高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 22(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（22）

一、单项选择题（本大题共3小题，共15.0分）

1.己知四棱锥P底面ABCC为矩形，侧面PC。1平面A8CQ，BC=2痘,CD=PC=PD=

2V6,若点M为PC的中点，则下列说法正确的个数为（）

（1）PC1平面AOM（2）四棱锥M-4BCD的体积为12

⑶3A/〃平面PAD（4）四棱锥M—力BCD外接球的表面积为367r

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在边长为4的正三角形A8C中，E为边AB的中点，过E作ED_L4C于。.把AADE沿。E

翻折至△&DE的位置，连结&C.翻折过程中，有下列三个结论：

①DEL&C；②存在某个位置，使.由ELBE；

③若不=2两，则防的长是定值.

其中所有正确结论的编号是

A.①②

3.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截

面.如图，在棱长为1的正方体4BCD-AiBiGDi中，点E,F分别

是棱BiB,BiG的中点，点G是棱CCi的中点，则该正方体过AG且

平行于平面4EF的截面的面积为（）

A.1

D.V2

二、多项选择题（本大题共17小题，共68.0分）

4..在直三棱柱4BC-4B1G中，^ABC=90°,AB=BC=2,=2,

M是BC的中点，N是41cl的中点，点P在线段/N上，点。在线段AM

上，且4Q=|4M，S是4cl与&C的交点，若PS〃面8通“，贝女）

A.PS"B[Q

B.P为&N的中点

C.AC1PS

D.三棱锥P—B14M的体积为|

5.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。上，AB=BC=AC=1,NAPC=士平面PAC1平面

ABC,则（）

A.直线OA与直线BC垂直

B.P到平面ABC的距离的最大值为山

2

C.球O的表面积为等

D.三棱锥0-4BC的体积为:

6.已知三棱锥P-4BC的四个顶点都在球。上，AB=BC=AC=1,4PC=£,平面PAC_L平面

ABC,贝女）

A.直线OA与直线BC垂直

B.P到平面4BC的距离的最大值为止更

2

C.球O的表面积为等

D.三棱锥0-4BC的体积为:

O

7.如图，正方体ABC。-&为6。1的棱长为1,线段当以上有两个动点及巴

且EF=1,则下列说法中正确的是（）

A.存在点E,F,使得4E〃8F

B.异面直线EF与6。所成的角为60°

C.三棱锥B-AEF的体积为定值四

12

D.4到平面AEF的距离为日

8.如图，在正方体ABCD-&B1C1D1中，点P在线段BQ上运动，则

下列判断中正确的是（）

A.平面PB]D，平面AC/

B.&P〃平面4C£）i

C.异面直线4P与AD1所成角的取值范围是

D.三棱锥必-4PC的体积不变

9.在正方体4BC0-&当的。1中，E是棱CG上一点，且二面角C-4B-E的正切值为心，则（）

2

A.异面直线AE与BC所成角的余弦值为巫

5

B.当到平面ABE的距离是C到平面ABE的距离的a倍

C.直线BE与平面BDDiBi所成角的大小等于二面角C—48—E的大小

D.在棱AB上一定存在一点F,使得C,F//平面BDE

10.如图，在平行四边形48C。中，ABAD=60°,AB=2AD,E为边AB的中点，将图4DE沿直线

OE翻折成△4。“，若M为线段4。的中点，则在团4DE翻折的过程中，下列说法正确的是（）

A.异面直线DE与4c所成的角可以为90"

B.二面角。一4后一。可以为90"

C.直线MB与平面所成的角为定值

D.线段的长为定值

11..如图，正方体48。。一4$母1。1的棱长为1,线段aDi上有两个动点/~~^7\'

E.F,且EF=1,则下列说法中正确的是（）“'件

A.存在点E,尸使得\

B.异面直线EF与G。所成的角为60°匕，'；£/

D.4

C.三棱锥B-4EF的体积为定值立

12

D.必到平面AE尸的距离为攻

3

中心G,H,M,N,E,F将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（）

A.EH〃平面FMN

B.EM与平面GHMN所成角为?

