重庆市2022年中考数学试卷A卷（含答案）

重庆市2022年中考数学试题（A卷）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)1．5的相反数是（）A．-5 B．5 C．-15 D．2．下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，直线AB，D被直线CE所截，AB∥CD，∠C=50°，则∠1的度数为（）A．40° B．50° C．130° D．150° 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m5．如图，△ABC与△DEF位似点О为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（)A．4 B．6 C．9 D．166．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①企图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③全图案中有13全正方形，第④个图案中有17企正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．417．估计3×(2A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间8．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200(1+x)2=242C．200(1+2x)=242 D．200(1−2x)=2429．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5° 第9题图 第10题图10．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．33 D．11．若关于x的一元一次不等式组x−1⩾4x−13，5x−1<a的解集为x⩽−2，且关于y的分式方程A．-26 B．-24 C．-15 D．-1312．在多项式x-y-z-m-n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m＋n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，….下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(本大题四个小题，每小题4分，共16分)13．计算：|-4|+(3-π)0=.14．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是。15．如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB=2，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为﹒(结果不取近似值)16．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为。三、解答题:(本大题2个小题，每小题8分，共16分)17．计算：（1）(x+2)2+x(x−4) 18．在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹).在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°.又∠A=90°，∴▲①∵AD∥BC，∴▲②又▲③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得▲④∴四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)19．公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据(单位：g)，并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x<85，良好85≤x<95，优秀x≥95)，下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98.10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，m=；（2）这个月公可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由(写出一条理由即可).20．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b>4x（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．21．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲前行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．22．如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度(精确到个位)；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：223．若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M=2543，∵3又如：M=4325，∵5（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=c+d9，P(M)=|10(a−c)+(b−d)|324．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．25．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：5的相反数是-5，

故答案为：A.

【分析】互为相反数的两个数之和等于0，依此解答即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，错误；

B、不是轴对称图形，错误；

C、不是轴对称图形，错误；

D、是轴对称图形，正确；

故答案为：D.

【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1=180°-∠C=180°-50°=130°.

故答案为：C.

【分析】根据两直线平行同旁内角互补列式计算，即可得出结果.4．【答案】D【解析】【解答】解：由图象可知，h的最大值约为13.

故答案为：D.

【分析】观察图象，在曲线上读出h的最大值，即可解答.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，

∴△ABC∽△DEF，

∴C△ABCC△DEF=ABDE=23，

∴C△DEF=326．【答案】C【解析】【解答】解：第1个图中有5个正方形，1×4+1；

第2个图中有9个正方形，可以写成：2×4+1；

第3个图中有13个正方形，可以写成：3×4+1；

第4个图中有17个正方形，可以写成：4×4+1；

……

第n个图中有正方形，可以写成：4n+1；

当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37.

故答案为：C.

【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，则知每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此得出规律：第n个图中有4n+1个正方形，然后解答即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：3×(23+5)

=6+15，

∵9<15<16，

∴3<15<4，

∴9<6+15<10，

即3×(23+5)8．【答案】A【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，

则200(1+x)2=242.

故答案为：A.

9．【答案】C【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45°，

∵AE平分∠BAC交BC于点E，

∴∠BAE=12∠BAC=22.5°，

在△ABE和△DAF中，

AD=AB∠DAF=∠BBE=AF

∴△ABE≌△DAF(SAS)，

∴∠ADF=∠BAE=22.5°，

∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°.

故答案为：C.10．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D=∠A，

∵∠BOA=∠D+∠OBD=2∠D=2∠A，

∵AB为⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

∴∠A+∠AOB=90°，

∴3∠A=90°，

∴∠A=30°，

∴OB=2OA，

∵OC=OB，

∴OA=AC=OB=3，OA=2AC=6，

∴AB=OA2−OB2=33.

11．【答案】D【解析】【解答】解：∵x−1⩾4x−13①5x−1<a②，

由①得x≤-2，

由②得x<a+15，

∵不等式组x−1⩾4x−13，5x−1<a的解集为x⩽−2，

∴a+15>−2，

解得a>-11，

∵y−1y+1=ay+1−2，

解得y=a−13，且y≠-1，

∵方程y−1y+1=ay+1−2的解是负整数，

∴a-1<0且a−112．【答案】D【解析】【解答】解：①∵(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n，故①正确；②∵不管如何加括号，x的系数始终为1，y的系数为-1，

∴不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；③∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是(x-y)-z-m-n、x-(y-z)-m-n，x-y-(z-m)-n，

x-y-z-(m-n)；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是(x-y-z)-m-n、x-(y-z-m)-n，x-y-(z-m-n)；当括号中有四个字母，有1种情况，(x-y-z-m-n)；

∴共有8种结果；

综上所述，正确的有3个.

