新华师大版九年级下册初中数学全册教案

第二十六章二次函数

26.1二次函数

1.通过具体问题引入二次函数的概念.

2.在解决问题的过程中体会二次函数的意义.

3.注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习

习惯.

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意

义.

如何建立数学模型.

(1)已知一个正方体的棱长为xcm,表面积为y,则y与x的关系式

是。

(2)一个正方形的边长为a(cm),它的面积S(cm2)是多少？

(3)一个矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米,

那么面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式。

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们

学过的函数吗？

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100

件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现

这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多

少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

［利润=(售价一进价)x销售量］

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？

[10—8=2(元)，(10—8)x100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件

商品？

[(10-8-x)；(lOO+lOOx)]

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0<x<2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0<x<2)]

将函数关系式y=x(20-2x)(0<x<10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10).........................................(1)

将函数关系式y=(10—8—x)(100+100x)(gxS2)化为：

y=-100x2+100x+20D(0<x<2)..............................(2)

观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和一100X2+100X+200分别是几次多项式？

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P28页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最

大值。

2.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数，a/))的函数叫

做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.

w@©

例1m取哪些值时,函数y=(疗-m)x2+/nr+(m+1)是以％为自变量的二次

函数。

分析：若函数>=(〃/-6+〃优+(加+1)是以尤为自变量的二次函数，需满足

的条件是Wo

解：若函数y=(>一⑷/+如+(m+])是以“为自变量的二次函数，则

2

/n-TH*0,解得加*0,且mxl。因此，当加wO,且〃?rl时，函数

y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数。

探索若函数3-(/-，"*+〃四+(，"+1)是以》为自变量的一次函数，则机取

哪些值？

例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数关

系；

(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

(3)一个菱形的两条对角线的和为26cm,求此菱形的面积S(cm2)与一

条对角线长x(cm)之间的函数关系。

本节课应掌握：

形如k&+云+c的函数只有在的条件下才是二次函数。

习题26.11—3

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

1.二次函数y=ax2的图像与性质

1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数

y=x2的性质.

2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究

函数性质的经验.

4.由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y=-x2的图象及性质，并能比较

出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.

作出函数丫=±*2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性质.

由y=x2的图象及性质对比地学习y=-x2的图象及性质，并能比较出它们的

异同点.

1、寻找生活中的抛物线展示图形；

2、（1）二次函数的概念；（2）画函数的图象的主要步骤.

合作学习（探究二次函数丫=±*2的图象和性质）

1.用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。

2.观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：

（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

（3）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

（4）当x<0时，随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？

（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？

你是如何知道的？

3.二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象

4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。

5.说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质？与同伴交流。

1、已知函数y={m+X）x",2+2m是关于x的二次函数。

求：（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出

这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时,

函数有最大值？最大值是多少？

这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

2、已知点A（La）在抛物线y=x2上。

（1）求A的坐标；（2）在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角

形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，与同伴进行交流.

抛物y=x2y=­x2

线

顶点

坐标

对称

轴

位置

开口方向

增减性

最值

1、我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质是:

①、图象——“抛物线''是轴对称图形；

②、与x、y轴交点----（0,0）即原点；

③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a>0,开口向上，

当x<0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小

（y随x的减小而增大）

当x>0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大

（y随x的减小而减小）

a<0,开口向下，

当x<0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大

（y随x的减小而减小）

当x>0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小

（y随x的减小而增大）

2、今天我们通过观察收获不小,其实只要我们在日常生活中勤与观察,

勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。.

练习1〜4

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

课时1二次函数丫=2乂2+1＜的图像与性质

1.能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象

的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。

2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k

对二次函数图像的影响.

y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质.

二次函数y=3(x-1)2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函

数的图象有什么关系？

做一做：先作二次函数y=3(x-l)2的图象，再回答问题。

(1)完成下表，并比较3x2与3々—I)2的值，它们之间有什么关系？

X-3-2-101234

3/

3（『I）。

(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-l)2的图象.

精;文档

2

精品文档精心整理

(3)函数y=3(x-l)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它

的对称轴和顶点坐标分别是什么？

(4)x取哪些值时，函数y=3(x-l)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数

y=3(x-l)2的值随x的增大而减少？

(5)想一想，在同一坐标系中作二次函数y=3(x+l)2的图象，会在什么位置？

议一议

(1)在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+l)2的图象.它与二次函数y=3x2

和y=3(x-l＞的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别

是什么？

(2)x取哪些值时，函数y=3(x+l)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时,

函数y=3(x+l)2的值随x的增大而减少？

(3)猜一猜，函数y=-3(x-l)2,y=-3(x+l)2和y=-3x2的图象的位置和形状.