C.平面FMN1平面FGH

D,平面FHM〃平面EGN

13.如图，棱长为1的正方体48。。-4当。1%中，P为线段上的

动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A.直线DiP与AC所成的角可能是%

B.平面。1&P平面414P

C.三棱锥5-CDP的体积为定值

D.平面4PD1截正方体所得的截面可能是直角三角形

14.已知边长为2的等边Z1ABC,点Q、E分别是边AC、AB上的点，满足DE〃BC且兼=犯G（0,1）,

将I34OE沿直线DE折到440E的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）

A.在边AE上存在点F,使得在翻折过程中，满足BF〃平面ACD

B.存在;le（0,使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC_L平面8CDE

C.若，=点当二面角&一OE-B等于60。时，|A'B|=?

D.在翻折过程中，四棱锥4-BCDE积的最大值记为f（QJQ）的最大值为等

15.如图，在边长为1的正方体4BCD—aB1GD1中，点P在线段BG上运动，则下列判断正确的是

A.平面PBiD1平面AC。1

B.41P〃平面AC。1

C.异面直线4P与所成角的取值范围是（o,§

D.三棱锥Z?i-4PC的体积不变

16.如图，在棱长为1的正方体ZBCD-41当的。1中，P为棱CCi上的动点

（点P不与点C,G重合），过点P作平面a分别与棱8C,CD交于M,

N两点，若CP=CM=CN,则下列说法正确的是（）

A.&C平面a

B.存在点P,使得AC1〃平面a

C.存在点P,使得点①到平面a的距离为|

D.用过P,M,%三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

17.在六棱锥。-4BCDEF中，底面ABCCEF为正六边形，顶点。在底面的

射影恰为正六边形的中心，记04与BC、C。所成角分别为的,戊2,0A

与平面08C、平面。8所成角分别为仇,伤，则下列结论一定正确的是

（）

A.tana2=2tanai

B.%+a2Z优+的

C.sin/?2=2sin0i

D.

18..如图，正方体4BC0-的棱长为1,线段为劣上有两个动点

E.F,且EF=1,则下列说法中正确的是（）

A.存在点E,尸使得

B.异面直线EF与所成的角为60°

C.三棱锥B-4EF的体积为定值四

12

D.4到平面AE厂的距离为日

19.1如图，在四棱锥尸一4BC0中，PCIjRffiABCD,四边形ABC。是直角

梯形，AB11CD,AB1AD,AB=2AD=2CD=2,尸是AB的中点，E//

是尸8上的一点，则下列说法正确的是（）

A.若PB=2PE,则EF〃平面PAC

B.若PB=2PE,则四棱锥P—ABC。的体积是三棱锥E-4CB体积的6倍

C.三棱锥P-4CC中有且只有三个面是直角三角形

D.平面BCP1平面ACE

20.我国古代仇章算术少中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童4BCD-

EFGH有外接球，且4B=5,AD=V7.EF=4,EH=2,平面ABCD与平面EFG”的距离为

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角5-4。一”的余弦值为更

5

三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

21.已知正方体4BC0-的棱长为。，点E,F,G分别为棱AB,

A①,GA的中点.下列结论中，正确结论的序号是.

①当以〃平面EFG；

②BDi1平面ACBj

③异面直线E5与25所成角的正切值为当；

④四面体力CB1%的体积等于

⑤过E,F,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形.

四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）

22.如图，梯形A8CZ）中，AB//DC,AB=4,AD=DC=CB=2,将/BCD沿8。折到4BC'。的位

置，使得平面BC'DJ_平面ABCD.

(I)求证：AD1BC-,

(n)求二面角B-AC-。的余弦值.

23.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论；

(2)已知正方体棱长为2,P是E尸的中点，在正方体中，过点E作与面P8G平行的截面，求此

截面的面积.

24.如图，在三棱锥P—4BC中，AB=BC=五,PA=PB=PC=AC=2.

(1)证明：平面P4C_L平面ABC；

(2)若点M在棱8C上，且PC与平面PAM所成角的正弦值为乎，求8M.

25.在如图所示的圆柱。1。2中，48为圆3的直径，C、。是配的两个三等分点，EA、FC、GB都是

圆柱01。2的母线.

(1)求证：F。"/平面ADE；

(2)设BC=1,已知直线AF与平面ACB所成的角为30。，求二角面A-FB-C的余弦值.

26.如图，四棱锥P-ABCD的底面4BCD为直角梯形，AD//BC,且BC=^40=l,BC1DC,

ABAD=60",平面PADJ•底面ABCQ,E为A£＞的中点，△PA。为等边三角形，M是棱尸C上的

一点，设斤=k(M与C不重合).

(1)若P4〃平面BME,求k的值；

(2)当k=3时，求二面角M—BE-C的大小.

