锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）

专题28.19锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）

（专项练习）

【知识点一】三角函数的运算计算★★化简★★求值

【类型①】三角函数的运算》一直接计算

1.（2022,湖南岳阳•中考真题）计算：卜与-ZtaiMSo+Jiy^TG-%）。.

2.（2016・贵州毕节•中考真题）计算:

(ff-3J4)0+-2sm45'+(-lJ**ltf

3.（2021•山东荷泽・中考真题）计算：（2021-》）"-|3-V^+4cos30。-ai-

【类型②】三角函数的运算＞♦“化解★★求值

4-（2。22•山东滨州•中考真题）先化简，再求值：1+1-言卜片詈，其中

a=tan450+

--1__1]x+2

5.（2021•辽宁营口•中考真题）先化简，再求值:,其中

x2—2,x+1x—1x—1

x=^+|-2|-3tan6O0.

6.（2。2。.黑龙江黑龙江.中考真题）先化简,再求值：（2-彳E卜一其

中x=3tan3O0-3.

【知识点二】三角函数在几何问题中的应用

【类型①】三角函数的应用*>“三角形

7.(2016•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图，在小8C中，ADJ.BC,BE1AC,垂足

分别为。，E,AD与8E相交于点

(1)求证：AACDSABFD；

(2)当tanNAB£)=l,4c=3时，求防的长.

8.(2020・四川眉山・中考真题)如图，和ACDE都是等边三角形，点8、C、E三

点在同一直线上，连接80,AD,BD交AC于点F.

(1)若AD2=DF-DB，求证：AD=BF;

(2)若/BAD=90°,BE=6.

①求tanNDBE的值：

②求。尸的长.

9.(2021・四川阿坝•中考真题)如图，RsA3c中，ZACB=90°,将"1BC绕点C顺时

针旋转得到A0EC,点。落在线段AB上，连接BE.

(1)求证：DC平分NADE；

(2)试判断BE与A8的位置关系，并说明理由:

(3)若BE=BD,求tanNABC的值.

【类型②】三角函数的应用平行四边形

10.(2018・广西百色・中考真题)平行四边形ABCD中，13A=60。，AB=2AD,BD的中垂

线分别交AB,CD于点E,F,垂足为O.

(1)求证：OE=OF；

(2)若AD=6,求tanBABD的值.

11.(2019・江苏扬州・中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分/DAB,已知

CE=6,BE=8,DE=10.

(1)求证：ZBEC=90°；

(2)求cos/DAE.

12.（2019•辽宁沈阳•中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC

上的两点，AE=CF,DF=BE,且DF〃BE,过点C作CGJ_AB交AB的延长线于点G.

2

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan/CAB=j,ZCBG=45°,BC

=40,贝gABCD的面积是_______.

BG

【类型③】三角函数的应用>♦“矩形

13.（2022・湖北荆门・中考真题）如图，已知矩形ABCQ中，AB=8,BC=x（0<x<8）,

将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点凡

(1)求证：△CEF/ADF；

（2）求tanNDAP的值（用含x的式子表不）.

14.（2022・江苏无锡•中考真题）如图，已知四边形ABCO为矩形AB=2夜，3c=4,

点E在8C上，CE=AE,将△ABC沿4c翻折到△AFC,连接EF.

（1）求EF的长;

（2）求sin/CE尸的值.

15.（2022.四川成都.中考真题）如图，在矩形48CD中，AD=nAB（n>l）,点E是AO

边上一动点（点E不与A,。重合），连接8E,以BE为边在直线8E的右侧作矩形EBFG,

使得矩形EBFGs矩形ABC。，EG交直线8于点

（1）【尝试初探】在点E的运动过程中，与△。团始终保持相似关系，请说明理

由.

(2)【深入探究】若〃=2,随着E点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当〃是

线段CO中点时，求tanNABE的值.

⑶【拓展延伸】连接8",当ABF”是以尸”为腰的等腰三角形时，求tanZABE

的值(用含〃的代数式表示).

【类型④】三角函数的应用菱形

16.(2021・吉林长春•中考真题)如图，在菱形ABC。中，对角线AC与8。相交于点O,

AC=4,50=8,点E在边上，AE=1AD,连结8E交AC于点M.

(I)求AM的长.

