数的解析式为，，解得，一次函数的解析式为；（2）直线与轴的交点，设，，，，，解得，；（3）设直线向上平移后的函数解析式为，在反比例函数图象上，，，将点代入，则，平移后的直线解析式为，，设，①当为平行四边形的对角线时，，，；②当为平行四边形的对角线时，，，；③当为平行四边形的对角线时，，，；综上所述：点坐标为或或．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．(1)m与n的数量关系是(

)A．

B．

C．

D．(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．①求点P的坐标及反比例函数的表达式；②连接、，则的面积为_____；(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)B(2)①，反比例函数的表达式为，②8(3)存在，或【分析】（1）把分别代入得：，即可解答；（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据，，即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式；②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解；（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．【详解】（1）解：把分别代入得：，∴，整理得：，故选：B．（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，∴，∴，∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵反比例函数的表达式为过，∴，∴反比例函数的表达式为；②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，将代入得：，解得：，∴所在直线函数表达式为，把代入得，解得：，∴，则，∴，故答案为：8．（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，∴设，∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，①当为对角线时，，解得：，∴；②当为对角线时，，解得：，∴；∵，∴不符合题意，舍去③当为对角线时，，解得：，∴综上：存在，或．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当t为何值时，为等腰直角三角形；(3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）分是以为斜边和以为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可．（3）根据四边形为平行四边形，得到，，列式计算即可．【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴一次函数表达式为：；把点C的坐标代入上式得：，故点C的坐标为，将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，∴反比例函数表达式为；（2）解：①当是以为斜边的等腰直角三角形，∴为直角，过点D作于点H，如下图所示：设点E的坐标为，则点，∵为等腰直角三角形，，∴，∴，解得（舍去），．经检验是原方程的解；②当是以为直角边的等腰直角三角形时，如图，∵点E的坐标为，则点，∴，∴，解得：（负值已舍去），经检验是原方程的解；综上：当或时，是等腰直角三角形．（3）∵四边形为平行四边形，∴，∵点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，设，则：，∴，∵，∴，∴，解得：（负值已舍去），经检验：是原方程的解，∴．【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．类型二、菱形存在性问题例．如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标；(2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)点Q的坐标为或或或．【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标；（2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标；（3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H，∵，∴设，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，∴，∴；∴；（2）解：如图所示，过点D作轴，，，同（1）方法可得：，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵点恰好落在反比例函数的图象上，∴当时，，即点A向右平移个单位得到点，∴即；（3）解：分三种情况讨论，由（2）得点A向右平移个单位得到点，∴，∴，当时，则且，∴，，即，；当时，此时点与点Q关于y轴对称，；当为对角线时，此时，设，∴，解得，即，且，∴，即，综上可得：点Q的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键．【变式训练1】如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为．(1)试确定反比例函数的关系式；(2)直接写出不等式的解集．(3)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)点的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可；（3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可．【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得：，反比例函数的关系式为；（2）解：∵点的横坐标为，，，由图象可知，不等式的解集为或；（3）解：当以为一边时，如图所示：把，分别代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴直线与y轴交点坐标为：，设点，则，，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴点，∴轴，∵菱形的对角线垂直平分，∴，∴轴，∴；当以为一条对角线时，如图，设点，则，，∵，∴，即，解得：，∴，菱形的对角线与互相平分，∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：，∴点的坐标为：；综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键．【变式训练2】如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足．(1)_________．(2)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；(3)连接、，求的最小值；(4)若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点P的坐标．【答案】(1)12(2)(3)(4)，．【分析】（1）先确定B的坐标，再把B的坐标代入函数解析式，即可得到答案；（2）设点P的纵坐标为，根据，构建方程即可解决问题；（3）过点，作直线轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小；（4）分四种情形分别画出图形，再利用勾股定理列方程求解即可解决问题；【详解】（1）解：∵矩形，，，∴，∴（2）由（1）得：，动点在轴的上方，且满足，设点P的纵坐标为，∴，∴，而点P在这个反比例函数图象上时，则，∴，∴点P的坐标为．（3）由（2）得：的纵坐标为，则在直线上，过点，作直线轴．∴点P在直线l上作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小，则的最小值．（4）①如图2中，当四边形是菱形时，∴，设∴，解得：，∴，②如图3中，当四边形是菱形时，∴，设∴，解得：，∴，综上所述，点P的坐标为，．【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的应用，轴对称最短问题及解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）(2)t=2s(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．【详解】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，∴0=-2x+2，得x=1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB=∠BOA=90°，∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC=45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，∴∠OAB=∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，∴点C（a，-a-1），∵点C在直线l上，∴-a-1=-2a+2，∴a=3，∴C（3，-4）；（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t=3×（-4+3t），∴t=2；（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），则，，，当EF为对角线时，则PE=PF，即，∴，解得：b=，∴P（，0），点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），∴Q（，5）；当EP为对角线时，则EF=PF，即，∴，解得：b=+3或+3，∴P（+3，0）或（+3，0），当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；当EQ为对角线时，则EF=PF，即，∴，解得：b=1或-1，∴P（1，0）或（-1，0），当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．类型三、矩形存在性问题例．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．