故答案为：D.

【分析】给x-y添加括号，即可判断①；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号即可判断②；分别列举出所有的情况即可判断③.13．【答案】5【解析】【解答】解：原式=4+1

=5.

故答案为：5.

【分析】先去绝对值，进行零次幂的运算，然后进行有理数的加法运算，即可求出答案.14．【答案】1【解析】【解答】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，

∴P=39=13.

故答案为：13.15．【答案】2【解析】【解答】解：连接BD交AC于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2，AC⊥BD，

∵∠BAD=60°，

∴△ABD是等边三角形，∠CAD=∠ACB=30°，

∴BD=2，

∴BG=12BD=1，

∴AG=AB2−BG2=3，

∴AC=2AG=23，

∴S阴影=S菱形ABCD-S扇形ADE-S扇形CBF

=12×23×2-30π·22360-30π·22360

=23−216．【答案】3【解析】【解答】设三座山各需香樟数量分别为4、3、9，甲、乙两山需红枫数量2a、3a．∴4+2a3+3a∴a=3，故丙山需要香樟9，红枫5，设香樟和红枫价格分别为m、n，∴16m+20n=16(1−6.25%)×0.8m+20n×1.25∴m：n=5：4∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为16×(1−6.25%)×0.8×520×1.25×4=35.

【分析】设三座山各需香樟数量分别为4、3、9，甲、乙两山需红枫数量2a、3a，根据甲、乙两山需两种树木数量和之比为5：6列等式求出a=3，则可得出丙山需要香樟9，红枫5，设香樟和红枫价格分别为m、n，根据实际费用恰好与预算费用相等，建立等式求出m和n的比值，从而可解决问题.17．【答案】（1）解：原式==2（2）解：原式==【解析】【分析】(1)利用完全平方公式将第一项展开，根据单项式乘多项式法则计算将第二项展开，然后合并同类项，即可求出化简结果；

(2)先对括号内进行通分，将各分式的分子和分母分解因式，然后除号变乘号，约分化简，即可求出结果.18．【答案】解：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°.又∠A=90°，∴∠A=∠EFB①∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBE②又BE=EB③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得△EDC≌△CFE（AAS）④∴【解析】【解答】证明：如图，用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹).

在△BAE和△EFB中，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB=90°，

又∠A=90°，

∴∠A=∠EFB①，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠FBE②，

又BE=EB③，

∴△BAE≌△EFB(AAS)，

同理可得△EDC≌△CFE（AAS）④，

∴S△BCE=S△EFB19．【答案】（1）95；90；20（2）解：3000×30%=900台（3）解：A型号更好，在平均数均为90的情况下，A型号的平均除尘量众数95>B型号的平均除尘量众数90【解析】【解答】解：(1)∵A型扫地机器人的除尘量为95的有3个，数量最多，

∴众数a=95；

∵B型扫地机器人“良好'等级包含的数据有5个，则其所占百分比为50%，

∴m%=1-50%-30%=20%，即m=20；

∵B型扫地机器人“合格”等级所占百分比为20%，

∴B型扫地机器人“合格”的有2个，

∴B型扫地机器人中位数b=90+902=90；

故答案为：95，90，20；

(2)3000×30%=900台，

答：估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为900台；

(3)A型号更好，理由如下：在平均数均为90的情况下，A型号的平均除尘量众数95>B型号的平均除尘量众数90.

【分析】(1)根据中位数和众数的定义求出a，b，根据B型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好"等级包含的数据，列式求出m；

(2)用总数乘以B型扫地机器人“优秀"等级所占百分比，即可得出结果；

20．【答案】（1）解：∵点A(1，m)在反比例函数图象上，

∴m=4，

∴A(1，4)，

∵点B(n，-2)在反比例函数图象上，

∴-2n=4，

解得n=-2，

∴B(-2，-2)，

设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，

则k+b=4−2k+b=−2，

解得k=2b=2，

∴一次函数的表达式为：y=2x+2，

图象如下：（2）解：-2<x<0或x>1（3）解：∵点C是点B关于y轴的对称点，点B的坐标是(-2，-2)，

∴点C的坐标是(2，-2)，

∴BC=2-(-2)=4，

S△ABC=12【解析】【解答】解：(2)由图象可得：当-2<x<0或x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y=4x的图象的上方，