(2)tanNMBO的值为.

17.(2020・吉林・中考真题)能够完全重合的平行四边形纸片ABC。和AEFG按图①方式

摆放，其中仞=AG=5,A8=9.点Q,G分别在边AE,A8上，C。与FG相交于点

【探究】求证：四边形AG〃〃是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABC。，将平行四边形纸片但'G绕着点A顺

时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分

图形的周长和为.

［操作二】四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点8重合,

图①图②图③

18.(2019・北京・中考真题)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E,F分别在

AB,AD上，BE=DF,连接EF.

(1)求证：AC±EF；

(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,若BD=4,tanG=g,求

AO的长.

A

【类型⑤】三角函数的应用正方形

19.(2018•宁夏・中考真题)已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE,过

点C作CN_LBE,垂足为M,交AB于点M

(1)求证：△ABE丝△BCN；

(2)若N为AB的中点，求ta八/ABE.

20.(2016•湖南株洲•中考真题)已知正方形ABC。中，BC=3,点、E、F分别是CB、CD

延长线上的点，DF=BE,连接AE、AF,过点A作AHLEZ)于4点.

(1)求证：AADF丝△ABE；

(2)若BE=1,求tan/AE。的值.

21.(2016•浙江杭州•中考真题)如图，已知四边形ABCQ和四边形。EFG为正方形，

点E在线段OC上，点A,D,G在同一直线上，且AO=3,DE=1,连接4C,CG,AE,

并延长AE交CG于点H.

(1)求sinNE4c的值；

(2)求线段AH的长.

【知识点三】三角函数在实际生产生活中的应用

【类型①】三角函数的应用仰角★★俯角

22.(2022.广东广州.中考真题)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量

旗杆的高度.如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC,与此同时在C处立一根标杆CD,

标杆CD的影子为CE,CD=1.6m,BC=5CD.

(1)求3C的长；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择二个作为已知，

求旗杆AB的高度.

条件①：CE=1.0m；条件②：从。处看旗杆顶部A的仰角a为54.46。.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.参考数据：sin54.46%0.81,

cos54.46°~0.58,tan54.46°=1.40.

23.(2022•辽宁阜新•中考真题)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知

识测量居民楼的高度A3,在居民楼前方有一斜坡，坡长C£>=15m,斜坡的倾斜角为a,

4

cosa=w.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60。，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°

(点A,B,C,。在同一平面内).

(1)求C,。两点的高度差；

（2）求居民楼的高度AB.（结果精确至hm,参考数据：下）=1.7）

24.（2022.辽宁朝阳•中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度

（旗杆底端有台阶）.该小组在C处安置测角仪CZ）,测得旗杆顶端A的仰角为30。，前进

8m到达E处，安置测角仪EF,测得旗杆顶端4的仰角为45。（点B,E,C在同一直线上），

测角仪支架高CD=EF=L2m,求旗杆顶端A到地面的距离即A8的长度.（结果精确到1m.参

考数据：73-1.7）

【类型②】三角函数的应用方位角

25.（2022・湖北襄阳•中考真题）位于幌山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是

为纪念“襄樊战役''中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献

身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度.无人机在点4

处测得纪念塔顶部点B的仰角为45。，纪念塔底部点C的俯角为61。，无人机与纪念塔的水

平距离40为10m,求纪念塔的高度.（结果保留整数.参考数据：sin61°~0.87,cos61°=0.48,

tan610~1.80）

26.（2022・四川资阳•中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的

隧道A8进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15。方

向上，他沿西北方向前进1006米后到达点。，此时测得点A在他的东北方向上，端点8

在他的北偏西60。方向上，（点A、B、C、。在同一平面内）

（1）求点。与点A的距离；

（2）求隧道A3的长度.（结果保留根号）

27.（2022・贵州安顺・中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋

完善.某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在

斜坡CB上有一建成的5G基站塔A8,小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45。，然后他沿

坡面CB行走了50米到达。处，。处离地平面的距离为30米且在。处测得塔顶A的仰角

43

53。.（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°^-,cos53°«1,

4

tan53°a—）

3

（1）求坡面C3的坡度;

（2）求基站塔A8的高.

