高中数学联赛真题分类汇编数列B辑(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题10数列B辑

应雷国氟题S

1.12020高中数学联赛A卷(第01试)】在等比数列｛斯｝中,。9=13,。3=1,则logaJ3的值为.

【答案】|

【解析】由等比数列的性质知父=(3)2,%=鸟=133.所以loga」3="

2.12019高中数学联赛B卷(第01试)】设等差数列伍〃｝的各项均为整数，首项。产2019,且对任意正整数小

总存在正整数相，使得%+。2+—+。71=。皿这样的数列｛斯｝的个数为.

【答案】5

【解析】设｛4｝的公差为d,由条件知的+。2=郁(女是某个正整数)，则2al+d=%+(k-l)d,

即仅-2)d=0,因此必有上2,且d=三.

这样就有%=%+(n一l)d=%+公

而此时对任意正整数〃，%+&+…+an=ain+吗二9d

=ai+(n-1)%+=%+((n-l)(/c-2)+d,

确实为｛m｝中的一项.

因此，仅需考虑使〃-21al成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知k-2可取一1,

1,3,673,2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列.

3.【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设整数数列…，的0满足=3%,。2+。8=2。5，且可+i6｛1

+ab2+aj,i=1,2,-,9,则这样的数列的个数为.

【答案】80

【解析】设仇=%+i—④6=1,2,…,9),则有

2al=%()—Q1=瓦+力2+…+89①

匕2+83+%=。5—。2=。8—=%+坛+匕7②

用，表示与溥3方4中值为2的项数.由②知，，也是仇,星”7中值为2的项数，其中卢｛0,1,2,3｝.

因此%力,…,厉的取法数为©)2+©)2+©)2+©)2=20.

取定尻,坛，…,⑦后，任意指定为，仇的值，有22=4种方式.

最后由①知，应取灯€｛1,2｝使得瓦+为+”,+与为偶数，这样的"的取法是唯一的，并且确定了整数0的

值，进而数列瓦为2,…，仇唯--对应一'个满足条件的数列％,。2,…，氏0.

综上可知，满足条件的数列的个数为20x4=80.

4.【2018高中数学联赛B卷(第01试)】在平面直角坐标系xQy中，直线/通过原点，元=(3,1)是/的一个法

向量.已知数列｛““｝满足:对任意正整数〃，点(ci"+i，a”)均在/上.若42=6,则2a3a4a5的值为.

【答案】-32

【解析】易知直线/的方程是3x+y=0.因此对任意正整数"，W3an+1+an=0,即与+1=-1(1",故｛斯｝是以一1

为公比的等比数列

于是的=~^a2=-2.

由等比数列的性质可得2a3a4a5=福=(-2)5=-32.

5.12017高中数学联赛A卷(第01试)】设两个严格递增的正整数数歹1」｛册｝，｛%｝满足:％。=瓦o＜2017,对任

意正整数n,有即+2=an+1+On，bn+1=2bn,则的+瓦的所有可能值为.

【答案】13、20

【解析】由条件可知:1,。2,瓦均为正整数，且由＜。2・

由于2017＞仄0=29•儿=512瓦，故"C｛1,2,3).

反复运用｛a“｝的递推关系知/0=a9+ae=2a8+a7=3a7+2a6

=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=34a2+214,

因此21al=a10=b10=512瓦=2bl(mod34),

而13x21=34x8+1,故有备三13x21的三13x2瓦=26瓦(mod34)①

另一方面，注意到为＜。2，有55al＜34。2+21%=512瓦，故为＜登4②

当仇=1时，①、②分别化为七三26(mod34),由＜普，无解

当也=2时，①、②分别化为4三52(mod34),4＜当，得到唯一的正整数。1=18,此时为+b=20.

当仇=3时，①、②分别化为%三78(mod34),即＜鬓，得到唯一的正整数出=10,此时的+瓦=13.

综上所述，处+瓦的所有可能值为13、20.