(4)请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.

二次函数产a(r力,的性质

1.顶点坐标与对称轴；

2.位置与开口方向；

抛物线尸H(尸力)2(5>0)尸■力尸(aVO)

顶点坐

(h,0)(h,0)

标

对称轴直线x=h直线x=h

位置在X轴的上方(除顶点外)在X轴的下方(除顶点外)

开口方

向上向下

向

在对称轴的左侧,y随着a在对称轴的左侧,y随着x的

增减性的增大而减小.在对称增大而增大.在对称轴的右

轴的右侧，y随着x的增侧，y随着x的增大而减小.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

大而增大.

最值当x=h时，最小值为0当x=h时，最大值为0增减

开口大最值.

1a|越大，开口越小

小

想一想

（1）在同一坐标系中作出二次函数尸3*,尸3（『1）2和尸3（『1）?+2的图象.

（2）二次函数片3下，尸3（『I）?和『3（『1尸+2的图象有什么关系?它们的

开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看.

二次函数尸a（x-h）2+k与y=a^的关系

一般地，由尸a*的图象便可得到二次函数y=a（火42+k的图象；

片口（『/7）2+«心工0）的图象可以看成尸口下的图象先沿x轴整体左（右）平

移㈤个单位（当h〉0时，向右平移；当k0时，向左平移），再沿对称轴整体上（下）

平移㈤个单位（当k〉0时向上平移；当k<0时，向下平移）得到的.

因此，二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和

顶点坐标与a,"A的值有关.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

抛物线尸a(x-7/)*+k(a>0)尸力),+k(HVO)

顶点坐

(h,k)(h,k)

标

对称轴直线x=h直线x=h

位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定

开口方

向上向下

向

在对称轴的左侧,y随着在对称轴的左侧,y随着

X的增大而减小.在对X的增大而增大.在对

增减性

称轴的右侧，y随着x称轴的右侧，y随着x的

的增大而增大.增大而减小.

最值当x=h时，最小值为k当x=h时，最大值为k

1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标：

(1-=2(%+3)2—；,⑵.y=—*+1)2-5.

2.(1)二次函数片3(广1尸的图象与二次函数尸3下的图象有什么关系？它是

轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

(2)二次函数尸-3(『2),+4的图象与二次函数尸-3f的图象有什么关系？

(3)对于二次函数尸3(户1)；当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大？当x

取哪些值时,7的值随"直的增大而减小?二次函数产3(x+l)2+4呢？

总结二次函数(%-/?)2+k的性质

L顶点坐标与对称轴；

2.位置与开口方向；

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

3.增减性与最值.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

课时2二次函数y=a(x-h)2的图像与性质

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象.

2.让学生经历二次函数y=a(x—h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x-h)2

的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.

会用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象，理解二次函数y=a(x—h)2的

性质，理解二次函数y=a(x—h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系是教学

的重点.

理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次

函数y=ax2的图象的相互关系是教学的难点.

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-§2,y=-1x2—l的图象，并

回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—l)2的图象与二次函数y=2x?的图象的开口方向、对

称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x-l)2和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x?与y=2(x—l)2的

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

图象吗？

教学要点

1.让学生完成下表填空。

X・・・-3-2-10123・・・

y=2x2

y=2(x—I)2

2.让学生在直角坐标系中画出图来：

3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完成以下

填空：

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

y=2(x—I)2

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数

y=2(x—1”与y=2x°的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y

=2(x一1尸的图象可以看作是函数y=2x?的图象向右平移1个单位得到的，它

的对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,0)。

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—l)2的性质吗？

教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y=2x?的性质，并观察二次函数y=2(x-l)2

的图象；

2.让学生完成以下填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增

大而增大；当x=时，函数取得最_____值丫=o

做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+l)2与函数y=2x?的图

象，并比较它们的联系和区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评；

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与函数

y=2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数

y=2(x+l)z的图象可以看作是将函数y=2x?的图象向左平移1个单位得到

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

的。它的对称轴是直线X=-1,顶点坐标是(一1,0)。

问题6；你能由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x+l)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x<一l时，函数值y随x的

增大而减小；当x>—1时，函数值y随x的增大而增大；当x=-l时，函数

取得最小值，最小值y=0o

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=—；(x+2)2图象与函数y=—的

OO

图象有何关系？

(函数y=—：(x+2)2的图象可以看作是将函数y=—的图象向左平移2

OO

个单位得到的。)