【类型③】三角函数的应用》*“坡度★★坡比

28.（2022.辽宁锦州•中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,

货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60。方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货

轮调整航向，沿着北偏东30。方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70。方向航

行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里.参考数据：

sin50°~0.766,cos50cM).643,tan50°~1.192).

北

29.（2022•江苏徐州•中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有

一个坡面CQ,坡角NQCN=30.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡

面上的影长为180cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其

影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

A

30.（2022.湖南郴州.中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m,背水坡

8c的坡度为彳=1:1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准

备把背水坡的坡度改为=1：6，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据:

近=1.41,百=1.73.结果精确到0.1m）

【知识点四】三角函数在函数中的应用

【类型①】三角函数的应用》”一次函数

31.（2013・黑龙江牡丹江•中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线

AC=12,tanNACO=g

3

(1)求B、C两点的坐标；

(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F,求直线DE的

解析式；

(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N,使以0、F、M、N为顶点的四边

形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

32.(2021・天津东丽•一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),点B的坐标为

(0,73),把AABO绕原点。顺时针旋转，得到△A'8'O,记旋转角为a.

(I)如图①，当a=30°时，求点8'的坐标.

(H)设直线A4与直线8B'相交于点如图②，当&=90。时，求AABM的面积.

33.(2020•河北石家庄•模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系中A(0,2),点8(-

3,0).△绕点O逆时针旋转30。得到AAQB/.

(1)直接写出点8/的坐标；

(2)点C(2,0),连接CA/交0A于点。，求点。的坐标.

【类型②】三角函数的应用反比例函数

34.(2021.山东泰安.中考真题)如图，点P为函数＞与函数y=*x＞。)图象

的交点，点P的纵坐标为4,P8_Lx轴，垂足为点民

(1)求m的值;

(2)点M是函数y=—(x>0)图象上一动点，过点M作M£)_L8P于点O,若

x

tan/.PMD--,求点M的坐标.

2

35.(2014•江西南昌・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，RSPBD的斜边PB落在

1

y轴上，tan/BPD=2延长BD交x轴于点C,过点D作DALx轴，垂足为A,OA=4,

OB=3.

(1)求点C的坐标；

k

(2)若点D在反比例函数y=x(k>0)的图象上，求反比例函数的解析式.

36.(2022•四川宜宾•中考真题)如图，一次函数丫=以+。的图象与x轴交于点A(4,0),

与y轴交于点8,与反比例函数N=>0)的图象交于点C、O.若tanABAO=2,BC=3AC.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2)求A。。的面积.

参考答案

1.I

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数累，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等

计算法则求解即可.

解：|-3|-2tan450+(-1)2022--TT)0

=3-2xl+l-l

=3—2+1-1

【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数嘉，实数的运算，有理数的乘方，绝

对值，准确熟练地化简各式是解题的关键.

2.1-近

解：试题分析：首先根据绝对值、0次幕、负指数次基、三角函数以及-1的偶数次基的

计算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案.

也.

试题解析：原式=1+应-1-及-2x2+I=I.A/2

考点：实数的计算

3.0

【分析】根据零指数幕，绝对值的化简,负整数指数幕，特殊角的函数值计算即可

解：(2021-万)°-[3->/^+4cos30

=l+3-26+4x立-4

2

=0.

【点拨】本题考查了零指数幕，负整数指数基，特殊角的函数值，二次根式的化简,绝对值

的化简，熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键.

a-2八

4.——-,0

。+2

【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负

指数塞和零次塞的性质求出a，最后代入计算.

a2-4(a+2)2

a-\a-\

(a+2)(〃-2)a—1

Q-l(a+2)2

a-2

。+2

a=tan45°+—710=l+2—l=2,

•.•原式=黑=第=°.

【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幕和零次塞的性质，熟练

掌握运算法则是解题的关键.

x

5.

龙+22

【分析】先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可.

(x+l)(x-1)1

解：原式二

x+2

x+l1X-1

x—ix—\)x+2

xx-1

x-\x+2

x

x+2'

当x=&i+|-2|-3tan60°=3>/3+2-3V3=2时，原式=；­

【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数

值，是解题的关键.

6Azl3-46

・T7T3

【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三

角函数值代入x=3tan30。-3求出x的值，然后代入化筒后的结果进行计算即可.