27.已知四棱锥P-ABC。，BC=CD=^DA,BC//AD,LADC=90°,P在底面ABC。上的射影是

(I)求证：直线BD1平面尸OC：

(口)若8。=1,M、N分别为PO和8的中点，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值;

(HI)当四棱锥P-力BCD的体积最大时，求二面角B-PC-。的大小.

28.如图，己知在三棱锥4-BCD中，BC=CD=1,BCLCD,AB=AD,CBLAB,二面角

4-BD—C的大小为120。，E为线段AC上的动点，尸为4BCD的重心.

(I)证明：EF1BD-,

(11)若芯/7/平面ABD,求直线E尸与平面ABC所成角的正弦值.

29.如图，△4BC的外接圆的半径为百，CDABC,BE//CD,CD=4,BC=2,且BE=1,

(1)求证：平面ADC1平面BCDE.

(2)线段。E上是否存在点M,使得直线AM与平面ACO所成角的正弦值为“若存在，确定点

M的位置；若不存在，请说明理由.

30.如图，在三棱锥A-BCO中，侧面ABD,ACO是全等的直角三角形，4。是公共的斜边，且

AD=®BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形.

(1)求二面角4-BC-。的余弦值;

(2)求三棱锥4-BCD的体积.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，线面平行的判断，四棱锥的体积求法，以及四棱锥的外

接球的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力与数学运算能力.

作出图象，根据相关知识即可判断各命题的真假.

解：作出图象，如图所示：

对于(1),因为侧面尸平面力8。力，而底面4BCO为矩形，

所以401平面PC。，即有

而。。=/>。=2。，点用为尸。的中点，所以。MlPC.

因为ADnDM=D.AD.DMu平面ADM，

所以PCJL平面力OM,(1)正确；

对于(2),因为侧面PC。1平面/BCD，CD=PC=PD=276>

所以点P到平面/8CO的距离为2#sin60"=3上-

而点M为尸。的中点，所以点p到平面ABCD的距离为迪，

2

故四棱锥M-ABCD的体积为lx—X2V6x2=12，(2)正确;

32

对于(3),取尸。中点N，连接A/N，所以MN//DC，且MN=LDC，

2

而。C=48,故MN"AB,且MN=：AB,

因此四边形48MM为梯形，所以8M与4N的延长线交于一点，

故直线与平面口。相交，所以(3)不正确；

对于(4),根据四棱锥〃-/BCD的侧面COM为直角三角形，底面/3CD为矩形，结合球的几何

特征可知，四棱锥的外接球的球心在过底面48。。的外心O且与底面垂直的直线上,

同样，四棱链必-45CQ的外接球的球心在过侧面COM的外心(。。的中点)且与侧面COM垂直

的直线上，

所以四棱锥M-/3CQ的外接球的球心即是底面48CD的外心O，

外接球半径为。力=■(2研+Q可=3,

故四棱锥必-48。。外接球的表面积为36乃，(4)正确.

故选C.

2.答案：B

解析：

本题考查空间中线面的位置关系、长度的计算等，熟练运用空间中线面平行或垂直的判定定理与性

质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题.

①因为EC，4C,所以ED_LCD,EDlA^,由线面垂直的判定定理可知，ED_L平面&CD,所以

EDIXjC；

②设必在平面8CQ上的投影为点P,则点尸落在线段AC上，若&ELBE,由线面垂直的判定定理

和性质知，PELBE,此时点尸与点C重合，而&在平面88上的投影点不可能与点C重合；

③在CD上取一点M,使得函=2而，连接BM,易得BM14C,BM=2遮，ArD=AD=1,

MF=|40=I，因为ED1AC,所以BM//DE,结合①中的ED_L平面&CD,可得1平面4。。，

所以即ABM尸为直角三角形，再在RtABMF中，由勾股定理，有BF=倔庐47必

J(2对+$=字

解：©VED1AC,■■■EDLCD,ED1AXD,

又CDnAiO=D,CD、&Du平面&CD,EO1平面&CD,

•.•力4<=平面4以)，；4014道，即①正确；

②设义在平面8CO上的投影为点P,则点P落在线段AC上，

若4E1BE,因为AiP,平面BCD,BEU平面BCD

所以41PJ.BE>又|ECA|P=>11..4)£?..4(PC平面4iEP,

所以BE1AXEP,又PEuAXEP,

所以PEIBE,此时点尸与点C重合，

而&在平面BCD上的投影点不可能与点C重合，即②错误；

③如图所示，在CO上取一点M,使得前=2而，连接

•••4C=CM+MD+4D=3x+l=4,x=1,CM=2,即M为AC的中点，,BM1AC,且

BM=2V3.