问题8：你能说出函数y=—1(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

吗？

(函数y=一：(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标是

O

(—2,0))o

问题9：你能得到函数y=J(x+2¥的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当xV—2时，函数值y随x的增

大而增大；

当x>一2时，函数值y随工的增大而减小；当x=-2时，函数取得最大值,

最大值y=0o

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)?的图象与函数y=ax?的图象有什

么联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

课时3二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质

1.使学生理解函数y=a(x—h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x—h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

确定函数y=a(x—h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数

y=a(x—h)2+k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系，理解函数y=a(x—h)2+k

的性质。

正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函

数y=a(x—h)2+k的性质。

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

(函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得

到的)

2.函数y=2(x—l)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系？

(函数y=2(x—l)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位

得到的，见P10图26.2.3)

3.函数y=2(x—1/+1图象与函数y=2(x—1)2图象有什么关系?函数y=2(x

-1)2+1有哪些性质？

你能填写下表吗？

y=2x?向右平移y=2(x一向上平移y=2(x-1)2+1

的图象1个单位1尸1个单位的图象

开口方向上

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

向

对称轴y轴

顶点(0,0)

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x—1T+1与函数y=2(x—1产、

y=2x?图象的关系吗？

问题3：你能发现函数y=2(x-l)2+l有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发

言，达成共识；

函数y=2(x-l)2+l的图象可以看成是将函数y=2(x—l)2的图象向上平称

1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x?的图象向右平移1个单位再向上平

移1个单位得到的。

当xVl时，函数值y随x的增大而减小，当x>l时，函数值y随x的增大

而增大；当x=l时，函数取得最小值，最小值y=l。

做一做

问题4：你能再画出函数y=2(x—1尸一2的图象，并将它与函数y=2(x—l)2

的图象作比较吗？

教学要点

1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2.对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

问题5：你能说出函数y=-1(x-l)2+2的图象与函数y=-4x?的图象的关

OO

系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=-1(x-l)2+2的图象可以看成是将函数丫二一：六的图象向右平移

OO

一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐

标是(1,2)

总结二次函数y=a(x-h)2+k的性质

1.顶点坐标与对称轴；

2.位置与开口方向；

3.增减性与最值.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

课时4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

3.能够正确说出二次函数y=ax2+bx+c图象的开口方向、对称轴和顶点坐

标.

运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.

把数学问题与实际问题相联系的过程.

1.一位同学在练习中用描点法画函数y=1(x-2)2+l的图象时，画出如图2

乙

一2一64所示的图象，你能帮他\分析一下原因吗？

师生活动：出示问题情境，让学生自主思考.

2.请同学们画出二次函数y=2(x—2)2+l的图象的草图.

师生活动：学生独立完成，教师对学生作业进行展示评价，强调先确定顶点,

再按图象对称性进行取值.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

(1)你能直接画出二次函数y=x2-2x+4的图象吗？若不能，应该如何思

考？

(2)你能把二次函数y=x?—2x+4化成y=a(x—h)2+k的形式吗？

(3)请画出二次函数y=(x—l¥+3的图象的草图.思考：y=(x—l)?+3与

y=x2-2x+4这两个函数有什么关系？

【探究1】师：你知道吗(多媒体出示引入问题)，当火箭被竖直向上发射时,

它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.

图2—2—65

问题：经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

本题转化为数学问题，即求在二次函数h=-5t2+150t+10中，当t为何值

时，h最大？最大值是多少？如何解决最大值问题？

用配方法.先化成顶点式，再确定最值，利用二次函数顶点式y=a(x—hy

+k(a<0),当x=h时，y有最大值，最大值是k.

请同学们试着完成此题.(教师巡视学生解决问题的过程，对学习有困难的

学生给予帮助)

解：h=-5t2+150t+10

=-5(t2—30t—2)

=-5(t2-30t+152-152-2)

=-5(t-15)2+1135,

...当t=15时，h有最大值，最大值是1135.

，经过15s,火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135m.

小结：解决二次函数的最值问题时，可以用配方法先将一般式化成顶点式，

再确定其最值.

【探究2】求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标公式.

请将二次函数y=ax2+bx+c利用配方法化成顶点式，再写出它的图象的对称轴

和顶点坐标.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

解：把y=ax?+bx+c的右边配方，得

bc

y=ax'+bx+c=a(x2+-x+-)(提取二次项系数)

aa

=a/+2-枭+俘丫一目屋£(配方：括号内加上再减去一次项系数一

2a12a7a_

半的平方)

2

=a(x+।旬b)2+4afc—-b-(整理)

...二次函数y=ax-+bx+c的图象的对称轴是直线x=一2，

Ej/，一/b4ac-b\

顶点坐标为(一脸,-7―).