6.【2017高中数学联赛B卷(第01试)】在等比数列｛小｝中，。2=或,。3=%，则山口的值为____

a7+a2017

【答案w

【解析】数列｛许｝的公比为q=乜=珞故妇如=々=*

。2v2。7+。201Q6（Q1+«2O11）q69

7.12016高中数学联赛（第01试）】设4,&2，。3，。4是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

（冠+aj+返）（及+返+谖）=（©a?+a2a3+a3aO"则这样的有序数组（即,&2，。3，。4）的个数为

【答案】40

【解析】由柯西不等式知,（居+谖+«3）（a2+a孑+谒）>（&。2+a2a3+a3aj，

等号成立的充分必要条件是幺=也=也，即见,。2，。3，。4成等比数列.

%03

于是问题等价于计算满足｛的,。2，。3，。4｝G｛1,2,3,…,100｝的等比数列的个数.

设等比数列的公比夕W1,且g为有理数.记q=,其中m、〃为互素的正整数，且用九

先考虑n>m的情况：

此时=%•©）3=富，注意到加与/互素，故/=M为正整数.

3

相应地,埼1，。2，。3，。4分别等于2n17n十八nZ,它们均为正整数.

这表明，对任意给定的q=\>l,满足条件并以夕为公比的等比数列四,g，。3，。4的个数，即为满足不等式〃）

4100的正整数/的个数，即［詈］.

由于53>100,故仅需考虑q=2,31,4彳，这些情况，

相应的等比数列的个数为

［啕+明+［黑+啕+哨=12+3+3+1+1=2。.

当”<小时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4,。2，&3，。4,综上可知，共有40个满足条件的有序

数组Qggg）.

8.12014高中数学联赛（第01试）】数列｛m｝满足m=2,an+i=a#an5eN*）,则一等型一=

a

n+l“a1+a2+-+2oi3--------

【答案】2015

2013

【解析】由题设册=誓2册_1=留詈-三册_2

一•三••…评=2f+l)，

记数列｛〃“｝的前”项和为S”则1=2+2x3+22x4+…+2”T(n+1),

所以2Sn=2X2+22X3+23X4+-+2n(n+1),将上面两式相减，

得Sh=2n(n+1)-(2n-i+2n-2+…+2+2)=2n(n+1)-2n=2nn,

|力。2014_22°13-2015_2015

‘乂。1+。2+…+。2013—22013X2013—2013*

9.【2013高中数学联赛(第01试)】已知数列｛斯｝共有9项,其中q=。9=1，且对每个｛1,2,…,8｝,均有

%e[2,L—》，则这样的数列的个数为___________.

a(I2)

【答案】491

【解析】令瓦=%(1Ci<8),则对每个符合条件的数列｛斯｝,有nF=iE=n'皿=%=1,(b,e[2,1

ai1&=iaiai'I

,一芬,14i48)①

反之，由符合条件①的8项数列｛“J可唯一确定一个符合题设条件的9项数列｛斯｝.

记符合条件①的数列｛儿｝的个数为M显然以10V8)中有偶数个-5即2左个-：：继而有象个2,8—4%个1.当

给定k时，出“｝的取法有C/C*2k种，

易知A:的可能值只有0,1,2,所以N=1+C犯看+C[C：=1+28x15+70x1=491.

因此，根据对应原理，符合条件的数列｛诙｝的个数为491.

10.12011高中数学联赛(第01试)】已知册=C%°•(遥A。。5.(专丫(n=1,2,…,95),则数列｛即｝中整数项

的个数为.

【答案】15

200-n400-5n

【解析】由题意知册=C%。•3k-2~^,

要使斯(19W95)为整数，必有罕，竺铲均为整数，从而61Tl+4.

当”=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，纪尸和竺学均为非负整数，所以为为整

36

数，共有14个.

当"=86时,。86=©温-338.2-5,

在瑞=就中，2。。!中因数2的个数为图+图+图+图+图+图+愣]=197，

同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110,所以C器°中因数2的个数为197-82-

110=5,故“86是整数.

当”=92时。92=©器-336.2-1。，在c跷=者之中，同样可求得92!中因数2的个数为88,108!中因数2的个

92!*108!

数为105.

故C%。中因数2的个数为197-88-105=4,故。92不是整数.

因此，整数项的个数为14+1=15.