vED1AC,ABM11DE,

由①可知，ED1平面&CC,BM_L平面力［CD,

•••MFu平面4CD,BM1MF,即A8MF为直角三角形,

•••E为边AB的中点，且EDIAC,.--AE=2,AXD=AD=AE-cos600=1,

•••丽=2两，且MF=|&0=|,

在RtABM/7中，BF=y/BM2+MF2=J(2⑸?+(gj=竽,为定值，即③正确.

故选反

3.答案：B

解析:

本题考查了几何体截面问题，属于简单题.

先通过BC的中点得到三角形AHG,再补全截面得到等腰梯形，求解比较容易.

解：取BC的中点“，作如图连接,

易证平面4HGC1〃平面&EF,

等腰梯形4HGD1的上下底分别为争企,

腰长为匹，

2

求得梯形的高为芯,

4

进而求得梯形面积为3

故选：B.

4.答案：ACD

解析:

此题以直三棱柱为载体，考查线面平行的性质，线面垂直的判断及性质，三棱锥体积的计算，属于

中档题；解题时首先熟知直三棱柱中的线面关系，4通过辅助线为PS找一个平面，利用线面平行的

性质，得到线线平行；B.通过证明Rt回PNSsRt团QB/,得到对应边的关系，即可求解；C.通过证

明4cl面B&NG,由线面垂直得到线线垂直；D.利用等积法求解即可.

解析：

解：对于选项A：连接NS交AC于G点，连接8G,

则由力B=BC,4Q=|AM,可得BG必过点Q,

SLBQ=-BG,因为PSC^BBING,

PS//面AM%,面AMS1n而BBiNG=BiQ,所以PS//B1Q,A正确；

对于选项B：,:PS〃B\Q,：,乙NPS=LNBiQ=ABiQB,

PNNS1

•••Rt团PNSsRt回QBBI,；♦而=嬴=

即PN='Q=，|BG=：B]N,二P为靠近N的三等分点，8错误；

对于选项C：-AC1NG,AC1BG,

且NGu面BB[NG,BGu面BB^NG,

NGCBG=G,

AC1面B&NG,又PSu而BB、NG

AC1PS,C正确；

对于选项。：・•・BiP〃BQ,且&P=BQ,BB】PQ是矩形,

Vp-AB1M=VB-ABXM—^BI-ABM=1,2-1-2-l=|,D正确.

故选ACD

5.答案：ACD

解析:

本题考查三棱锥外接球相关问题，考查线面垂直、面面垂直等众多知识，综合性比较强，属于较难

题.

求解本题的关键：（1）根据正弦定理求出APAC的外接圆半径；（2）利用球半径、截面圆半径、球心到

截面的距离之间的关系求三棱锥的外接球半径.

解：设团ABC外接圆的圆心为01，连接。0「。通，因为。为外接球的球心，所以。01，平面ABC,

所以。。11BC.因为AB=BC=AC=1,所以。遇1BC,00rn0rA=。「所以BC_L平面0。遇，所

以。A1BC,故4正确；

设APAC外接圆的圆心为。2,4C的中点为。，连接。2。，由于47=1,乙4PC=‘，所以圆。2的半

径「2=:义靠=1,则易知02。=（，所以点P到AC的距离的最大值为1+手（此时尸，02,D三

点共线），故B错误；

由于AB=BC=AC=1,所以圆。1的半径6=[x橐=?.

13

连接。1D,则0]0=型，且01DJL4C,

6

由于平面P4CJ■平面ABC,平面尸4CCI平面4BC=AC,所以。/_L平面PAC.

连接。。2，则。。2，平面PAC,所以四边形。。1。。2是矩形，于是0。2=0^=--

6

222

连接。24在直角三角形0。24中,0A=001+O2A=(―)+I=1|>

故球。的表面积S=47rx||=等，故C正确;

由于。01，平面A8C,且00]=02。=[ISAHBC=T，所以三棱锥。一力BC的体积为

iXOOjXSAABC=ix—X—=i)所以力正确.

33248

故选择ACD.

