专题05 与根的判别式有关的两种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题05与根的判别式有关的两种考法类型一、参数位置的问题例1.（二次项含参）关于x的方程，只有一个实数解，则m的值等于（

）A．0，2 B．1，2 C．0，，1 D．0，2，1【答案】D【分析】方程，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根．【详解】方程，只有一个实数解，有两种情况：①当时，即时，方程为，∴．故时，程，只有一个实数解．②当时，方程有一个实数解需满足：．即．解得：．综上所述，m的值等于0，2，1时，方程，只有一个实数解．故选：D．【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论．例2.（二次项不含参）关于x的方程根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个不相等实数根C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根【答案】B【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．【详解】解：根据题意得，，则关于x的方程有两个不相等实数根，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有一个实数根；，一元二次方程无实数根是解题的关键．【变式训练1】若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【详解】解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1；当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≥-．故选：A．【变式训练2】已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．【答案】【分析】运用根的判别式求参数即可．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，整理得，，解得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的关键．【变式训练3】已知关于x的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．【答案】(1)证明见解析(2)当时，方程的根是（答案不唯一）【分析】（1）根据根的判别式即可证明；（2）先根据方程至少有一个正整数根，求出，在此范围内取，即可求出方程的根．【详解】（1）∵，∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵，∴．∵方程至少有一个正整数根，∴．∴．当时，一元二次方程可化为，解得：．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．【变式训练4】若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由．【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】由方程没有实数根，可求出，进而可得出方程的根的判别式，然后根据判别式的意义得出结论．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由：∵方程没有实数根，∴，解得：，∴方程的根的判别式，∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键．类型二、分情况讨论（是否是二次方程）例1.m为何值时，关于x的方程有唯一的根，并求这个根．【答案】当m＝0时，；当m＝时，【详解】解：①当m＝0时，原方程是一元一次方程，∴，解得；②当m≠0时，原方程是一元二次方程，由题意知，，解得，∴，解得；综上所述，该方程的根为或．例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程：①若，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（）．【答案】②【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】解：①，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误；①，则方程必有两个不相等的实数根，故②正确．故答案为②．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根．【变式训练1】已知，关于x的一元二次方程．(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？(2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根．【答案】(1)时，方程有两个不相等的实数根；(2)，另一个根为【解析】(1)解：∵，，，∴．，解得所以，当时，方程有两个不相等的实数根．(2)解：把代入原方程得：，解得：．设另一个根为，则，即，所以方程的另一个根为．【变式训练2】已知关于的一元二次方程．（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．【答案】（1）见解析；（2）或．【解析】（）证明：，无论取何值，方程总有两个实数根．（）解：，．，．以，，为三边长的三角形是直角三角形，．当为斜边时，则，解得．当为斜边时，则，解得．综上所述，的值为或．【变式训练3】已知关于的方程没有实数根，试判断关于的方程实数根的情况，并说明理由．【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于的方程没有实数根，求出的求值范围；再表示关于的方程，，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程没有实数根，，，对于关于的方程，，，，即，∴方程一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．课后作业1．关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关【答案】B【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.【详解】解：∵方程化为一般式为，则，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键．2．已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判定【答案】B【分析】由点在第四象限，可得，，可得，从而可得答案．【详解】解：∵点在第四象限，∴，，方程的判别式，方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点为：以及根的判别式的含义是解本题的关键．3．已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，则的值为（）A．3 B．4 C．3或4 D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．【详解】解：当腰为4时，把代入得，，解得；当底为4时，则方程有两相等的实数根，∴，∴，解得，综上所述，m的值为4或3．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，若直线不经过第三象限，则关于x的方程的实数根的情况为（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】由直线解析式求得k≥0，然后确定Δ的符号即可．【详解】解∶直线不经过第三象限，关于的方程的实数根的情况为有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当0时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是【答案】C【分析】先将代入中求出，则一元二次方程化为，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：把代入得，解得，则一元二次方程化为，∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．6．若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是C．没有实数根 D．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将代入中得到，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，即，对于方程，∵，∴方程有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；当时，，即是方程的一个根，故选项B正确，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．7．关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？【答案】一定有；理由见解析【分析】根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：关于的方程中，∵，，，∴，∴方程一定有实数根．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．8．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，方程有两个不相等的实数根．(2)如果方程有一个实数根为，求另一个实数根．【答案】(1)证明过程见详解(2)方程的另一个实数根为【分析】（1）运用根的判别式即可求解；（2）把一个实数根为代入方程，可求出的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解．【详解】（1）证明：关于的一元二次方程中，，∴，整理得，，∴无论为何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程有一个实数根为，∴，解得，，∴原方程得，，因式分解得，，∴，，∴方程的另一个实数根为．【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，根据根的情况求参数的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．9．关于x的方程有实数根，求k的取值范围．【答案】【分析】分情况讨论当时和当时，方程根的情况，从而求出k的取值范围．【详解】①当时，方程为一元一次方程，原方程可变形为，解得；②当时，方程为一元二次方程，若方程有实数根，则，解得