(1)如图1，若点坐标为．①求，的值；②若点的横坐标为，连接，求的面积．(2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①将点代入解析式，求得；

②根据反比例函数解析式可得，分别过点、作轴的垂线交轴于点、，根据，，，可得；（2）直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，则点，关于原点对称，点、关于原点对称，则四边形为平行四边形．点的坐标为，点的坐标为，根据，得出，根据在上，得出，，在上，得出，进而即可求解．【详解】（1）解：①点在上，，；点在上，，

②点的横坐标为，当时，，；分别过点、作轴的垂线交轴于点、，，，；

（2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，点，关于原点对称，点、关于原点对称，，，四边形为平行四边形．当时，四边形是矩形．点，的横坐标分别为，，点的坐标为，点的坐标为，，，，，又在上，，，在上，，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】(1)(2)4(3)，【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点，根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可；（3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可．【详解】（1）解：令一次函数中，则解得：，即点A的坐标为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：连接、，如图所示：设平移后直线的解析式为，∴点，∵直线平行直线，∴，∵的面积为16，∵点A、点B关于原点对称，∴点，∴，∴，∴，∴，∴直线向上平移的距离为4．（3）解：设，，，则，，，①如图，当为边时，此时满足，即：，解得，∴；②如图，当为对角线时，此时满足，即，解得（舍去），∴；【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【变式训练2】如图，直线分别与x轴交于B，C两点，与y轴交于A，D两点，且，线段的长分别是方程的两根，并且．(1)求点D的坐标；(2)求过点E的反比例函数解析式；(3)若点M在坐标轴上，平面是否存在点N，使得以A，E，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并任意写3个满足条件的点N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N点坐标为，，，，，【分析】（1）解方程求出，，再根据数量关系得出，利用三角函数求出，即可确定点的坐标；（2）用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两解析式求出点坐标，即可得出过点的反比例函数的解析式；（3）根据在坐标轴上，分情况讨论求出的坐标即可．【详解】（1），解得，，，，，，，，，；（2）设直线的解析式为，分别把，代入，得解得直线的解析式为，同理直线的解析式，联立解得的坐标，过点的反比例函数解析式为；（3）存在，根据题意要使得以，，，为顶点的四边形为矩形分以下几种情况：①点在轴正半轴，且为边时，，，，，即，，，即，过点作轴于，，，，，，设，则，，解得或（舍去），，，此时；②当点在轴负半轴时，且为边时，同理①可得，作轴于点，同理①可得；③点在轴，且为对角线时，此时点和点都在轴上，且，此时点的坐标为，或，；④点在轴上，且为对角线时，此时，，⑤点在轴上，且为边时，，，，，，，作于，，，，，设，则，，，，解得或（舍去），，，即此时，综上所述，符合条件的点坐标为，，，，，．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的性质，勾股定理，两点间距离公式，三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识并能灵活运用是解题的关键．【变式训练3】如图，已知点B坐标为，点C与点B关于原点对称，过点B作轴，交反比例函数的图象于点A，若的面积为1．(1)求k的值；(2)如图2，点D在第二象限，是直角三角形，，，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)或或．【分析】（1）根据关于原点对称的点的性质，得到，进而得到，再根据三角形面积求出，得到，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值；（2）过点D作轴于点E，先证明，得到，再根据角的正切值，得到，进而得到，，最后根据第二象限点的坐标特征即可得到答案；（3）分三种情况讨论：①四边形是矩形；②四边形是矩形；③四边形是矩形，先得到点M的坐标，利用坐标中点公式求出中点P的坐标，设点，再利用中点坐标即可求出点N的坐标．【详解】（1）解：点B坐标为，点C与点B关于原点对称，，，的面积为1，，，轴，，点A在反比例函数上，，；（2）解：过点D作轴于点E，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，，，，，，点D在第二象限，点D的坐标为；（3）解：①四边形是矩形，对角线、相交于点P，此时点M于点C重合，矩形，对角线、互相平分，点P为、的中点，、，点的坐标为，设点N的坐标为，，，，点N的坐标为；②四边形是矩形，对角线、相交于点P，设，则，，，，，，在中，，四边形是矩形，，、互相平分，在中，，，解得：，，点P是的中点，点P的横坐标为，纵坐标为，设点，点P是的中点，，解得：，；③四边形是矩形，对角线、相交于点P，此时点M与原点O重合，矩形，对角线、互相平分，、，点P是的中点，点P的横坐标为，纵坐标为，设点，点P是中点，，，解得：，，综上可知，点N的坐标为或或．【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的意义，相似三角形的判定和性质，三角函数值，勾股定理，坐标中点公式等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接(1)求k，b的值.(2)当的面积为3时，求点P的坐标.(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.【答案】(1)(2)(3)或，【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【详解】（1）∵直线过点，∴，∴，∵直线过点，∴，∴，∵过点，∴；（2）∵点P的横坐标为t，∴，∴∴，∵，又，∴，∴，∴；（3）如图1，∵，，∴当是边，点D在x轴正半轴上，作于F，作于G，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），∴如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：，∴，∴，当是对角线时，当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：，∴，∴，∴，如图4，，∴，∴，（舍去），当时，，∴，综上所述：或，.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为3时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或，【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将代入可求得，再把点的坐标代入，即可求得；（2）用含的代数式表示的长，根据铅锤定理，解得，进而求得点的坐标；（3）分情况讨论，当是边，点在轴正半轴上和点在轴的负半轴上；当是对角线，点在轴负半轴上和点在轴正半轴上，证明，进而得出，从而求得的值．【详解】（1）解：直线过点，，，直线过点，，，过点，；（2）解：，，，，，，、、分别表示、、三点的横坐标，，解得，经检验是原方程的解，；（3）解：如图1，，，，当是边，点在轴正半轴上，作于，作于，，，，，，，，，，，，，（舍去），，如图2，当点在轴的负半轴上时，由上知：，，，当是对角线时，当是对角线时，点在轴负半轴上时，可得：，，，，，如图4，，，，，（舍去），当时，，，综上所述：或，．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．【变式训练2】如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．