6.答案：ACD

解析：

【试题解析】

本题考查三棱锥外接球相关问题，考查线面垂直、面面垂直等众多知识，综合性比较强，属于较难

题.

求解本题的关键：（1）根据正弦定理求出APAC的外接圆半径；（2）利用球半径、截面圆半径、球心到

截面的距离之间的关系求三棱锥的外接球半径.

解：设回ABC外接圆的圆心为。1，连接。0「014,因为。为外接球的球心，所以。Oil平面ABC,

所以。。1_LBC.因为AB=BC=4C=1,所以。通_LBC,所以BCJ•平面。0遇，所以。4_LBC,故A

正确；

设△P4C外接圆的圆心为。2,AC的中点为。，连接。2。，由于4C=L〃PC=a所以圆G的半

径上=9义靠=1,则易知所以点P到AC的距离的最大值为1+/（此时尸，02,。三

点共线），故8错误；

由于4B=BC=AC=1,所以圆。1的半径=|x

13

连接0道，则0]0=4，且O1D_LAC,

6

由于平面PACJ■平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,所以。[£>1•平面PAC.

连接。。2，则0。21平面PAC,所以四边形。。1。。2是矩形，于是。。2=。1。=心.

连接。2人在直角三角形OGA中，。炉=00/+。2炉=（/j+12="，

故球。的表面积S=4TTX£=等，故C正确；

由于。。11平面48C,且。。1=。2。=手，S-BC=T，所以三棱锥。一ABC的体积为

-X00.XS.ABC=ix—X—=i.所以力正确.

31△，以3248

故选择ACD

7.答案：BCD

解析:

本题以正方体为载体，考查了空间中的平行关系、空间角、距离和体积问题，考查转化与化归的思

想，是中档偏难题.

由异面直线的判定判断A；异面直线E尸与GO所成的角即为当名与前。所成的角，据此可判断8；

由「檀稚6「，,孤」8，”可计算体积，判断C；将&到平面AEF的距离转化为A到平面

的距离，利用等体积法可求距离，判断D

解：如图所示，AB与当名为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；

异面直线E尸与所成的角即为当名与所成的角，由正方体可得所

以四边形4DGB1为平行四边形，所以DCJ/ABi，所以与口。所成的角即为劣为与所成的角，

连接ADi，ZBi，易得三角形48/1是正三角形,44当。1=60。，即异面直线EF与[D所成的角为60。，

故8正确；

连结8。交AC于O,因为ABCD为正方形，所以4。1BD,又因为B为1^ABCD，AOu廓BCD,所以

BBr1AO,又由BBiCBD于点B,80均在平面BO。/1内，所以4。J.商8EF,则AO为三棱锥

4-BEF的高，40=多易知：幽1EF,则，BEF=[x1x1=%所以

咚拗18-AEF=咚却M-BEF=：X；X等=第»为定值，故C正确；

久到平面4E尸的距离即4到平面力Bi。1的距离，SAg%=枭/=争设4到平面AEF的距离

为/?,又由441J.威418/1可得：V「WM.i得:XSAABHIxh=[XSAAI8IDIx

AZ]»

B|jlX^X/l=ixixlXlXl，解得力=立，故。正确.

32323

故选BCD.

且Bi

DA

8.答案：ABD

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结。8,容易证明OB】上平面AC%,从而可以证明面面垂直；连接&B,&G容易证明平面B41cJ/

平面从而由线面平行的定义可得；分析出41P与4历所成角的范围，从而可以判断真假

；VD1-APC=VP-AD1C>尸到平面4。住的距离不变，且三角形4/C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于A,连结。8,因为正方体中，BBil平面ABC。，AC在平面ABC。内，所以BaIAC,