2

(内由T2(X+1)X-1(X+3)

解：原式=------L-----------

X4-1X4-1(x+l)(l)

2x+2-x+l+

X+I.(X+3)2

x+3(x+1)(x-l)

一》+「(x+3)2

_x-1

x+3'

当x=3tan300—3=3x3—3=>A—3l^j,

3

73-3-1_x/3-4_3-4x/3

坊、工1——r=-7=一>

6-3+3V33

【点拨】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算,

特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

7.（1）见分析：（2）3

【分析】（I）由NC+ND8尸=90。，ZC+ZZMC=90°,推出NZ阳尸=/ZMC,由此即

可证明；

ACAD

（2）先证明AD=3Z）,由AACDS^BFD,得二三==1,即可解决问题.

BFBD

解：（1）证明：VADJ.BC,BELAC,

：.ZBDF=ZADC=NBEC=90°,

...ZC+ZDBF=90°,NC+ZDAC=90°,

/DBF=NDAC,

：.AACDSABFD.

（2）VtanZABD=\,ZADB=90°,

.AD

•,--=1,

BD

:.AD=BD,

,:AACDS/\BFD,

.ACAD

♦・--=---=1,

BFBD

：.BF=AC=3.

【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握

相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型.

8.（I）见分析；（2）①正；②空

53

【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出〜ABD4,再根据ASA

得出AACZ）三ABA尸即可.

（2）①过点。作于点G,根据直角三角形30。角所对直角边是斜边的一半可

得E»C=；AC,从而得出CE=g8C,由BE=6得出CE=2,BC=4,根据勾股定理得出

DG=g,然后根据tanNDBE=g1即可.

DCJ

DF1

②在RtSBDG中，根据勾股定理得出BD的长，再根据bCDF-AABF得出芸=：即

BD3

可得出DF的长.

解：（1）证明：AD?=DF•DB，•--zrz;=——

DFAD

又・.・ZADF=/BDA,..MDF-/SBDA,/.ZABD=ZFAD.

•/AABC和ACDE均为等边三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZACB=/DCE=60。,

ZACD=60%:.ZACD=ZBAF=60°,

AACD=AeAF,:.AD=BF.

(2)①QZBAL>=90。，Z^4C=60°,ZC4L>=30°,

・・・ZAC。=60。，/.ZA£)C=90°,

DC=-AC:.CE=-BC.

292

,/BE=6,CE-2,BC—4,

过点。作DGLBE于点G,

ACDE为等边三角形，

:.CG=EG=\,BG=5.

在RtACDG中，DG=y/3,

tanZDBE.

BG5

②在RtABOG中，BD=dBG2+DG°=R+W=2不，

vZABC=ZDCE=60°,:.CD//AB,;.ACDF〜的F,

DFCD1DF12x/7

..==-,..=—,DF=------.

BFAB2BD33

【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，

以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

9.(1)见分析；(2)BE1AB,理由见分析；(3)近-1.

【分析】(1)根据旋转的性质可得AC=CD,ZA=ZCDE,再由等腰三角形的性质得到

ZA=ZADC即可证明NADC=NCDE；

(2)根据旋转的性质得到/ACD=/BCE,CB=CE,AC=CD,从而得出

ZCAD=ZADC=/CBE=ZCEB,再根据/ACB=90°即可得至U/ABE=90°；

(3)设BD=BE=a,根据勾股定理计算出AB=DE=&”，表达出AD,再证明

△ACDSABCE,得至IJ42=4£=缶一"=正一1即可.

BEBCa

解：(1)由旋转可知：AC=CD,ZA=ZCDE,

.*.ZA=ZADC,

/ADC=ZCDE,即DC平分/ADE；

(2)BE±AB,

理由：由旋转可知，ZACD=ZBCE,CB=CE,AC=CD,

ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,

又；ZACB=90°,

；.NCAD+NABC=90。，

二ZCBE+ZABC=90°,

即NABE=90°,

.,.BE1AB；

(3)VZABE=900,BD=BE,

.•.设BD=BE=a,则DE=\IBD2+BE2=41a>

又；AB=DE,

，AB=\/2a1则AD=~j2a—a<

由(2)可知，ZACD=ZBCE,ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,

.,.△ACD^ABCE,

,ADACyfla-a[T

♦•==---------=72-1，

BEBCa

AC/—

AtanZABC=——=,2-1.