11.12010高中数学联赛(第01试)】已知｛斯｝是公差不为0的等差数列，｛儿｝是等比数列，其中。尸3,加=1,

a2=b2,3a5=b3,且存在常数Q,3使得对每一个正整数"都有即=logafen+6，则a+B.

【答案】V3+3

【解析】设｛诙｝的公差为d,｛儿｝的公比为g,则3+d=q①

3(3+4d)=q2②

式①代入式②得9+12d=d2+6d+9,求得d=6,q=9,

从而有3+6(n-1)=logjnT+0对一切正整数n都成立，

即6n-3=(n-l)loga9+0对―■切正整数n都成立.

从而loga9=6,-3=-loga9+/7,

求得a=V3,p=3,a+j?=V3+3.

12.12009高中数学联赛(第01试)】一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上

的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是

一(可以用指数表示)

【答案】101x298

【解析】易知：

(1)该数表共有100行；

2

(2)每一行构成一个等差数列，且公差依次为心=1(2=2@=2,-,d99=298,

(3)Qioo为所求.

设第"(龙2)行的第一个数为a,.,则

n-2,1-2n-3n2

an=an-i+(an-i+2)=2册-1+2=2[2an_2+2]+2~

2n4n23n2

=2[2an_3+2-]+2x2-=2an_3+3x2-=

n2

=2吁“1+(n-1)x2n-2=(n+l)2-.

故aioo=101x298.

13.12008高中数学联赛(第01试)】设数列｛0“｝的前”项和S,满足：5„+斯=就云，〃=1,2,....则通项。

【答案】卜仁

【解析】因为0n+i=Sn+l-Sn=扁丽一即+1-点2+即，

即2Q?I+I-gD(n+2)"I+n(n+i)十°八—(n+l)(n+2)++n(n+l)'

由此得2(an+i+扁诉)=«n+花品，

令%=%+就T?

因此仇=%+：=：(%=0),bn+1=lbn,

故%=j可得a”=4;------.

n2nn2"n(n+l)

14.12007高中数学联赛(第01试)］已知等差数列｛斯｝的公差d不为0,等比数列｛8｝的公比g是小于1的正

有理数.若的=匕瓦=d2,且集¥摆是正整数，则q等于____________.

01+。2+^3

【答案】1

［解析】因为申磁+匿=、+(a?+d)2+(a1+2d)2_14_

3阡”|47/%+£(2+&3比+Aq+biqZ1+q+qZ'

故由己知条件可知：l+q+炉为日，其中加为正整数.

令l+q+q2=?则=三+/+:1=4+^^，

由于q是小于1的正有理数，所以1＜二＜3,

7m

即54m413且过也是某个有理数的平方，由此可知q="

47n2

15.［2005高中数学联赛(第01试)】将关于X的多项式/(%)=1_%3+…_炉9+%20表示为关于y

219

的多项式g(y)=Qo+«iy+a2y+…+ai9y+Q20y2°,其中y=x—4.则%+%+•••+a20=.

【答案】—

6

【解析】由题设知，Ax)和式中的各项构成首项为1,公比为一X的等比数列，

由等比数列的求和公式，得人光)=且二=—,

'、'-x-lX+1

令刀=、+4,得g(y)='"；］；+'，

,_r21।4

取y=1,有a。+Qi+。2+…+a20=g(l)=——•

o

16.12005高中数学联赛(第01试)】如果自然数。的各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥

数''从小到大排成一列。1，az，a3,....若斯=2005,贝！1"5"=.

【答案】52000

【解析】因为方程向+外+-+xk=m的非负整数解的个数为缁+kT，

而使Xi>1,X,>0(i>2)的整数解个数为C黑之2.

现取团=7,可知，k位“吉祥数”的个数为尸(k)=C[+s-

2005是形如石五的数中最小的一个“吉祥数；且P(l)=以=1,P(2)=的=7,P(3)=睹=28,

对于四位“吉祥数”旃，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即C/+3T=28个.

因为2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数BPa65=2005.

从而n=65,5n=325,又P(4)==84,P(5)=C%=210,而求=1P(fc)=330,

所以从大到小最后6个五位“吉祥数”依次是70000,61000,60100,60010,60001,52000.