又因为DB1AC,£>8,BBi为平面内两条相交直线，所以AC_L平面DB/,因为DB】在平面DBB1内,

所以同理可得DBi1401，4劣、AC为平面4。劣内两条相交直线，可得。&_L平面AC/,

OB1在平面PBi。内，从而平面PBi。J"平面AC。1，A正确；

对于B,连接aB,4G，4G//力C,4cl不在平面ACDi内，AC在平面AC。1内，所以4G〃平面ZC。1，

同理Bq〃平面AC%,又力iQ、BQ为平面BAG内两条相交直线，所以平面B&G〃平面AC。1,&P在

平面B&G内，所以&P〃平面AC%,故3正确：

对于C,4P与4劣所成角即为41P与的所成角，=BG=力心，当P与线段BC1的两端点重

合时，4P与力为所成角取最小值会当P与线段Bq的中点重合时，&P与AC1所成角取最大值》故

A】P与所成角的范围是K用，故C不正确；

对于。，由选项8得BG〃平面4D1C,故BCi上任意一点到平面ADiC的距离均相等，所以以P为

顶点，平面为底面，则三棱锥P—AD］。为的体积不变，又力LAPC="T%C，所以三棱锥

5-APC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

9.答案：BCD

解析：

本题考查点、直线、平面的位置关系，重点考查异面直线所成的角，点到面的距离，二面角以及线

面平行，属于较难试题，根据异面直线所成的角，线面角，点到面的距离，二面角以及线面平行等

知识，逐一判断即可。

D；

如图，设BC=2,易知二面角C-4B—E的平面角为NCBE,

则tan/CBE=丝=型，即CE=迎因为，1。〃2?「，所以异面直线4E与BC所成角为4n4E,因为

BC2

ADIDE,所以cosNZME="=二=也，A错误；

AE7105

设B】CnBE=M,则翳=智=唬=传所以2到平面4BE的距离是C到平面ABE的距离的近

倍，故B正确；

因为CE〃平面BO/B,所以E到平面BCD/］的距离等于C到平面BODiBi的距离，而C到平面

80。1当的距离为CO=V2,所以直线BE与平面80。避1所成角的正弦值为也=兰=与则其正切

值为总，所以直线BE与平面8。。］/所成角的大小等于二面角C-AB-E的大小，故C正确：

2

在AC上找一点G,使得CG〃EO,过G再作8。的平行线交AB于F,且C】GnGF=G,

DO//EOO,所以平面CGF〃平面BOE,从而可知QF〃平面故力正确.

故选：BCD

10洛案：BCD

解析：

本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平

行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，属于较难题目.

根据翻折前后不变的数量关系和位置关系，对各选项逐项推理计算判断即可得到答案.

解：对于4,由题意知△ADE为正三角形，即△&DE为正三角形，假设存在某个位置，使。EJL&C,

设48=24。=2,由NB4D=60。可求得DE=1,CE=6,所以CE?+DE2=CZ)2,即CE_LDE,

因为&CnCE=C,所以。E_L平面&CE,因为&Eu平面&CE,所以。El&E,与△&0E为正三

角形，相矛盾，故A错误；

w

EB

对于B,设力B=24D=2,由NB40=60°可求得DE=1,CE=限,所以CE?+DE2=。以，即

CE1DE,

222

当△4DE沿直线DE翻折到&C=2时，CE+ArE=ArC,即CE14E,又DEn2iE=E,DE

和在平面ADE内，故CE1平面&CE,

CE在平面&CE内，故平面&CE_L平面&OE,即二面角D-4E-C可以为90。，3正确；

对于。，取OC的中点N,连接NM、N8,则MN〃&。，且MN=14。=定值,NB〃DE,且NB=DE=定

值，所以NMNB=4&DE=定

值，由余弦定理得，MB?=MN2+NB2-2MN•NBcos乙MNB,所以8例的长为定值，。正确；

对于C,MN"A[D,NBI/DE,且MNCNB=N,A^DCDE=D,所以面MNB〃面&DE,所以MB〃面

A.DE,即直线MB与平面4OE所成的角为定值，C正确.

故选BCD.

11.答案：BCD

解析：

本题以正方体为载体，考查了空间中的平行关系、空间角、距离和体积问题，考查转化与化归的思

想，是中档偏难题.

由异面直线的判定判断A；异面直线EF与GO所成的角即为当久与QD所成的角，据此可判断B；

由匚坨稚8-k)v"?Tlt.IBEF可计算体积,判断C；将&到平面AEF的距离转化为①到平面AB/i

的距离，利用等体积法可求距离，判断。.

解：如图所示，AB与B】Di为异面直线，故AE与8尸也为异面直线，A错误；

异面直线EF与G。所成的角即为当。1与GO所成的角，即当/与AB】所成的角，连接A/,ABr,易

得三角形是正三角形，44%。1=60。，即异面直线EF与GO所成的角为60。，故8正确；

连结交于则为三棱锥的高，A0=-，

ACO,AO4-BEF2

易知：BBi1.EF,则S^BEP=[x1x1=}

所以咚柳tB-注尸=咋附M-8EF=gXgX曰=-yj，为定值，故0正确；

到平面4切的距离即为到平面佃。1的距离，S-BOx（02=S

设&到平面AEF的距离为h,由「，升住」..但5「脸IM.4出.得］XShAB1Dixft=ixSAX1B1D1x

g|jlX^Xh=ixixlXlXl,解得h=叵,故。正确.