BC

【点拨】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定

义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义.

10.(1)证明见分析(2)昱

3

【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；

(2)作。根据勾股定理和三角函数解答即可.

解：(1);四边形A8C力是平行四边形，

：.AB//DC,

AZ1=Z2.

/是8。的中垂线，

：.OD=OB,Z3=Z4=90°,

••.△DOF咨ABOE,

:・OE=OF；

(2)W-DG±ABf垂足为G.

VZA=60°,AD=6,

・・・ZADG=30°,

：.AG=-AD=3

2f

u

：AB=2ADf

AAB=2x6=12,BG=AB-AG=12-3=9,

・，/AnnDG百

..tanZABD==—^―=——.

3G93

【点拨】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质和

全等三角形的判定和性质解答.

11.(1)见分析；(2)cos/DAE=|石

【分析】(1)先求出BC的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得；

(2)根据平行四边形的性质可求得AB=16,NABE=90。，继而根据勾股定理求出AE的

长，然后利用余弦的定义求出cos/EAB的值，再根据NDAE=NEAB即可求得答案.

解：(1)；四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=BC,AD〃BC,

/.ZAED=ZEAB.

：AE平分NDAB,

，/DAE=NEAB,

，ZAED=/DAE,

AD=DE=10,

ABC=10,

又・.・BE=8,CE=6,

ABE2+CE2=BC2,

•••△BEC为直角三角形，

JZBEC=90°；

(2)VDE=10,CE=6,

ACD=DE+CE=16,

♦・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB//CD,AB=CD=16,

AZABE=ZBEC=90°,

AE=yjBE2+AB2=8石，

162r-

•••C°S/EAB=^=W，

VZDAE=ZEAB,

."•cosZDAE==1^.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余弦等知识，熟练掌握相

关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

12.(1)见分析；(2)24.

【分析】(I)根据已知条件得到AF=CE,根据平行线的性质得到NDFA=/BEC,根

据全等三角形的性质得到AD=CB,ZDAF=ZBCE,于是得到结论；

(2)根据已知条件得到ABCG是等腰直角三角形，求得BG=CG=4,解直角三角形

得至AG=10,根据平行四边形的面积公式即可得到结论.

解：(1)证明：；AE=CF,

；.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

：DF〃BE,

NDFA=NBEC,

VDF=BE,

.,.△ADF^ACBE(SAS),

.'.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

，AD〃CB,

四边形ABCD是平行四边形；

(2)解：VCG±AB,

,ZG=90°,

/CBG=45。，

...△BCG是等腰直角三角形，

VBC=4V2,

，BG=CG=4,

VtanZCAB=,

.*.AG=IO.

；.AB=6,

.♦.□ABCD的面积=6x4=24,

故答案为24.

【点拨】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角

形，正确的识别图形是解题的关键.

64-x2

13.⑴证明见分析⑵tanND4F=>6%

【分析】(1)根据矩形的性质得到/8=/。=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到

BC=CE,NE=NB=90°,等量代换得到NE=NZ)=90°,AQ=CE,根据A4S证明三角

形全等即可；

(2)设DF=a,则CF=8-a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8-a,在

即△人〃尸中，根据勾股定理表示出。尸的长，根据正切的定义即可得出答案.

(1)证明：；四边形48co是矩形，

...NB=N£>=90。，BC=AD,根据折叠的性质得：BC=CE,Z£=ZB=90°,

ZCFE=ZAFD

/.ZE=ZD=90o,AD=CE,在尸与ZkAO尸中，＜ZD=Z£=90,

AD^CE

:ACEF沿AADF(AAS)；

(2)解：设。产=。，则b=8-“，

•••四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AD=BC=x,

：.ZDCA^ZBAC,根据折叠的性质得：ZEAC^ZBAC,

：.ZDCA=ZEAC,

：.AF=CF=3-a,在RSAOF中，

"：AD2+DF2=AF2,

.,.%2+。2=(8-4)2,

【点拨】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换

(折叠问题)，根据矩形的性质和折叠的性质证出AF=CF是解题的关键.

O

14.(1)717(2)—V34

【分析】(I)先由RfAABE可求得AE的长度，再由角度关系可得NE4E=90,,即可求得EF

的长;

(2)过尸作PM_LCE于M,利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出尸M

的长度，得出答案.