故第325个“吉祥数''是52000,BPa5n=52000.

17.12004高中数学联赛(第01试)】已知数列即,生,。2,…吠n，…满足关系式(3-厮+1)(6+斯)=18，且由3,则

yn工的值是_____________.

Z^i=oai

【答案】|(2n+2-n-3)

【解析】设%=、(n=0,1,2,-)-则(3-七)(6+J=18,即3%+i-6*=0.

所以勾+1=2%+$怎+1+(=2(勾+3,

故数列｛及+：｝是公比为2的等比数列.

因此加+/2"佃+9=2"仁+>"2m，

所以勾=*2n+l-l),

则房=优他=W二⑵-1)=一⑴+l)]=|(2n+2-n-3).

18.12003高中数学联赛(第01试)】设M尸｛(十进制)〃位纯小数…而田只取0或1(工1，2,...»n~

1)，a„=]｝,7“是M〃中元素的个数，S”是M,中所有元素的和，贝him金=____________.

n-»oo7n

【答案】L

【解析】因为M,中的小数的小数点后均有〃位，而除最后一位上的数字必为I外，其余各位上的数字均有两种

选择(0或1)方法，故7；=2“T,

又因在这2“T个数中，小数点后第〃位上的数字全是1,而其余各位上数字是。或I,各有一半.故：

5"=21-2"-1(/而1+市1+“,+所1)\+2"」而1

=2"-2.二.初，二1).+2n-l.—=2n-2.Ifl___1—)+2n~1■—

f1。"人10T10"

19.12000高中数学联赛(第01试)】设恁是(3尸的展开式中x项的系数(“2,3,4,...),则

lim(-+-+■­•+—)=____________.

n-»ooa30-n'

【答案】18

【解析】由题意，由二项式定理有为=或3所2,

所以二=*1=18(告’)，所以

ann(n-l)\n-lnJ

lim(-+—+•­•+—)=lim18(1--+1-i+-+—lim18(1-2)=18.

n~>oo\a，2a3an^n->oo\223n-1n/n->oo\n/

20.12000高中数学联赛(第01试)】等比数列。+1。823,。+10843,。+1。883的公比是.

【答案】：

【解析】由题意，不妨设公比为4,可知q=/!=誓曳

1

fa+log23a+log43

又根据比例的性质，有

_a+log43-(a+log83)_log43Togs3_如g23_扣g23_i

-

qa+log23-(a+log43)-log23-log43-log23-|log23-3

21.11999高中数学联赛(第01试)］已知正整数〃不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和，

那么，这样的n的个数是.

【答案】6

【解析】首项为a的连续k个正整数之和为品=ka+智>竺罗，

由Sk<2000可得604k462,

当k=60时Sk=60a+30x59,由<2000可得a<3,

故&二1830,1890,1950；

当上61时品=61a+30X61,由5k42000可得空2,

故&=1891,1952；

当上62时显=62a+31X61,由5上42000可得区1,故&=1953.

所以题中的“有6个.

22.11998高中数学联赛(第01试)】各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过

100,这样的数列至多有项.

【答案】8

【解析】设々,612,…，的1是公差为4的等差数列，则遽+。2+&3+",+与《100，

等价于居+如生*叱2(n-1)(100,

等价于讲+(n—1)%+(2n2—2n—100)<0①

当且仅当4=(n-I)2-4(2n2-2n-100)>0时，至少不存在一个实数©满足不等式①.

因为4>0等价于7九2-6n-40140,

等价于&<n<n2②

甘3-V2816,AC,23+42816,

其中=——-——<0,8<nz=——-——<n9,

所以，满足不等式②的自然数〃的最大值为8,即满足题设的数列至多有8项.

23.11994高中数学联赛（第01试）】已知95个数的,。2，的，…,的5,每个数都只能取+1或一1两个值之一,那

么它们的两两之积的和+…+Q94a95的最小值是.

【答案】13

【解析】记N=axa2+a1a34---Fa94a95①

设的,口2,…，的5中有团个+1，〃个一L则m+n=95②

式①乘2,加上优+谖+…+a15=95得(/+%+•••+函5)2=2N+95.

