11.1空间几何体练高一下学期数学人教B版

11.1空间几何体一、单选题1．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（

）A．1 B． C． D．2．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（

）A． B． C． D．3．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．4．已知斜三棱柱中，O为四边形对角线的交点，设四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则（

）A． B． C． D．5．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（

）A． B．C． D．6．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（

）

A． B． C． D．7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．8．我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（

）A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为410．图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形．德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”．将其推广到空间，如图2，以正四面体的四个顶点为球心，以正四面休的校长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫做“勒洛四面休”．则下列结论正确的是（

）A．若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为B．若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积比正三角形的面积大C．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能容纳的最大球的半径为D．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体表面上交线的长度小于11．在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（

）A．四棱台的表面积是B．四棱台的体积是C．的最小值为D．的最小值为12．如图，在直三棱柱中，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（

）

A．直三棱柱的侧面积是B．直三棱柱的外接球表面积是C．直三棱柱的内置球的最大表面积为D．的最小值为三、填空题13．已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为．14．不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小球的体积之和的最大值是.15．如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为.16．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．四、解答题17．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球的表面积；(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.18．下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，

(1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值；(2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积.19．如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．(1)求该正三棱柱的体积；(2)求三棱锥的体积；(3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．20．《九章算术·商功》:“斜解立方，得两堑(qiàn)堵(dǔ).斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖(biē)臑(nào).阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注:“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云·中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.(1)在下左图中画出阳马和鳖臑(不写过程，并用字母表示出来)，求阳马和鳖臑的体积比;(2)若:①在右图中，求三棱锥的高.②求三棱锥外接球的表面积.21．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积；（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状；（3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？22．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；(2)若，求几何体的表面积．参考答案：1．B【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高.【详解】如图，为等边三角形，设为中点，面，，则，所以，设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上，则，即，所以.由，解得.所以三棱锥的高为.故选：B.

2．C【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积.【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点．直三棱柱中，，，四边形是平行四边形，有，因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分别是，的外接圆圆心．因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心．连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，，则，，可得，，所以三棱柱的表面积，故选：C．3．D【分析】取的中点分别为，把可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，即可求解.【详解】取的中点分别为，连接，可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体，可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，则三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为.故选：D.4．B【分析】先过O往上、下底面作高，然后把体积比通过割补法转化即可.【详解】设点O到底面、的距离分别是,三棱柱的高为,且,∴,∴，故选:B.5．B【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为，则正方体的棱长为，表面积；设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，如图正四面体，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图，底面等边三角形的高，外接圆半径，正四面体的高，体积，所以，又，所以，所以正四面体的表面积；设正八面体的棱长为，如图，在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，四边形为正方形，，在中，，则该正八面体的体积，该八面体的表面积，因为，即，解得，所以，所以.故选：B.6．C【分析】根据几何体的结构特征可知球心在直线上，由勾股定理可得，进而可得，进而，即可求解，由体积公式即可求解.【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.取的中点，连接，又，则.由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.设球的半径为，则，且，从而，即，当点在线段内（包括端点）时，有，可得，从而，即球心在线段的中点，其半径.当点在线段外时，，解得（舍）.故所求外接球的体积.故选：C

7．D【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解.【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，，

设圆锥和圆柱的高为，则，，因为，所以，所以，所以球的半径为，所以球的体积为.故选：D.8．D【分析】由图利用几何关系先求截面为的面积为，再求四边形面积为，然后由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算即可.【详解】设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为，设底面中心为O，截面中心为，则，所以，所以截面为的面积为．设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，底面中心O与截面中心之间的距离为，在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为，所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，即．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题关键是理解祖暅原理，结合图形帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算.9．AD【分析】判断P点轨迹与直四棱柱的交线，根据弧长公式求解判断A，判断P点位置求出体积最大值判断B，计算球与直四棱柱公共部分体积判断C，利用，求得，得出四边形面积判断D.【详解】如图，对于A，可知的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确．对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误．对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误．对于D，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得．设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，所以，D正确．故选：AD10．BC【分析】对于A，由图可知勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，对于B，根据扇形的面积公式计算判断，对于C，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出，从而可求得结果，对于D，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，然后利用余弦定理求解.【详解】A选项：由题意可知：，以为圆心的扇形面积是，的面积是，则勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，即，所以A错误；B选项：设圆半径为，如图，

易得的面积为，阴影部分面积为，B正确；C选项：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，设点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，

