山东省莱州市2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题

Page9山东省莱州市2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1．经过点两点的直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．C．或D．l与斜交3．直线恒过肯定点，则该定点的坐标（）A．B．C．D．4．已知空间直角坐标系中的点，则点P到直线的距离为（）A．B．C．D．5．若正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为（）A．1B．C．D．6．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A．B．C．D．7．如图，锐二面角的棱上有A，B两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则锐二面角的平面角的余弦值是（）A．B．C．D．8．在棱长为1的正四面体中，点M满意，点N满意，当最短时，（）A．B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）9．已知直线和直线垂直，则（）A．B．1C．2D．10．给出下列说法，其中正确的有（）A．空间随意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C．A，B，M，N是空间四点若不能构成空间的一个基底那么A，B，M，N共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底11．下列说法正确的是（）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．直线关于x轴对称的直线方程为直线C．过两点的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点M在线段上，交于点E，则下列结论正确的是（）A．若平面，则M为的中点B．若M为的中点，则三棱锥的体积为C．平面与平面的夹角为D．若，则直线与平面所成角的正弦值为第Ⅱ卷三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，）13．若直线和直线平行，则___________．14．直线不经过第四象限，则k的取值范围是___________．15．已知向量，点．在直线上，存在一点E，使得，则点E的坐标为___________．16．在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是___________．四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知三个顶点坐标为．（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．18．（本小题满分12分）如图，一块矿石晶体的形态为四棱柱，底面是正方形，，且．（1）设，试用表示；（2）已知O为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长．19．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱中，己知，E、F分别为上的点，且．（1）求证：平面；（2）求点E到平面的距离．20．（本小题满分12分）如图，四棱推中，底面为矩形，平面，E是的中点，过作平面交平面于．（1）证明：F是的中点；（2）设平面与平面的夹角，求三棱锥的体积．21．（本小题满分12分）如图1，在等边中，点D、E分别为边上的动点且满意，记．将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点．（1）当平面时，求的值；（2）摸索究：随着值的变更，平面与平面的夹角大小是否变更？假如变更，恳求出实数与两平面夹角的正弦值的函数关系；假如不变更，恳求出平面与平面的夹角正弦值大小．22．（本小题满分12分）如图，在中，．O为的外心，平面，且．（1）求证：平面；（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值．2024级高二第一次质量检测答案一、DCADBCBA二、BCACDABABD三、13．314．15．16．四、17．解：（1）由，得中点D的坐标为，所以的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即．（2）由，得所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即．18．解：（1）由，得，所以．（2）O为四棱柱的中心，即O为线段的中点．由已知条件得．（1）将，则．所以的长为，所以的长为．19．解：（1）证明：以D为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则．∴∵，∴，且．∴平面．（2）由（1）知，为平面的一个法向量，∴点E到平面的距离．故点E到平面的距离为．（注：几何法相应给分）20．解：（1）证明：∵四棱锥中，底面为矩形，∴，∵平面平面，∴平面，∵过作平面交平面于，∴平面，且，∴，∵E是的中点，∴F是的中点；（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得，∵平面与平面的夹角∴，由，解得，∴，，E到平面的距离，∴三棱锥的体积．21．解（1）取的中点为P，连接，因为，所以，又，所以，即N，E，D，P四点共面，又面面，平面平面，所以，即为平行四边形，所以，且，即，即．（2）解：取的中点O，由平面平面，且，所以平面，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以．设平面的法向量为，则令，即，又平面的法向量．所以．即随着值的变更，平面与平面的夹角大小不变．且所以平面与平面的夹角正弦值为．22．（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，，所以，所以故和都为等边三角形，即四边形为菱形，所以又平面平面，所以平面．