解：(1)设BE=x,则EC=4-x,

AE=EC=4-x,

在RAABE中，AB2+BE2^AE2.

二(2&丫+/=(4_到2,

:.X=1,

:.BE=1,AE=CE=3,

AE=ECf

・•・Z1=Z2,

I/ABC=90°,

NC48=90-/2,

ZC4B=90-Z1，

由折叠可知AE4C=ABAC,

AZFAC=ZCAB=90-Z1,AF=AB=2近,

ZMC+Z1=9O\

/.ZME=9O,

J(2&”32=g

：.ZFME=ZFMC=90°,

设EM=a厕EC=3-a,

在RNFME中,FM2=FE2-EM2

在Rt^FMC中，FM2=FC2-MC2,

FE2_EM?=FC?_MC2,

.,.(VF7)2-a2=42-(3-a)2,

5

EM=-,

3

【点拨】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角

三角形是解题的关键.

2-应2+应n____

15.⑴见分析(2)2或2⑶5或42-1

【分析】(1)根据题意可得N4=NO=NBEG=90。，可得即可求证；

(2)根据题意可得AB=2DH,AD=2AB,AD=4DH,设DH=x,AE=a,则AB=2x,AD=4x,

可得。E=4x-m再根据△ABES/\OEH,可得x=包生或R-⑹即可求解；

22

(3)根据题意可得EG=〃BE,然后分两种情况：当时，当时，即

可求解.

(1)解：根据题意得：ZA=ZD=ZBEG=90°,

；.NAEB+NDEH=90。,ZAEB+ZABE=90°,

，ZDEH=ZABE,

：.4ABEs丛DEH；

(2)解：根据题意得：AB=2DH,AD=2AB,

：.AD=4DH,

设Q4=x,AE=a,则AB=2r,AD=4.x,

.*.£）E=4x-tz,

△ABES/\DEH,

,ABAE

・・瓦一而‘

，二^=@,解得：工_（2+⑹。或（2-&）”,

4x-ax22

A8=（2+&）a或（2-a）a,

・/A,〉厂4E2—y/22+V2

•,tanNABE----------------k--------:

AB22

（3）解：:矩形EWPs矩形ABC。，AD=fiAB（n>l）

：.EG=nBEf

如图，当FH=BH时,

•：/BEH=NFGH=9G,BE=FG,

：.RtLBEH^RtLFGH,

：.EH=GH=-EG

2t

n

：.EH=—BE,

2

*.*AABESADEH,

.DEEHnn

一，即OE=—AB,

ABBE22

n

.・.AE=AD-DE=-AB,

2

二tanZAB£=—=-

AB2

如图，当FH=BF=”BE时,

AED

HG=ylFH2-FG2==dn'-lBE,

EH=EG-HG=[n-)BE,

'：△ABEs^DEH,

：.-=—=n-yjn2-\,DE=(n-\ln2-\)AB,

ABBE\/

•*-AE=AD-DE=，

AFI------

:.tanZ.ABE==—1；

AB

综上所述，tanNABEt的值为5或后二L

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，

勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾

股定理等知识是解题的关键.

16.(1)1；(2)-

4

【分析】(1)根据菱形的性质，结合可求得40的长.

(2)根据MO=AO-AM,BO=；BD,在®ABOM中即可求出lanNMBO的值.

解：(1)•.・ABC。是菱形，AC=4,8O=8

AE//BC,AD=BC

/XAMEsACMB

AEAMAEAM

...——=---即nn——=---------

BCMCBCAC-AM

•/AE=-AD,AD=BC

3

.AM-1

,-3

:.AM=\

(2)是菱形，AC=4,BD=8

AO=-AC=-x4=2,BO=-BD=-xS=4,NBOM=90°

2222

:.MO=AO-AM=2-\=1

在MABOM中，tanZMBO=—=-

BO4

【点拨】本题考查了菱形的基本性质，相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形,

熟练掌握菱形的性质是解题关键.

17.探究：证明见分析；操作一：56；操作二：72.