2

又由+a2H---FQ95=血—〃，所以(m—n)=2N+95.

使上式成立的最小自然数213,此时(m-兀A=II2,

即m-n=±11③

联立式②与③可求出m=53,n=42或m=42,n=53.

据此可构造出N达到最小值的情况，故所求最小正值为13.

24.【1992高中数学联赛（第。1试〉】设—是实数,3x,4y,5z成等比数列,且，分成等差数列，则"

抑值是---------

【答案】'

(4y)2=15xz①

【解析】由题意得泻+:②‘

由式②得y=/，以此代入式①有16管=15xz,

25.【1992高中数学联赛（第01试）】设数列的,。2,…满足的=。2=1，。3=2,且对任何自然数”，都有

册。《+1册+2*1，又/1即+1。11+241+3=+册+1+册+2+册+3，则%+。2+…+。100的值7E-----------

【答案】200

［析］因为—0.2~1,。3=2,乂2a3。4=+。2+。3+。4'所以。4=生

又由条件得的1%!+1%1+241+3=+an+l+an+2+an+39

册+10?1+2即+3a九+4—Qn+1+册+2+Q71+3+

将上述两式相减，得%+1册+2%1+3(%1-"n+4)=口九一%1+4，

aaa

即(Qn—ttn+4)(.n+ln+2n+3-1)=0.

依已知条件即+1%1+241+3H1，故%+4=an-

从而£也；以=詈(。1+。2+。3+04)=200.

26.11988高中数学联赛(第01试)】(1)设的,且两数列m由,。2，。3,和瓦/溥2，坛，均为等差数列,那么

n-叱3_

0,2—01

(2)(代T2)2n+1的展开式中，X的整数次幕的各项系数之和为.

⑶在△ABC中，己知/A=a,CD,BE分别是AB,AC上的高，则辞=.

(4)甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜

者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能

出现的比赛过程的种数为.

【答案】3432

【解析】(1)设两个数列的公差分别为d，乙则y-x=4d=3d，，W

a4

所以生&=%=必=2马

d33

(2)设+2)2n+i=f(久)+《。(%)，其中g(x)是x的多项式，那么所求的是/U).

而(2+Vx)Zn+1+(2—Vx)2n+1=/(x)+y/xg(x)+/(x)-VjEg(x),

所以/⑴=1[(2+近产+1+(2-a产+1]=1(32n+1+1).

(3)因为4BDC=4BEC,所以8,D,E,C共圆.

2

乙ADES'AAEDMABC,翳=震=级=cosa.

所以寿=|cosa|.

4

(4)设甲队队员为4,。2,…，乙队队员为瓦力2,…，为，下标表示事先安排好的出场顺序，比赛过程可表示为这14

个字母互相穿插地依次排列，其前后顺序就是先后被淘汰的顺序，但最后一定是胜队中不被淘汰的队员和可能未

曾参赛的队员，所以比赛过程表示为14个位置中任取7个位置安排甲队员(当然，其余位置安排乙队队员)，比赛

过程的总数为C；4=3432.

幽解物题遢颂］蚓

1.一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q的取值范围是.

【答案】更二<q<&2

【解析】

设三边按递增顺序排列为a,aq,aq2,其中。>o,q1.

则a+aq>aq2,即q?-q-1<0.解彳#1^<q<^-

由死1知q的取值范围是1%<竽.

设三边按递减顺序排列为a,Qq,aq2,其中Q>0,0<q<1.

则aq2+aq>a,即q2+Q-1>0.

解得2昼

2V

综上所述，上造<q<U.

272

2.在数列｛斯｝中，a1=2,an+an+1=l(ne/V+),设S,为数列｛斯｝的前〃项和，则Sz。”一2S2018+S2019的值为

【答案】3

【解析】

当n为偶数时，％+与==an-i+即=1，故%=

当〃奇数时，a1=2,。2+。3=。4+=…=册-i+册=1，故S"=2+—=等.

故52017-2s2018+$2019=1010—2018+1011=3.

故答案为：3.

3.已知集合4=｛1,2,3,2019),对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有

这些倒数的和为.

