2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（4）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（4）教学教案新人教A版必修4主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是正切函数的性质与图象。教材章节为2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（4），新人教A版必修4。

教学内容与学生已有知识的联系：在学习本节课之前，学生已经掌握了正弦函数和余弦函数的性质与图象，这为学习正切函数的性质与图象奠定了基础。通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的性质，提高解决实际问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：通过观察正切函数的图象，引导学生发现其性质，并能够运用性质进行逻辑推理。

2.直观想象：通过绘制正切函数的图象，培养学生的空间想象能力，使其能够直观地理解正切函数的性质。

3.数学建模：通过分析实际问题中的正切函数应用，培养学生运用正切函数解决实际问题的能力，提高其数学建模素养。

4.数学运算：在学习正切函数的性质时，引导学生运用数学运算方法，求解相关问题，提高其数学运算能力。学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经掌握了正弦函数和余弦函数的性质与图象，这为学习正切函数的性质与图象奠定了基础。然而，学生在学习正切函数时可能会遇到一些困难，如对正切函数的定义理解不深刻，对正切函数的性质难以理解和运用等。因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础、能力水平和学习习惯，采取适当的教学策略，帮助学生克服困难，提高学习效果。

1.知识基础方面：学生在学习正切函数之前，已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对正弦函数和余弦函数有一定的了解。但是，对于正切函数的定义和性质，学生可能还没有完全掌握。因此，在教学过程中，需要对正切函数的定义进行讲解，并通过例题引导学生理解和运用正切函数的性质。

2.能力水平方面：学生在学习正切函数时，需要具备一定的逻辑推理能力和空间想象能力。对于一些基础较好、能力较强的学生，可以通过引导他们深入研究正切函数的性质，提高他们的逻辑推理和空间想象能力。对于一些基础薄弱、能力较低的学生，则需要通过详细的讲解和大量的练习，帮助他们理解和掌握正切函数的性质。

3.学习习惯方面：学生在学习正切函数时，可能存在以下几种不良学习习惯：（1）对正切函数的定义理解不深刻，只是机械地记忆性质；（2）在解决实际问题时，不会运用正切函数的性质进行分析和求解；（3）在学习过程中，缺乏主动探索和思考的精神，只是被动地接受知识。针对这些不良学习习惯，教师需要在教学过程中进行引导和纠正，帮助学生养成良好的学习习惯。

4.情感态度方面：学生在学习正切函数时，可能存在以下几种不良情感态度：（1）对正切函数的学习缺乏兴趣，认为难以理解和掌握；（2）在学习过程中，存在恐惧和抵触情绪，不愿意深入学习；（3）对自己在学习正切函数方面的能力缺乏信心，容易放弃。针对这些不良情感态度，教师需要通过鼓励和激励，增强学生学习的自信心，激发学生学习的兴趣和动力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、三角板、计算器、教科书、练习册。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，如Moodle或Blackboard，用于上传教学材料、布置作业和分享信息。

3.信息化资源：教学软件和应用程序，如GeoGebra、Desmos、MicrosoftOneNote等，用于辅助演示和学生的互动学习。

4.教学手段：讲义、PPT演示文稿、视频教程、互动讨论、小组合作、问题解决、练习题和案例分析。

5.辅助材料：正切函数的图象和性质的图表、实际应用问题的案例研究、数学探究活动的工作单等。

6.在线资源：数学教育网站、学术期刊、在线课程、论坛和问答社区，用于扩展学生的学习视野和提供额外的学习资源。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对正切函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道正切函数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于正切函数的图片或视频片段，让学生初步感受正切函数的魅力或特点。

简短介绍正切函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.正切函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解正切函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解正切函数的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍正切函数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.正切函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解正切函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的正切函数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解正切函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用正切函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与正切函数相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对正切函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调正切函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括正切函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调正切函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用正切函数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于正切函数的短文或报告，以巩固学习效果。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-推荐阅读《数学年鉴》中关于正切函数的历史发展部分，让学生了解正切函数的历史背景和重要贡献者。

-提供一些数学研究论文或学术文章，让学生深入了解正切函数在现代数学中的应用和研究进展。

-推荐阅读一些数学杂志或博客，如《数学传播》、《数学的奥秘》等，让学生了解正切函数在现实生活中的应用和解决实际问题的案例。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-要求学生利用网络资源，查找正切函数在其他领域的应用，如物理学、工程学、经济学等，并撰写一篇短文进行阐述。

-引导学生利用编程语言或数学软件，绘制正切函数的图象，并探索正切函数的性质。

-鼓励学生参与数学竞赛或研究项目，如参加数学奥赛、加入数学研究小组等，让学生在实践中运用和深化对正切函数的理解。

-引导学生思考正切函数在实际生活中的应用，如测量角度、计算曲线切线等，并尝试解决一些相关的实际问题。重点题型整理1.题型一：正切函数的定义与性质

题目：已知函数f(x)=tan(x)，求证f(x)是周期函数，并计算其周期。

答案：证明：由正切函数的定义可知，tan(x)=sin(x)/cos(x)。根据三角函数的周期性，sin(x)和cos(x)都是周期函数，且它们的周期都是2π。因此，tan(x)=sin(x)/cos(x)也是周期函数，其周期为2π。