【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得AZ)〃G”,AG〃r>"，再根据平行四边形的

判定可得四边形4G”。是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；

操作一：先根据菱形的性质得出AD=FE,NO=NE,再根据三角形全等的判定定理与

性质可得=然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；

操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得A4DG是等腰三角形，且

旗平分ZDAG,再根据等腰三角形的三线合一可得ABLZJG,DN=NG=^DG,然后利

用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形OC尸G

是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得.

解：探究：•••四边形A8CO和的1G都是平行四边形

AE//GF,AB//DC,即AD//GH,AG//DH

四边形AG"。是平行四边形

又♦.•A£)=AG=5

平行四边形AG"。是菱形；

操作一：如图，设AE与DF相交于点H,AB与FG相交于点M

••・四边形ABCO和AEFG是两个完全直合的平行四边形

;.AD=FE,ND=NE,DF=AB=9

ZD=NE

在gDH和4FEH中，NAHD=/FHE

AD=FE

:.,ADH=J^EH(AAS)

：.AH=FH,SDH和/XFEH的周长相等

同理可得：*J)H三#EH三:正BM三W3M

:^ADH>AFEH、4FBM、AAGM的周长均相等

又：AD=5,DF=AB=9

“ADH的周长为=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14

则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为皿,=4x14=56

故答案为：56；

操作二：如图，设AB与DG相交于点N

••・四边形ABCD和WG是两个完全重合的平行四边形

/.AD=AG=5,CD=FG=AB=9,NBAD=ZBAG,CD//AB//FG

，△ADG是等腰三角形，且A3平分/DAG

:.AB±DG,DN=NG=-DG

2

:.CDA.DG

在HAADN中，sinZM4D=—DN=4-,即D？N=4=

AD555

解得£W=4

:.DG=2DN=8

又•：CDMFG,CD=FG

四边形。CFG是平行四边形

.CDIDG,即NC£>G=90°

二平行四边形OCFG是矩形

则四边形OCFG的面积为£>GC£>=8x9=72

故答案为：72.

【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、

矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键.

18.（1）证明见分析；（2）AO=1.

【分析】（I）由菱形的性质得出AB=AD,AC平分NBAD,再根据等腰三角形的三线

合一即可；

（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出NG=NABD,

再根据tanG=y即可求出AO的长.

解：（1）证明：•.•四边形ABCD为菱形

；.AB=AD,AC平分NBAD

,/BE=DF,

:•AB-BE=AD-DF,

二AE=AF

.♦.△AEF是等腰三角形，

：AC平分/BAD,

；.AC_LEF

（2）解：如图2所不：

图2

♦.,四边形ABCD为菱形，

；.CG〃AB,BO=|BD=2,

VEF/7BD

.••四边形EBDG为平行四边形,

AZG=ZABD,

tanZABD=tanZG=g

.A。AO1

・・tanNABD===—

BO22

AAO=1

【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的

性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

19.（1）证明见分析；（2）y.

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC,ZA=ZCBN=90°,Zl+Z2=90°,

根据垂线和三角形内角和定理得到N2+N3=90。，推出N1=N3,根据ASA推出

△ABE^ABCN；（2）tanZABE=—,根据已知求出AE与AB的关系即可求得tanNABE.

AB

解：（1）证明：如图,

•四边形A8C。为正方形

:.AB=BC,ZA=NCBN=9Q°,/l+N2=90°

•;CM工BE,.-.Z2+Z3=90°,Z1=Z3

'NA=NCBN

在AABE和ABC7V中，AB=BC

N1=N3

：.^ABE^ABCN(ASA)；

(2)•.•N为AB中点，

BN=-AB

2

又，；/\ABE=\BCN,

AE=BN=-AB

2

AEAE1

在中,tanNABE==

RtAABE~AB2AE~2

【点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理、垂线、全等三角形的性质

和判定以及锐角三角函数等知识点的掌握和理解，证出△ABE^ABCN是解此题的关键.

9

20.(1)证明见分析；(2)—.

【分析】(1)根据辅助线的性质得到ZADC=ZABC=90°,由邻补角的定义得

到NAO尸=/A8E=90。，于是得到结论;

(2)过点4作于点4，根据勾股定理得到EO=7CD2+CE2=5,

i9i9

根据三角形的面积•VIEZMjADxBA),SAADE=-^-EDXAH=-,求得47=1.8,由三角函数

22