【答案】2019

【解析】

集合4的2如9—1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1,2，…，2019,1x2,1x3…，2018x20

19,1X2X...X2019,它们的倒数和为

111111

1H—+…+----1------H-------F•••4------------1-…+---------------

220191x21x32018X20191x2x-x2019

11

=(1+1)(1+2)…(1+而#1

=2Cx-3x•••x2-0-2-0--1T=2019.

22019

故答案为：2019.

4.已知数列｛.“｝满足：即=[(2+而)期+表](n€N*),其中国表示不超过实数x的最大整数.设C为实数，且

对任意的正整数”，都有―5—则C的最小值是.

akak+2

【答案】表

【解析】

记4=2+V5,x2=2-V51则册=［以+或］.

,

记"=X?+X".则7n+2=(与+X2)7n+1-x^Tn=4Tn+1+Tn,

2

而7\=X!+x2=4,T2=Xi+X2=(Xi+x2)—2xi久2=18,

因此，对任意的正整数％L,GZ.

又注意到一：<2-而<。，从而㈤，，于是一1+54一表<域<表.

因此,xf+xj-1<x?+^-1<an<xf+^=x?+(-1+^)+1<x?+x?+1.

又注意到说+以—1gM+环+1均为整数,故%=说+域.

T'是a九+2=4a九+i+unf且%—4,a2=18.

又］_1.4%+1_1.仇+2一

akak+24dkak+lak+24akak+lak+2

=1(-^______?—),

4a"〃+iak+iak+2

故、“---=三、"(--------——)=1(―----------——)=—--------------.

aaaaa4aaaa

kk+24^jk=i^kk+lk+ik+2l2n+ln+22884an+1an+2

显然为>0,于是由i+2>4%+i，从而即》《八T&S>2),

1

故崛直一=0.

1

因此，yn（高且岫（W

akak+2k=lakak+2288

所以，常数c的最小值为二.

故答案为：熹.

5.等差数列｛斯｝中，a2=5,a6=21,记数列｛J的前〃项和为S”若Szn+i-S”《会对任意的恒成立,

则正整数m的最小值为.

【答案】5

【解析】

由题意可得：解得的=皿=4,

:、—1=--1---1=.

anl+4(n-l)4n-3

(Szn+i-SQ-(S2n+3-5n+1)

111111

=(------+------+…+--------)-(------+------+…+--------)

an+lan+2a2n+lan+2an+3a2n+3

111_111

Qn+12n+3-

一a2n+2。4n+18n+58九+9

=_____?_)+2_____Z_)>o

、8n+28n+5，v8n+28n+97'

工数列｛S2n+1-Sn｝(〃GN*)是递减数列，

数列Sn+1—S“｝(neN，)的最大项为$3-Si=2W

14m、14

—《一，，m》一,

45153

又•••加是正整数，的最小值为5.

故答案为：5.

6.公差为乩各项皆为正整数的等差数列｛斯｝,若G=1919,a,“=1949,a„=2019,则正整数“计”的最小值是一

【答案】15

【解析】

1949=1919+(m-l)d,2019=1919+(n-l)d,

显然有"Al，n>\,d=以及(/=要，

得去d得：10m—3n=7,

其通解为｛血力上用，为使加＞1,心1且〃为正整数，则正整数f只能在｛1,2,5,10｝中取值（因（30,100）=1

n=14-10t

0,/取值只能为10的正因数）.

当片1时，m-4,”=11为最小，此时"?+〃=15.

故答案为：15.

7.数列｛斯｝满足：a0=V3,an+1=瓦］+必（其中㈤和｛斯｝分别表示实数。“的整数部分与小数部分），则“239=

【答案】3029+g二

2

【解析】

Qo=1+(V3-1)»Q]=1+^7=2+

。2=2+=34-V3=44-(V3-1),

g=4+京=5+『

归纳易得，Q2k=3k+1+(V3-1),@2k+i=3k+2+*2*

因此。2019=3029+军.

故答案为：3029+—.

2

8.设等差数列他〃｝的公差为或存0),前一项和为S〃.若数列｛J8%+2吟也是公差为d的等差数列,则数列｛〃“｝的

通项an=.

