专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题01特殊平行四边形的三种几何变换问题类型一、翻折问题例1．（几何翻折）实践操作在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．初步思考（1）若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，；当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．深入探究（2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值．拓展延伸（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．例2．（与函数结合）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．(1)求点A的坐标；(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．①求的长；②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．【变式训练1】综合与实践动手操作：第一步：如图①，将矩形纸片沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为、，如图②；第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线与直线重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为、，如图③；第三步：在图③的基础上继续折叠，使与重合，得到图④，展开铺平，连接，交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．问题解决：(1)在图⑤中，的度数是；(2)在图⑤中，请判断四边形的形状，并说明理由；(3)试判断线段与的数量关系，并证明；(4)若，则的长是．（提示：）【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中的度数：______；(2)拓展应用小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由；(3)迁移探究如图3，已知正方形的边长为6cm，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长．【变式训练3】综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接．根据以上操作，请判断图1中是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．①如图2，当点M在上时，______，______；②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．类型二、旋转问题例1．（线段旋转）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______；【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．①线段与的数量关系是_____________________．②若，是的三等分点，则的面积为____________________．例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．类型三、平移问题例1．（线段的平移）已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．(1)如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且；(2)如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接．①依题意将图2补全；②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．例2．（图形的平移）平行四边形中，于，且．(1)如图1，若，求平行四边形的面积．(2)如图2，连接，过A作交于，在上截取，连接，点为中点，连接，求证：．(3)如图3，连接，把沿直线方向平移，得到，若，，请直接写出平移过程中的最小值．【变式训练1】（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．【变式训练2】已知：如图①，在矩形中，，垂足是.点是点关于的对称点，连接．

（1）求和的长；（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为(平移距离指点沿方向所经过的线段长度)．当点分别平移到线段上时，直接写出相应的的值．（3）如图②，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点．是否存在这样的两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．课后训练1．(1)操作判断如图1，在中，，，点E在上（且不与点A、C重合）在的外部作，使，，连接，过点B作，过点D作，交于点F，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是；三角形的形状是；(2)迁移探究明明同学所在的“认真•坚持”学习小组“异想天开”，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E落在线段上时，请你：①求证：四边形的是矩形；②连接若，求的长；(3)拓展应用亮亮同学所在的“感恩•责任”学习小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，能使四边形为菱形，若，请你直接写出线段的长．2.已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．(1)如图1，求证：；(2)直线与相交于点G．①如图2，于点M，于点N，在旋转的过程中，的大小是否发生变化，请说明理由．②如图3，连接BG，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．3．【发现与