重庆市主城区七校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市主城区七校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，解得.故选：C.2.已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：D.3.某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：，则这组数据的第80百分位数为（）A.91 B.92 C.93 D.94〖答案〗D〖解析〗将比分从小到大排序可得：，，即这组数据的第80百分位数为.故选：D.4.据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字表示投进，数字表示投不进，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由题意知，20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据为：925，683，257，394，537，908共6个，

由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为.

故选：B．5.已知平面、，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A选项，若，，过直线作平面，使得，，因为，，，则，因为，，，则，，，，，，则或、异面，A错；对于B选项，若，，则，，故，B对；对于C选项，若，，，则，因为，则或，C错；对于D选项，若，，则或、相交（不一定垂直），D错.故选：B.6.已知向量，且在上的投影为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以在上的投影为，可得，则.故选：B.7.已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示.若，则该直四棱柱的体积为（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由直观图可得底面四边形的平面图形，如图所示，因为，可得，所以，所以四边形的面积为，又由直四棱柱的高为，即，所以该直四棱柱的体积为.故选：C.8.如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，，，则移动瞄准过程中的最大值为（）（仰角为直线与平面所成角）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，则由仰角的定义得，由题意，设，则，当点与不重合时，在中，，当点与重合时，上式也成立，中，，当时，取最大值，综上，的最大值为.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题为真命题的是（）A.若为共扼复数，则为实数B.若i为虚数单位，为正整数，则C.复数在复平面内对应的点在第三象限D.若复数满足，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，若为共扼复数，则，故，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在复平面内对应的点为，在第三象限，故C正确；对于D，不能得到，比如，但是，故D错误.故选：AC.10.在中，分别为角的对边，下列叙述正确的是（）A.B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则为钝角三角形〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，做中边上的高，则，同理在直角三角形和钝角三角形中也可证，所以A正确；对于B中，由，可得，即，因为，可得或，即或，所以为等腰或直角三角形，所以B不正确；对于C中，由为锐角三角形，可得，则，因为，可得，又函数在上为单调递增函数，所以，所以C正确；对于D中，因为，由，可得中一定有一个小于0成立，不妨设，可得，所以为钝角三角形，所以D正确.故选：ACD.11.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.与互斥 B.C. D.与相互独立〖答案〗BCD〖解析〗先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示：第二次第一次123456123456共有种，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误；“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数”，，故B正确；表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种：，故C正确；事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；，事件“两次掷出的点数相同”共6种：，表示事件“两次为相同的偶数”共3种：，即，与相互独立，故D正确.故选：BCD.12.如图，在矩形中，，，为的中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（）A.平面B.三棱锥的体积为C.直线与直线所成角的余弦值为D.三棱锥外接球的半径为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，翻折前，有，，翻折后，在三棱锥中，则有，，因为，、平面，因此，平面，A对；对于B选项，翻折前，，，则，同理可得，又因为，故是边长为的等边三角形，在三棱锥中，，，，取线段的中点，连接，则，且，所以，，又因为平面，所以，，B错；对于C选项，分别取线段、的中点、，连接、、、，因为、分别为、的中点，则且，同理可知，且，所以，异面直线与所成角为或其补角，因为平面，平面，则，因为，，则，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为，C对；对于D选项，如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且，本题中，，的外接圆的直径为，因为平面，可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：所以，三棱锥的外接球半径为，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.）13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.〖答案〗1800〖解析〗，故该校高中学生总数是1800人.故〖答案〗为：1800.14.在中，，点为外接圆的圆心，则________.〖答案〗14〖解析〗因为在中，，点为外接圆的圆心，所以点为边的中点，由平面向量的线性运算得，，所以.故〖答案〗为：14.15.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式）（其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为________.〖答案〗〖解析〗如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为，上底面截面小圆上一点，连接，因为球的表面积为，解得，所以，又因为且，所以截面小圆半径，根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：.故〖答案〗为：.16.锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理，，，得，代入，得，所以，即，因为，所以或（舍去），所以，因为是锐角三角形，所以，解得，因为，且，即，利用辅助角公式可得，，其中，因为，要使存在最大值，只需存在，使，，所以，因为，所以，解得，所以的取值范围.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，.（1）求频率分布直方图中值.（2）利用频率分布直方图估计样本的平均数.（每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表）解：（1）由频率分布直方图可知，解得.（2）样本的平均数约为.18.已知的角的对边分别为，且.（1）求A；（2）若的面积为，且，求.（请在①；②这两个条件中选择一个完成解答.）解：（1）由，可得，由，可得.（2）选择①：，可得，即，因为，所以，所以，即，此时，即为直角三角形，，，所以，，所以，解得，所以.选条件②：，由的面积为可得：，解得：，由余弦定理得：，解得：．19.如图，在直三棱柱中，，为的中点.（1）证明：平面；（2）过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由，并求截面周长.解：（1）证明：连接，设，连接，如图所示，因为是的中点，是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）作图过程：取的中点，连接，则四边形即为截面图形，证明如下：因为是的中点，是的中点，所以，又因为，所以，所以四点共面，所以四边形即为截面图形，此时四边形为等腰梯形，直三棱柱中，，可得，所以四边形的周长为.20.如图，在中，分别为中点，为与的交点，点在上，且.设.（1）求的值；（2）若，求的值.姐：（1）因为分别为的中点，则，，因为三点共线，故可设，又因为，由平面向量基本定理，可得，解得.（2）因为分别为的中点，所以，所以相似于，由（1）知，所以，所以，由，可得，所以，故，所以，因为，21.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.求直线和平面所成角的正弦值.解：（1）由题又为中点，，，又，四边形为矩形，则又为正三角形，为中点，，又，平面则平面又，平面又平面平面平面.（2）由（1）知平面平面，平面平面，过点作，交于则平