所以，由四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，半径为，连接，则，，三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径，由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出，所以正四面体的外接球的半径为棱长的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，所以，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；C正确；D选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，故，又，由余弦定理得：，故，且半径为，故交线的长度大于，D错误；故选：BC11．ABD【分析】求出四棱台的表面积即可判断A；由正四棱台的体积公式计算出体积，即可判断B；将侧面展开在同一平面，结合余弦定理即可判断CD．【详解】对于A，由题可知，四边形为正方形，所以，分别取的中点，则为侧面高，因为侧面为等腰梯形，侧面高，所以一个侧面的面积为，故正四棱台的表面积为，故A正确；对于B，连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台的高为，，则，在梯形中，，所以四棱台的体积，故B正确；

对于C，将侧面展开且处于同一平面，连接与交于点，如图所示，则，所以，由上述结论可知，，由余弦定理得，，解得，则，所以，因为为棱上的动点（含端点），所以点不能共线，所以，故C错误；对于D，当点共线时，最短，由余弦定理得，，解得，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD．

12．ABD【分析】利用余弦定理求得，即可求得侧面积，可判断A；利用正弦定理求的外接圆半径，由直棱柱性质可得外接球球心到底面的距离为1，进而可得球的半径，可判断B；当内置球与侧面相切时，利用三角形面积公式求的内切圆半径，然后比较与上下底面相切时的内切球半径即可得最大内置球的半径，可判断C；将侧面展开，根据三点共线时路径最短可判断D.【详解】对于A，由余弦定理得，所以，所以直三棱柱的侧面积为，A正确；对于B，由正弦定理可得底面的外接圆半径，易知直三棱柱的外接球球心到底面的距离为1，所以，外接球半径，所以外接球表面积为，B正确；对于C，若内置球与上下底面相切，则半径为1；若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径等于的内切圆半径，由三角形面积公式可得，解得，因为，所以直三棱柱的内置球的最大半径为，所以直三棱柱的内置球的最大表面积为，C错误；

对于D，将侧面绕着旋转到与侧面共面的位置，如图，则当共线时，取得最小值，D正确.

故选：ABD13．/【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用正弦定理求出正四面体的棱长及，作，利用几何关系得到，再利用体积公式及比列关系求出多面体的体积即可．【详解】设球的半径为，由，得，依题意，三棱锥为正四面体，且，设正四面体的棱长为．在等边三角形中，由正弦定理可得，即，解得，因为平面，平面，所以，所以，作，垂足为H，在中，由，得，所以在中，，因为，，所以为线段的中点，所以，所以，依题意，多面体为正三棱台，所以，即，又，所以正三棱台的体积为，故答案为：．14．【分析】根据正方体内切球的特征结合球的体积公式及二次函数性质求最值计算即可.【详解】如上图所示，当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，作出横截面如下图，不妨设分别切于，则有，不妨设，易知，则，则两球体积之和为，又，显然当时取得最大值，此时.故答案为：.15．【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案.【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得，所以，又，所以.故答案为：.16．//【分析】首先把正二十面体的外接球转化成正五棱锥的外接球.设正五棱锥棱长为，利用正弦定理求出正五棱锥的外接圆半径，再利用勾股定理求出正五棱锥的高，然后可求正五棱锥的外接球半径：.即可求所对应的比.【详解】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥：则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球.不妨设正二十面体的棱长为2.如图：正五边形的外接圆半径就是黄金的外接圆半径，设为，则.则到正五边形中心的距离为：.设正二十面体的外接球半径为，则.所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为：.正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比：.故答案为：；【点睛】关键点点睛：解题的关键是把正二十面体的外接球转化为正二十面体上方的一个正五棱锥的外接球，然后求正五棱锥的外接球半径和棱长的关系.17．(1)(2)(3)【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，又，所以，又因为的面积为，，解得（负值舍去），又，所以，圆锥的侧面积.（2）作出轴截面如图所示：根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，设内切球半径为，即，则，所以，由（1）可知，圆锥的高，，则有，解得，所以圆锥的内切球的表面积；（3）由（1）知圆锥的高，令正四棱柱的底面边长为，高为，则，由得，，所以正四棱柱的侧面积，当且仅当，即时等号成立，所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.18．(1)(2)【分析】（1）把圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，再利用余弦定理求解作答.（2）确定正方体与圆锥的关系，再沿正方体的对角面作出圆锥的轴截面，并求出正方体的棱长，求出体积.【详解】（1）将圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，得到扇形，则点为弧的中点，如图，

依题意，