2.题型二：正切函数的图象分析

题目：绘制正切函数y=tan(x)的图象，并说明其特点。

答案：正切函数y=tan(x)的图象是周期性的波浪线，周期为π。在x=0处，函数值为0；在x=π/2处，函数值为无穷大；在x=π处，函数值为0。函数的图象在x轴的两侧交替上升和下降，形成波浪状的形状。

3.题型三：正切函数的性质应用

题目：已知正切函数的性质，求解方程tan(x)=2。

答案：由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我们可以将方程tan(x)=2转化为sin(x)/cos(x)=2。根据三角函数的定义，我们可以得到sin(x)=2cos(x)。然后，利用三角恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1，我们可以将方程转化为4cos^2(x)+cos^2(x)=1。解这个方程，我们得到cos(x)=±1/√5。由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我们可以得到两组解：x=arctan(2)+kπ和x=π-arctan(2)+kπ，其中k为整数。

4.题型四：正切函数的实际应用

题目：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，其行驶路线的斜率为tan(30°)。求汽车行驶100公里所需的时间。

答案：由于tan(30°)=√3/3，表示汽车每小时行驶的距离与时间的比值。设汽车行驶100公里所需的时间为t小时，则有100/t=60/√3/3。解这个方程，我们得到t=100√3/18。因此，汽车行驶100公里所需的时间为t≈5.77小时。

5.题型五：正切函数的综合应用

题目：已知正切函数的图象和性质，解释为什么在建筑物的设计中经常使用正切函数。

答案：在建筑物的设计中，正切函数经常被使用，因为它可以表示建筑物的高度与宽度的比例关系。例如，在设计楼梯或斜坡时，我们可以使用正切函数来计算楼梯的级数或斜坡的倾斜度。正切函数的周期性和对称性也使得它在建筑设计中具有美学价值。通过正切函数，建筑师可以创造出具有和谐比例和美观外观的建筑物。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了正切函数的性质与图象。首先，我们回顾了正切函数的定义，即正切函数是正弦函数与余弦函数的比值。接着，我们通过绘制正切函数的图象，观察到了它的周期性、奇偶性和无界性等特点。在案例分析中，我们通过具体的实例，进一步了解了正切函数在实际问题中的应用，如测量角度、计算曲线切线等。我们还通过小组讨论，培养了合作能力和解决问题的能力。最后，我们进行了课堂展示和点评，加深了对正切函数的理解和认识。

当堂检测：

1.已知正切函数f(x)=tan(x)，求证f(x)是周期函数，并计算其周期。

答案：证明：由正切函数的定义可知，tan(x)=sin(x)/cos(x)。根据三角函数的周期性，sin(x)和cos(x)都是周期函数，且它们的周期都是2π。因此，tan(x)=sin(x)/cos(x)也是周期函数，其周期为2π。

2.绘制正切函数y=tan(x)的图象，并说明其特点。

答案：正切函数y=tan(x)的图象是周期性的波浪线，周期为π。在x=0处，函数值为0；在x=π/2处，函数值为无穷大；在x=π处，函数值为0。函数的图象在x轴的两侧交替上升和下降，形成波浪状的形状。

3.已知正切函数的性质，求解方程tan(x)=2。

答案：由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我们可以将方程tan(x)=2转化为sin(x)/cos(x)=2。根据三角函数的定义，我们可以得到sin(x)=2cos(x)。然后，利用三角恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1，我们可以将方程转化为4cos^2(x)+cos^2(x)=1。解这个方程，我们得到cos(x)=±1/√5。由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我们可以得到两组解：x=arctan(2)+kπ和x=π-arctan(2)+kπ，其中k为整数。

4.一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，其行驶路线的斜率为tan(30°)。求汽车行驶100公里所需的时间。

答案：由于tan(30°)=√3/3，表示汽车每小时行驶的距离与时间的比值。设汽车行驶100公里所需的时间为t小时，则有100/t=60/√3/3。解这个方程，我们得到t=100√3/18。因此，汽车行驶100公里所需的时间为t≈5.77小时。

5.已知正切函数的图象和性质，解释为什么在建筑物的设计中经常使用正切函数。

答案：在建筑物的设计中，正切函数经常被使用，因为它可以表示建筑物的高度与宽度的比例关系。例如，在设计楼梯或斜坡时，我们可以使用正切函数来计算楼梯的级数或斜坡的倾斜度。正切函数的周期性和对称性也使得它在建筑设计中具有美学价值。通过正切函数，建筑师可以创造出具有和谐比例和美观外观的建筑物。板书设计1.正切函数的定义

-正切函