高三数学总复习课时提升练测试卷31

课时提升练(二十九)等比数列及其前n项和一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【解析】设等比数列的公比为q，因为eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.【答案】D2．(2013·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】A3．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】n∈N*时，an，an＋1，an＋2成等比数列，则aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例．如数列为1,0,0,0，…，应选A.【答案】A4．在等比数列中，已知a1aeq\o\al(3,8)a15＝243，则eq\f(a\o\al(3,9),a11)的值为()A．3B．9C．27D．81【解析】设数列{an}的公比为q，∵a1·a15＝aeq\o\al(2,8)，∴a1aeq\o\al(3,8)a15＝aeq\o\al(5,8)＝243，∴a8＝3.∴eq\f(a\o\al(3,9),a11)＝eq\f(a\o\al(3,8)q3,a8q3)＝aeq\o\al(2,8)＝9.【答案】B5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3S3＝a4－2，,3S2＝a3－2，))得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，∴q＝eq\f(a4,a3)＝4.【答案】B6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为()A．12B．14C．15D．16【解析】∵a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4.∴q4＝2，又∵S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，∴a1＝q－1，又∵Sn＝15，即eq\f(a11－qn,1－q)＝15，∴qn＝16，而q4＝2，∴n＝16.【答案】D二、填空题7．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6【解析】因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×2【答案】48．在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则B的取值范围是________．【解析】因为sinA，sinB，sinC依次成等比数数列，所以sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)≥eq\f(2ac,2ac)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以0＜B≤eq\f(π,3)，即B的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))9．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.【解析】由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，得lgxn＋1－lgxn＝1，∴eq\f(xn＋1,xn)＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.【答案】100三、解答题10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【解】(1)∵S1＝a1＝1，且数列{sn}是以2为公比的等比数列．∴Sn＝2n－1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－2，n≥2.))(2)由(1)知，a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列．∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝eq\f(21－4n,1－4)＝eq\f(24n－1,3)∴a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝1＋eq\f(24n－1,3)＝eq\f(22n＋1＋1,3).11．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)，数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和；(2)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．【解】(1)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴q＝a，从而an＝an－1，所以bn＝an·an＋1＝a2n－1，∴{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列，当a＝1时，Sn＝n，当a≠1时，Sn＝eq\f(a1－a2n,1－a2)＝eq\f(a2n＋1－a,a2－1).(2)数列{an}不能是等比数列．∵bn＝anan＋1，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2,an)，依题设eq\f(an＋2,an)＝a－1，则a3＝a1(a－1)＝a－1.假设{an}是等比数列，则aeq\o\al(2,2)＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程无实根．从而数列{an}不能为等比数列．12．(2014·南京模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【解】(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)得，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)，将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1－qn－1,1－q)，q≠1，,n，q＝1.))上式对n＝1显然成立．(3)由(2)得，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－eq\r(3,2).另一方面，an－an＋3＝eq\f(qn＋2－qn－1,1－q)＝eq\f(qn－1,1－q)(q3－1)，an＋6－an＝eq\f(qn－1－qn＋5,1－q)＝eq\f(qn－1,1－q)(1－q6)．由①可得an－an＋3＝a