(1)求n的值．(2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标．(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．【答案】(1)8(2)或(3)或或或【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可；（2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可；（3）分以为边，为对角线讨论即可．【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上，∴，∴，把代入，得，解得；（2）解：由（1）知，设，∵轴，∴D的横坐标为c，又D在的图像上，∴，∴，∵，∴，解得或；（3）解：设，则一、以为边时，①如图，四边形为正方形，

则，C和E的纵坐标相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，，∴；②如图，四边形为正方形，

则，D和E的纵坐标相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），∴，，∴；二、以为对角线时，如图，四边形为正方形，

则是中点，，M和E的纵坐标相同∴，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），，（舍去）∴，，或，∴或综上，点F的坐标为或或或．【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．类型五、相似存在性问题例．如图，直线与双曲线交于，两点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求双曲线和直线的解析式；(2)若点是双曲线上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；(3)若点在轴的负半轴上，是否存在以点，，为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)存在，点坐标为或【分析】（1）由得，则点为，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据一次函数得出、，得出，设点的坐标为，根据的面积是的面积的倍，建立方程，解方程即可求解；（3）根据题意得出是等腰直角三角形，因此，若存在，显然只能在的左边，勾股定理得出，设的坐标为，根据相似三角形的性质得出或，代入进行计算即可求解．【详解】（1）由得

从而，∴点为由此得

解得所以双曲线的解析式为，直线的解析式为（2）如图，、是直线与坐标轴的交点，∴、则，由于在双曲线上，设点的坐标为，则据题意有，得所求P点的坐标为(或（3）存在，点坐标为，或如图，，，是等腰直角三角形，且，∴因此，若存在，显然只能在的左边，设的坐标为，要与相似，则要或即或解之得或所以点坐标为，或，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练1】在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点D，与边交于点E，的面积为2．(1)求m与n的数量关系及线段的长；(2)当时，求m，n的值和直线的解析式；(3)设P是线段上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)，，直线的函数解析式为：；(3)点P的坐标为；．【分析】（1）将D、E代入反比例函数解析式，进而得出n，m的关系；利用的面积为2，可求得；（2）利用的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；（3）分和两种情况，分别利用图形分析得出即可．【详解】（1）解：如图1，过点E作，垂足为H．∵D、E在反比例函数的图象上，∴，∴；∵的面积为2，∴，∴；（2）解：∵D，，∴B，∵即，∴．∵，∴，∴D，E，B．设直线的解析式为，代入B、E，得，解得：，∴直线的函数解析式为：；（3）解：①如图2，作于F，于H，当时，，∴，∵，∴，∴，可得，∴，∴点P的坐标为；②如图3，当时，，∵，由勾股定理，，∴，，∴，，，