总结：①提取二次项系数；

②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.

对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数.利用一分钟时间记忆

对称轴和顶点坐标公式.

【探究3】联系生活(二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的应用).

图2—2—66所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角

99

坐标系，左面的一条抛物线可以用y=^x2+mx+10表示，而且左右两条抛物

f^y/m

线关于y轴对称.

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

⑶你是怎样计算的？与同伴进行交流.图2—2—66

分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上.要求钢缆的最低点到桥

面的距离就是要求抛物线的最小值.又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以

它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的

横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍.已知二次函数的

形式是一般形式，所以应先进行配方化为y=a(x—h)?+k的形式，即顶点式.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流.

分析：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特

点是所有的对应点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这

个特点，在原有左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即

y不变，x换为一x代入计算即可.

例1求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.

例2已知抛物线y=x?—4x+h的顶点A在直线y=-4x—l上，求抛物线

的顶点坐标.

例3用6m长的铝合金做一个形状如图2—2—67所示的矩形窗框，当做成

长、宽各为多少时，才能使做出的窗框透光面积最大?

图2—2—67

例4如图2—2—68,一小球从斜坡点0处抛出，球的抛出路线可以用二次

函数y=4x—*刻画，斜坡可以用一次函数y=1x刻画.

乙

图2—2—68

(1)求小球到达的最高点的坐标；

(2)小球的落点是A,求点A的坐标.

例5有心理学家研究发现，学生对某概念的接受能力y与提出概念所用的

时间x(min)之间满足函数关系：y=-0.lx2+2.6x+43(0^x^30),y值越大，

表示接受能力越强.根据这一结论回答下列问题：

(l)x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生

的接受能力逐渐降低？

(2)经过多长时间，学生的接受能力最强？

总结：①提取二次项系数；

②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数.利用一分钟时间记忆

对称轴和顶点坐标公式.

1.课本P41随堂练习

2.课本P41习题2.5中T2、T3、T4.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

课时5二次函数最值的应用

1.会通过配方求出二次函数卜=加+bx+c(”*0)的最大值或最小值；

2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数

的性质求实际问题中的最大值或最小值.

会通过配方求出二次函数》=以2+bx+c(axO)的最大值或最小值.

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性

质求实际问题中的最大值或最小值.

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如某商店将每件进

价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降

低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降

低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利

润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函

数关系式为二次函数丫=-10犬+100*+2000.那么，此问题可归结为：自变量x

为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？

例1求下列函数的最大值或最小值.

(1)y=2x~-3x-5；

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

（2）y~~^~3x+4

分析：由于函数y=2/-3x-5和y=-f_3x+4的自变量*的取值范围是全体

实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或

最小值.可通过配方法实现.

解：（1）二次函数）=2/-3厂5

_3_49

当时，函数尸2丁-3x7有最小值是一百.

（2）二次函数y=-f—3x+4

325

x=.）__

当一2时，函数y=f-3x+4有最大值是4

探索试一试，当2.5SXW3.5时，求二次函数y=/-2x-3的最大值或最

小值.

例2某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品

的日销售量y（件）之间关系如下表：

X130150165

（元）

y705035

（件）

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销

售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析：日销售利润=日销售量x每件产品的利润，因此主要是正确表示出这

两个量.

本节课应掌握：

最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，aVO有最

大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.2二次函数的图像与性质

3.求二次函数的表达式

1.熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的三种关系式.

2.使学生学会探索根据已知条件设出适当的二次函数的关系式，数形结合思

想的应用.

3.培养学生合作学习、大胆创新的意识，让他们充分的展现才能，同心协力.

求二次函数关系式.

数形结合思想的应用.

如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,

你能求出其表达式吗？

二、复习回顾：

1.二次函数表达式的一般形式是什么？

2.二次函数表达式的顶点式是什么？

启发：3.确定二次函数产aV+Sx+c(aWO)表达式时，需几个独立的条件？

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

例1已知二次函数户a/+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求出这个

二次函数的表达式.

解：将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函数尸a/+c中，得

r3=4a+c,

I-3=a+c,

解这个方程组，得

r5=2,

C=-5.

・・・所求二次函数表达式为：尸2/T♦

随堂练习：

已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,

13),求这个二次函数的表达式.

解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1,所以设抛物线关系式为产af+8x+l,

;经过点(2,5)和(-2,13),

.J4a+2》+1=5,

•'[4a-2b+l=13,

解得a=2,b=-2.

.•.这个二次函数关系式为y=2x2~2x+l.