32323

故选BCD.

12.答案：AB

解析：

本题考查空间中线面的位置关系、正八面体、直线与平面所成角，考查空间想象能力、抽象概括能

力、运算求解能力，考查直观想象、数学运算核心素养.利用空间直线与平面平行，平面与平面垂直

的判断定理，以及直线与平面所成的角的求法逐一判断各个选项即可得结论.

解：连接&D,aG，C1。，根据正方体六个面的中心分别为点G,H,M,N,E,F,

可得EH〃GD同理可证尸N〃Ci。，贝ijE"〃FN,

因为FNu平面FMN,笈平面FMM所以〃平面FMM故选项A正确；

由题意知，四边形GHMN为正方形.设GMCHN=。（点。同时是正方体和正八面体的中心），

连接E0,则NEM。即为EM与平面GMWN所成角.

由长度关系可得4EM。=%故选项B正确；

连接BD,由题意知BD过点F,则平面FMNn平面FGH=BD,

S.GH//BD//NM,取G”，MW的中点5,T,连接57,FS,FT,

因为AFMN都为等边三角形,

所以NSFT即为平面FMN与平面FGH所成的二面角，

由余弦定理可得cos""=故选项C错误；

由以上证明可知，GN//HM,因为GNu平面EGN,〃A/〃平面EGM

所以〃平面EGM又因为EG〃/1G，

FM"AC\,所以EG〃FM,因为EGu平面EGN,

FA/笈平面EGM所以尸M〃平面EGN,

因为FMCHM=M,所以平面尸〃平面EGN,故选项D正确,

故选ABD.

13.答案：BC

解析：

本题考查考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、动点截面等基础知识，是较难题.

建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面、线线关系即可得到答案.

解：以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，。久为z轴，建立空间直角坐标系，

可得。1(0,0,1),4(1,0,0),C(0,l,0),设P(l,a,l-a\ae(0,1),

所以印={1,a,-a1AC=(-1,1,0)，

则cos<*:而>=晨工『

若直线ZV与AC所成的角是a则消，2=多

解得a=-%不满足题意，故A错误；

在B中，•••4也_L平面4AP,&Diu平面。送止,

平面。遥记J■平面&AP,故8正确；

在C中，•:A\B"CD\,乂4$<t平面。1。<=平面。皿，

.•.48〃平面DCDi，又P为线段上的动点，

P到平面D5C的距离即为点8到平面。劣(?的距离，是定值，

又的面积是定值，

"^DX-CDP=0_CDD1为定值，故C正确；

在。中，延长AP交正方形4BB遇1的边于。点，当Q点位于BiB之间时，截面为梯形,

当。点与当重合时，截面为等边三角形，

当。点位于B14之间时，截面QAD］为等腰三角形，

此时,不妨设Q(l,b,1),16(0,1),

9=(0,—西=(一1,一40)，

所以，~QA-~QDl=b2>0-

则等腰三角形Q4D1的顶角/AQDi为锐角，

所以截面QADi不可能为直角三角形，故。错误.

故答案为BC.

14.答案：CD

解析：

【试题解析】

本题考查了线面平行的判定和二面角，属于较难题.

对于4在边4'E上点F,在4。上取一点M使得FN〃ED,在ED上取一点H,使得NH〃EF,作HG//BE

交BC于点G,即可判断出结论；对于8,）,在翻折过程中，点4在底面8CDE的射影不可能在交

线BC上，即可判断出结论；对于C,取EO的中点M,BC的中点为N,可得|4N|=日，

\A'B\=>JA'N2+BN2,即可得出；对于。.在翻折过程中，取平面4E。_L平面BCDE,四棱锥A-BCDE

体积/（乃=，SBCDE•6％=/1-万，2G（o,i）,利用导数研究函数的单调性即可得出.

解：对于A,假设存在FeAE,使得BF〃平面ACD,

如图1所示，

因为8Fu平面48E,平面4BEn平面AC。=A'A,故BF〃4'4

但在平面4BE内，BF,44是相交的，

故假设错误，即不存在F64E,使得BF〃平面4CD,故A错误.

