专题08 一次函数与几何综合的五种考法（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题例．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．

(1)求直线的解析式；(2)点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．【变式训练1】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点是射线上的动点，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连接．(1)当点在线段上时，①求证：；②若点为的中点，求的面积．(2)在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接．(1)求点、的坐标；(2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标；(3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型二、直角三角形存在性问题例．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．

(1)求点C的坐标：(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．(1)填空：，，；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．(1)直线的函数表达式．(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．(3)若为直角三角形，求点D的坐标．类型三、等腰直角三角形存在性问题例．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接．

(1)如图1，求出的面积；(2)如图2，已知点C是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，，(1)求直线的解析式；(2)求证：是等腰直角三角形；(3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线右边第一象限内的动点．(1)①A的坐标是_____________②求直线的表达式；(2)点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；(3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．类型四、全等问题例．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．

(1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段的长为________；(2)当的面积是4时，求点P的坐标；(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【变式训练1】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．(1)求点A，B的坐标；(2)求的长；(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标．【变式训练2】直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．(1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．【变式训练3】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型五、角度之间关系例．已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．

(1)如图1，若直线过，求．(2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值．(3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点D．直线交x轴于点，点P为直线上的动点．(1)求直线的关系式；(2)连接，当线段时，直线上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出周长的最小值；(3)若，直接写出点P的纵坐标．【变式训练2】如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线BC的函数解析式；(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若的面积为，求点M的坐标．②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．课后训练1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足．(1)a＝；b＝．(2)点P在直线的右侧，且；①若点P在x轴上，则点P的坐标为；②若为直角三角形，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线相交点，点D是直线与轴的交点．

(1)填空：______，______；(2)在射线上有一动点E，过点E作EF平行于轴交直线于F，连接BE，当时，求点E的坐标；(3)点M为直线上一点，且，求点M的坐标．4．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接．(1)求点C的坐标；(2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y＝2x＋4分别交x轴，y轴于点B，A，点C在x轴