∴不等式kx+b>4x的解集是：-2<x<0或x>1；

【分析】(1)把A、B两点坐标分别代入y=4x21．【答案】（1）解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，由题意可列式0.5×1.2x=0.5x+2，解得x=20（2）解：20分钟=1由题意可列式30解得x=15，检验成立答：甲骑行的速度为18km/ℎ【解析】【分析】(1)设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据甲出发半小时恰好追上乙，即路程相等，列方程求解即可；

(2)设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据甲、乙恰好同时到达B地，即时间差为1322．【答案】（1）解：如图，过E作BC的垂线，垂足为H，

∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，

∴四边形ACHE是矩形，

∴EH=AC=200米，DE=2EH=2002≈283米；（2）解：由题意得：∠ABC=∠BAE=30°，

在Rt△ABC中，

AB=2AC=400，

∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500，

∵BC=AB2−BC2=2003，

∴AE=CH=BC+BD-DH=2003+100-200=2003-100，

经过点E到达点D，总路程为2002【解析】【分析】(1)过E作BC的垂线垂足为H，求出四边形ACHE是矩形，则可得到EH=AC=200，再证明△DEH为等腰直角三角形，即可解答；

(2)分别求出两种路径的总路程，比较即可作答.23．【答案】（1）解：2∴1022不是“勾股和数”，5∴5055是“勾股和数”（2）解：∵M为“勾股和数∴10a+b=∴0<∵G(M)为整数，∴c+d9∴c+d=9，P(M)=|10a+b−c−d|∴c2+d2=81-2cd为3的倍数∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或4563.【解析】【分析】(1)根据“勾股和数"的定义分别进行验证即可；

(2)由“勾股和数”的定义可得10a+b=c2+d2，且0<c2+d224．【答案】（1）解：由题意得：c=−48+4b+c=0，

解得：b=−1c=−4，

∴抛物线的解析式为：（2）解：如图，设PD交BC于H，

∵A(0，-4)，B(4，0)，

∴OA=OB=4，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∵PC∥OB，

∴∠BCP=∠OBC=45°，

∴∠BCP=∠PHC=45°，

∴PC=PH，

设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，

则b=−44k+b=0，

∴y=x-4，

设P(t，12t2−t−4)，

∴H(t，t−4)，D(t，0)，

∴PC+PD=PH+PD=t-4-(12t2-t-4)+(-12t2+t+4)

=-t2+3t+4

=-(t-32)2+254，

（3）解：由题意得：新抛物线解析式为y=12x+5设M(−4，m)，N(n，1①当EF为对角线，∴−4+n=−解得n=12，此时12n②当EM为对角线，

则-72-4=n，

解得n=−152，此时12③当EN为对角线，

则-72+n=-4，

解得n=−12，此时12n2+4n+72=13【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

(2)设PD交BC于H，得出PC=PH，求出直线AB的解析式，设P(t，12t2−t−4)，则H(t，t−4)，D(t，0)，再用含t的代数式表示出PC+PD，然后根据二次函数的性质求出最大值即可；

(3)根据平移的性质求出平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设M(−4，m)，N(n，1225．【答案】（1）解：如图1，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，∴△CBE≌△BCK∴BK=CE=BD，∴∠BKD=∠BDK=∠CEB=∠ADF∴∠ADF+∠AEF=∠AEF+∠CEB=180°，∴∠A+∠DFE=180°∴∠DFE=120°，∴∠EFC=60°（2）解：△ABE≌△BCD，∴∠BCF=∠ABE，∴∠FBC+∠BCF=60°，∴∠BFC=120°方法一：倍长CN至Q，连接FQ，∴△CNM≌△QNF，∴FQ=CM=BC延长CF至P，使得PF=BF，∴△PBF为正三角形∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC∵PB=PF，∴△PFQ≌△PBC，∴△PCQ为正三角形∴BF+CF=PC=QC=2CN方法二：如图2-2，倍长MC得等边△BCQ，再证△BPC≌△BFQ方法三：如图2-3，将△BFC绕C顺时针旋转120°得△MPC，∴∠FPM=90°，∵NP=FN∴CN垂直平分FP，且∠CFQ=30°，∴CN=CQ+NQ=1（3）解：PQ【解析】【解答】解：(1)如图，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，CK=BE∠BCD=∠CBEBC=BC，

∴△CBE≌△BCK（SAS），

∴BK=CE=BD，

∴∠BKD=∠BDK=∠CEB=∠ADF，

∴∠ADF+∠AEF=∠AEF+∠CEB=180°，

∴∠A+∠DFE=180°，

∴∠DFE=120°，

∴∠EFC=60°；

(2)BF+CF=2CN，理由如下：

如图，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，

∵AB=AC，由