提出问题：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表

达式？

学生活动：学生写出二次函数的顶点式，并写出它图象的顶点坐标.

y=a(x-hY+k(aWO),顶点坐标为(力，4).

探索规律：

已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？

2

1)顶点(1,-2),设y=a(x)_____________5

2

2)顶点(T,2),设尸a(x)___________；

2

3)顶点(-L-2),设尸a(x)—__________,*

2

4)顶点",k),设尸a(x)___________?

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

例2如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)

的图象，你能求出其表达式吗？

［教师引导学生完成解题］［巡视辅导，点评］

解：•••二次函数图象的顶点为(4,3),

设二次函数的关系式为尸a(M)2+3.

又•.•二次函数图象过点(10,0),

.,.0=a(10-4)2+3,解得中一

12

•••所求二次函数的关系式为尸-51,2田5

JL4JJ

1.当已知条件有顶点，或对称轴，或最值，或单调区间，通常设顶点式

厂式沿■拉，+k(ar0).

2.已知普通的三个点时，设为一般式.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.3实践与探索

课时1抛物线形实际问题

1.会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实

际意义

2.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用，发展数学思维.

3.在转化、建模中，让学生学会合作、交流.

利用二次函数的牲质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题..

建立二次函数的数学模型.

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨

度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有现实的意

义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题.

指出本节所学内容

问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱

子，在柱子的顶端4处安装一个喷头向外喷水.柱子在水面以上部分的高度为

1.25m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.

根据设计图纸已知：在图(2)所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)

与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+).

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？

(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多

少时，才能使喷出的水流都落在水池内？

教师出示问题，巡视指导；引导学生如何将文学语言转化为数学语言，得出

问题(1)就是求函数：y=-炉+2尤+：最大值，问题⑵就是求如图(2)8点的横坐

标；最后教师讲评学生板演.

问题2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出如6件.市场调查反映:

如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出

20件；巳知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析思考：⑴销售额为多少？

(2)进货额为多少？

(3)利润；y元与每件涨价比的函数表达式是什么?

(4)自变量a：的范围如何确定？

(5)如何求解最值？

教师出示同题，并关注：

(1)学生能否用函数的琢点来认识问题.

(2)学生能否建立函数模型.

(3)学生能否找到两个变量之间的关系.

(4)学生能否从利润中体会到函数模型对解决实际问题的价值.

问题3一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示，现测得当水面宽4斤L6m

时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽切是多少？

是否会超过1m?

1.教师引导学生思考：

⑴此题与问题1有何区别？(问题1中已有函数表达式，本问题中需列出函数

表达式.)

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

(2)怎样建立平面直角坐标系？

(3)建立如图所示的平面直角坐标系后，要求切的长，只需求出什么就可以？

(求出。点的横坐标)

2.巡回检查，最后板书解题过程.

(1)通过本节学习，你有哪些收获？

(2)对本节课你还有什么疑惑？

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

第二十六章二次函数

26.3实践与探索

课时2二次函数与一元二次方程(不等式)

1.理解二次函数图象与X轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的

关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根;

2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图形，观察对应一元二次方程ax2+bx+c=O

的根的情况.

理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程

ax2+bx+c=O的根的个数之间的关系.

理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的

横坐标.

1.如何用一次函数图象解相应的一元一次方程。例如用y=2x-l的图象解方

程2x-l=0,2x-l=3

2、不解方程如何判断一元二次方程ax2+bx+c=O的根的情况？

我们己经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地

用公式h=-5t°+vot+ho表示，其中h0(m)是抛出时的高度,v°(m/s)是抛出时的速度.

一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与

运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

(l)h和t的关系式是什么？

h=-5t2+40t

(2)小球经过多少秒后落地？

你有几种求解方法?与同伴进行交流.

［想一想］何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的？

解法1:令h=60

-5t2+40t=60

t-8t+12=0

(t-2)(t-6)=0

ti=2,t2=6

故2s和6s时,小球离地面的高度是60m.

解法2:看图象.

［例］一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式

h=-4.9t2+19.6t来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.

(1)作出函数h=-4.9，+19.6t的图象.

(2)当t=l,t=2时,足球距地面的高度分别是多少？

(3)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？

(4)方程-4.9t'+19.6t=14.7的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来

吗？

二、探究归纳

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+l,y=xL'-2x+2的图象如图所示,与同伴交流并回答

问题.

精品文档可编辑的精品文档

精品文档精心整理

与X轴有两个交

Xi二-2

点：X2+2X=0

x2=0

工(-2,0),(0,0)

j=x2-2x+1

E

与X轴有

X2-2X

一个交占­