山东省淄博市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.若，，，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若，，则②若，，则③若，，，则④若，，则A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗若，，则，故①正确；若，，则可能相交，故②错误；若，，，过直线m做平面γ且α∩γ＝s（s异于l），作平面φ且β∩φ＝t（t异于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，从而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正确；若，，则可能异面，故④错误.故选：B.4.已知向量，，则在上的投影向量的模为（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，，则单位向量，且，因此在上的投影向量为，其模为1.故选：C.5.已知，，点是坐标原点，记，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故选：B．6.已知函数的部分图像如图所示，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗观察图象知，，函数的周期，则，又，于是，而，则，因此，，所以.故选：C.7.如图，在棱长为4的正方体中，，分别是、中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.与点P的位置有关〖答案〗A〖解析〗在正方体中，，分别是、中点，则，而平面，平面，于是平面，又点是线段上的动点，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积.故选：A.8.在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，，因为，所以，则，所以，且均为锐角，故，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（）A.可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B.若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为（元），故C错误；中位数为（元），故D正确．故选：ABD．10.设，若，且的最小正周期大于，则下列结论正确的是（）A.当时，取最大值B.的最小正周期为C.是偶函数D.在上单调递增〖答案〗BC〖解析〗由，得，则，即是函数的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期为，B正确；于是，，由，得函数的图象关于对称，从而，而，则，有，由，得当时，取最小值，A错误；函数是偶函数，C正确；当时，，余弦函数上单调递减，因此函数在上单调递减，D错误.故选：BC.11.已知向量，的夹角为，，向量，且，则向量，夹角的余弦值可以为（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗依题意，，，则，，，则，因此，由得，则，有，因此，而，选项AB正确，CD错误.故选：AB.12.如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（）A.当时，EP//平面 B.当时，取得最小值，其值为C.的最小值为 D.当平面CEP时，〖答案〗BC〖解析〗在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则点，对于A，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取的中点，连接，如图，因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，平面，平面，则平面，即有，而，所以，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某个品牌的牛奶重量（单位：g）的样本数据如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，则这组数据的第80百分位数为______.〖答案〗110.8〖解析〗样本数据由小到大排列为，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，由，得这组数据的第80百分位数为110.8.故〖答案〗为：110.8.14.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______.〖答案〗〖解析〗正四棱台的对角面是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，而，则该梯形的高，所以该棱台的体积.故〖答案〗为：.15.已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______.〖答案〗〖解析〗记AD的中点为，连接，连接EF，设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，因为为等边三角形，，所以圆的半径，因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心，故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以，所以球的半径，所以外接球表面积为．故〖答案〗为：．16.圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是______.〖答案〗〖解析〗因为点在圆：上，则，，而，则有，令射线与x轴正方向所成的角为，由点的对称性，不妨令射线与x轴正方向所成的角为，由三角函数定义知，则，于是，同理，因此，而，则当，即时，，所以的最大值是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，.（1）若向量与互相垂直，求的值：（2）设，求的最小值.解：（1）因为向量，，则，，由向量与垂直，得，所以（2）由，，得，所以，所以当时，取到最小值18.已知，.（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的〖解析〗式；（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.解：（1）因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，故函数．（2）由，函数的图象关于对称，所以，所以，由，则，又函数在上单调，所以，解得，所以当时．19.如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）证明：平面；（2）证明；平面.解：（1）在三棱柱中，连接，取的中点，连接，如图，因为，则，，于是四边形是平行四边形，即有，又平面，平面，则平面，显然点为的中点，而点为的中点，则，由，得，又，即有且，于是四边形为平行四边形，则，而平面平面，则平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由四边形为矩形，得，因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，而平面，则，又，，于是，因为平面，平面，所以平面.20.后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数.国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计该市的职工年个人所得税不超过（百元），求的最小值：（3）已知该地区有70万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少?解：（1）由频率分布直方图，得解得.（2）由频率分布直方图知，前5组的频率之和为：；前4组的频率之和为：，故，当时，的最小值是48.8.（3）由题可知，区间内的年个人所得税分别取5500元，6500元，7500元，8500元为代表，则在职员工的年个人所得税分别超出正常收取5000元所得税500元，1500元，2500元，3500元．于是，元，所以估计该地区退税总数约为48300000元(4380万元)．21.如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，.（1）求三棱锥的体积；（2）若是侧棱的中点，求二面角的余弦值.解：（1）在正方形ABCD中，，又，且公用，所以，所以，即因为平面ABCD，所以平面ABCD．所以四棱柱是正四棱柱．所以.（2）是侧棱的中点，由（1）知，在直角中，，在直角中，，在正方形ABCD中，，所以为正三角形，取PC的中点，连接AH，BH，所以，且，又在等腰直角中，，且，所以为二面角的平面角，在中，，在直角中，，即二面角的余弦值为．22.如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别