专题06 一元二次方程特殊解的两种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题06一元二次方程特殊解的两种考法类型一、换元法例1．若，则的值是（

）A． B．1 C．1或 D．1或6【答案】B【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可．【详解】解：设，∴∴，∴，∴或，解得：，（不符合题意舍去）；∴，故选B【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键．例2．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程

的根为．【答案】，【分析】设，将方程化为，进而得到，是方程的两根，由此求解即可．【详解】解：设，∵，∴，∴，即，∵和2是关于x的一元二次方程的两根，∴，是方程的两根，，，，，方程的根为，，故答案为：，．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键．【变式训练1】已知实数x满足，则代数式的值为．【答案】2023【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式，方程有解．【详解】解：设，由原方程，得，整理，得，所以或．当时，，则；当时，即时，，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．【变式训练2】已知，且，则的值是．【答案】或【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：∵∴将两边同除以得：令，则因式分解得：，解得或，即的值是或故答案为：或．【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．【变式训练3】若，则．【答案】4【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．【详解】解：设，原方程可化为，化为一般式得：，解得：t=4或t=-2，∵，∴t=4，∴4，故答案为：4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．【变式训练4】阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2

已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：解方程：．(2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值．(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)7【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可；（2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可；（3）设，，则可得，进一步得到，再证明，推出；由，可得，即．【详解】（1）解：设，则方程可化为，∴，∴或，∴或（舍去），∴；（2）解：∵实数m，n满足：，∴实数m，n是方程的两个实数根，∴，∴；（3）解：设，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．类型二、构造法例1.已知a、b、c均为实数，且，，则______．【答案】4【详解】∵a+b=4，ab=2c2-4c+10∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4c+10=0的两实数解∴（x-2）2+2（c-）2=0∴x-2=0或c-=0解得x=2，c=∴ab=2×3-4×+10=4∴abc=4×=4故答案为：4．【变式训练1】解方程组：．【答案】或．【详解】∵，由①得：y＝x﹣3③．将③代入②得：x2+x（x﹣3）﹣2＝0．∴2x2﹣3x﹣2＝0．∴（2x+1）（x﹣2）＝0．∴2x+1＝0或x﹣2＝0．∴x1＝﹣，x2＝2．当x＝﹣时，y＝﹣．当x＝2时，y＝﹣1．原方程组的解为：或．【变式训练2】已知实数，满足等式，，则的值是______．【答案】【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：【变式训练3】已知a、b、c满足，，，则_______．【答案】3【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：，即，∴，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．课后作业1．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（

）A． B．C． D．．【答案】A【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程．【详解】解：设，原方程转化为，方程两边乘以y得，．故选：A．2.若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出的值．【详解】解：设：，则变为，∴，则，解得：，，即的值为或1，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．3．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为．【答案】【分析】把化为再结合题意得到解出即可．【详解】解：，．令，则∵方程（）有一个根为，方程有一根为，有一根为，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．4．若，求的值为．【答案】4【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值．【详解】解：设，则原方程为，整理得，，∴，，解得，，∵是非负数，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．5．解方程：．【答案】【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．【详解】解：设，则，原方程化成，解这个方程，得，，当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根，当y＝－2时，，即，解得：，经检验，x＝－1是原分式方程的解，∴原方程的解为x＝－1．【点睛】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程．6．解关于的方程：．【答案】或或或【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可．【详解】解：，分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，，，∴∴，；②当方程是一元一次方程时，且，解得，当时，方程为，解得；当时，方程为，解得．所以，方程的解为：，，或．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键．7．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解这个方程得：，．当时，，∴；当时，，∴所以原方程有四个根：，，，．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．(2)若，求的值．(3)利用换元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；（2）设，代入得到．解得，，根据，得到；（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．【详解】（1）设，则，于是原方程可变为，解这个方程得：，，当时，，移项得：，∵，∴此方程无解，当时，，解得，；故答案为：，；（2）设，则