【答案]4n—

4

【解析】

设册=5+(九一l)d=dn4-a,这里a=a\—d,

*2*42

于是Sn=nax+~^-d=^n+(%-9n=^n+(a+》n,

所以j8S"+2n=，4dM+(8a+4d+2)n,

故J4dn2+(8a+4d+2)九=dn+b,这里b=58%+2—d.

22

所以4d〃2+(8a+4d+2)n=dn+2bdn+

2

于是4〃=",8a+4d+2=2bd,Z?=0,解得d=4,b=0fa=故时=4几一，

故答案为：4n—p4

9.设数列｛Q九｝1两足：的—-1,4。九+1—。九+1。九+4a九—-9,则。2。18='

【答案w

【解析】

由4册+1-即+网+4册=9可得

(4-an)(4-an+1)=7.

设勾=4一%,则有b"计1=7.乂瓦=4一%=3,故⑦=1-

一般地，有力2%1=3,。2攵=(于是

75

a2k-i=4-3=l,a2fc=4--=-)

所以。2018=y

10.数列｛册｝满足的=1,。2=3,且an+2=|an+il-an(neN+),记｛%｝的前n项和为Sn•则S®=

【答案】89

【解析】

由已知得Clk+9=ak，则SUM)=%,+11(%+。2+…+。9)=89

11.己知数列｛斯｝前几项和为=/且对任意正整数m、n,均有a„i+n=am。”若Sn<a对任意的。€Z+恒成

立，则实数a的最小值为.

【答案】:

4

【解析】

由题意,取m=1得

an+l=alan=5•

又4=2,则｛斯｝是以为首项、为公比的等比数列，即册=表56Z+)

故%=+…+册=：+/+…+2=[x祥

由对任意的neZ+,均有%<小,知a=：.

12.已知数列｛%｝满足4=0,|an+1|=\an-2].记数列｛册｝的前2016项和为S.则S的最大值为・

【答案】2016

【解析】

由|即+i|=|ak-2|=>磁+i=磁一4ak+4（1=1,2,…,2016）.

累加得送oi7=青-4s+4x2016>0.

因此，S<2016.当k为奇数时，ak=0；当k为偶数时，ak=2,此时可取等号.

13.已知数列｛册｝满足册+1=三需,%=3,则数列｛册｝的通项公式是____.

Qn+3

【答案】册=^^

【解析】

由册+】=黑鹄可得自一*=/,%=3'

rlll111111111

2，n

、“3a3a233'*ana71T3*

以下用累加法得，…+器

得到j=:+1+…+亲=3（1ln）="1一》

14^1J<331——/*3

从而，an=票彳

14.在数列｛即｝中，若吗-a"=p（n>2,neN*,p为常数）,则称｛斯｝为“等方差数列”.下列是对“等方差

数列”的判断：

①数列｛（—1尸｝是等方差数列；

②若｛册｝是等方差数列，则｛成｝是等差数列；

③若｛即｝是等方差数列，则｛即„｝（fce/v*.k为常数）也是等方差数列；

④若｛册｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.

其中正确的命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）

【答案】①②③④

【解析】

①因为［（一1）叩一［（一1产1］2=0,所以｛（一1）"｝符合"等方差数列”定义；

②根据定义，显然｛碎｝是等差数列；

③a短-afc（n-l）=或n-或n-1+a^-1-flfcn-2+-+^n-fc+l-^（n-l）=他符合定义；

④数列｛册｝满足磷-Wt=P，an-an_t=d（d为常数）.若d=0,显然｛斯｝为常数列;

若dWO,则两式相除得册+即_1=冬所以即=瞥（常数），即｛册｝为常数列.

故答案为：①②③④

8

15.设数列｛an｝满足的=1,an+1=5an4-1(H=1,2,则标%an=.

【答案】吧_胆

1616

【解析】

由斯+1=5册+1=an+i+；=5(册+｝=册=彳-；，

122018

所以£%%an=i(5+5+-+52018)_华2=2(5_1)一竿=詈—翼.

16.已知数列｛即｝满足%=1,an+]=吧喘誓，则数列｛即｝的通项公