对于8,如图2,

A'

取BC,DE的中点分别为/,H,连接/H,A'l,A'H,AI,

因为△ABC为等边三角形，故力/IBC,

因为DE〃BC,故NA'OE=ZADE=ZACB=600/4'E£）=Z.AED=NABC=60°,

所以△4'DE,A4DE均为等边三角形，故AH1OE,AH1DE,

因为。E〃BC,Al1BC,AI±DE,故44,/共线，

所以/HIDE,因为AHn/H=H,4//,/〃u平面A4/,

故DE，平面4'H/,

而。Eu平面CBED,故平面AH/_L平面CBED,

若某个位置，满足平面ABC1平面BCOE,则H在平面BC£>E的射影在/H上，也在BC上，故A在

平面BCDE的射影为“，所以AH>IH,

此时"冷圻赢W这与4e（。，）矛盾，故B错误.

对于C,如图2（仍取BC,DE的中点分别为1,H,连接

A'

因为力'H1DE,IH1BC,所以44'用为二面角A-DE-/的平面角，

因为二面角4-DE-B等于60。，故乙4〃/60，

又AH=HI=导则|47|=冬

因为BC//DE,所以BCIA'H,BC1HI,

因为4HCiHI=H,A'Hu平面4"/,Hlu平面AH/,

所以8cl平面AH/,因为47u平面47//,所以BCJL&/,

则|AB|=>JA'N2+BI2=J(y)2+1=y>因此C正确；

对于，如图4(仍取BC,DE的中点分别为1,H,连接力,4如,4B仍取),

作4在底面CBED上的射影O,则。在/H上

因为靠=4,8C〃DE,所以等=4且半=九所以4"=8;I其。E=22.

又KV-CBED=9x：x(DE+CB)xxA'O

1l,

=-(2A+2)xV3(l-A)xA'O

6

<i(2A+2)xV3(l-A)xV3A=-A3+A,

令f(Q=-23+2,2G(0,1),则尸(Q=-3A2+1,

当；le(0,g)时，fU)>0；当；时，f(A)<0.

所以f(A)在(o,f)为增函数，在为减函数，

故/Wmax=f(f)=等.

故。正确.

故选：CD.

15.答案:ABD

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结DB,容易证明。Bi_L平面AC。1，从而可以证明面面垂直；连接&B,41cl容易证明平面B&C"/

平面4CJ,从而由线面平行的定义可得；分析出&P与4历所成角的范围，从而可以判断真假

，■yD1-APC=VP-AD.C^尸到平面4。道的距离不变，且三角形A/C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于4,连结。8,因为正方体中，BBil平面ABC。，AC在平面ABC。内，所以BBilAC,

又因为DB为平面DBBi内两条相交直线，所以AC_L平面。8当，因为在平面OBB1内,

所以0/同理可得DB]1ADr,4。1、AC为平面内两条相交直线，可得_L平面ACO。

OB1在平面PBi。内，从而平面PBi。1平面AC。1，A正确;

对于B,连接,4G,aCJ/AC,4G不在平面AC。1内,AC在平面AC。1内，所以4G〃平面ZCD1，

同理BG〃平面AC5,又41cl、BG为平面BAG内两条相交直线，所以平面B&G〃平面AC。1,&P在

平面B&G内，所以&P〃平面AC。],故B正确；

对于C,41P与4劣所成角即为&P与BCi的所成角，=BCi=&G，当尸与线段EC1的两端点重

合时，&P与4劣所成角取最小值%当P与线段BG的中点重合时，&P与AC1所成角取最大值看故

AiP与4劣所成角的范围是痔身，故C不正确;

对于。，由选项8得BG〃平面ZAC,故BCi上任意一点到平面ADiC的距离均相等，所以以P为

顶点，平面AD1。为底面，则三棱锥P—ADiC为的体积不变，又/LAPc="fD|C，所以三棱锥

4-4PC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

16.答案：ACD

解析：

本题考查平面的基本性质及应用，空间中直线与平面的位置关系，空间中的距离，考查逻辑推理能

力和空间想象能力，属于中档题.

由题意，根据线面垂直的判定，线面平行的判定，空间中的距离，平面的基本性质分别对选项判断

即可.

解：如下图，

对于A,连接4C,DB,ArC,vArA1[S|ABCD,Z)fic[f|ABCD,AtA1DB,

XvDBLAC,A^dAC=A,DBl^A^AC,力u