湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数列成等比数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为实数列成等比数列，由等比数列的性质有：，解得，但注意到无论等比数列的公比是正是负总有，所以，从而故选：C．2.设等差数列的前项和为，公差，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因为为等差数列的前项和，公差，，所以，解得.故选：B.3.某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种A.24 B.48 C.98 D.114〖答案〗D〖解析〗5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有和两种，当为时，有种，住同一房间有种，故有种，当为时，有种，住同一房间有种，故有种，则不同的安排方法有种.故选：D．4.已知数列是公比不为1的等比数列，且，是与的等差中项，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设数列的公比为q，由题意可得，所以解得或（舍去），故.故选：B.5.已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，即，则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，做出函数与函数的图像，如图所示，当直线与曲线相切时，又当时，，则，则，则，即且点为，此时，因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，所以，解得，所以a的取值范围是.故选：D6.已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，则上单调递减，则函数的最大值为，此时，且，，可知当时，函数取得最小值为.故选：A.7.若，则的值是（）A.-2 B.-1 C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗当时，；当时，，因此．故选：A.8.已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，且，由于，所以当时，

，函数在上单调递增，则,，所以，故,，即，即故选A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值〖答案〗BC〖解析〗由图可知，当时，，当时，，故在、上单调递增，在、上单调递减，在、处取得极大值，在取得极小值故A错误，B正确，C正确，D错误.故选：BC.10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.B.使得成立的最大自然数C.D.中最小项为〖答案〗AD〖解析〗对于A，根据题意：，，，两式相加，解得：，故A正确.对于C，由上可得所以由，可得到，，所以，所以，故C错误；由以上可得：，而，当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：AD.11.若，则（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，令，，令，则，令，则，两式相加化简得，又，所以，所以A错误；对于B，，因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，所以，所以B正确；对于C，令，，令，则，因为，所以，所以C错误；对于D，展开式所有项系数和为，令，则，因为，所以，所以D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在点处的切线方程为，则______．〖答案〗〖解析〗由函数，可得，可得，因为函数在点处的切线方程为，可得，解得，所以.故〖答案〗为：.13.已知数列中，，，，则的前项和__________．〖答案〗〖解析〗由可得，所以是等差数列，且公差为2，所以，故，所以，所以故〖答案〗为：14.已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________．〖答案〗〖解析〗由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间．解：（1）由函数，可得，可得，因切点为，所以切线方程为，即.（2）由函数，其定义域，且，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.16.已知等差数列满足：，，的前项和为．（1）求通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由已知可得，解得，，所以；．（2）由（1）知，所以，所以，即数列的前项和．17.在含有2件次品的5件产品中，任取2件，求（1）恰好取到1件正品的概率；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）记3件正品分别为A，B，C，2件次品分别为1，2，则从5件产品中任取2件的所有样本点：AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12，共有10个，它们等可能，恰好取到1件正品的事件M所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，共6个，，所以恰好取到1件正品的概率是；（2）至少取到1件次品的事件N所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，12，共7个，，所以至少取到1件次品的概率是.18.已知数列是公差为的等差数列，.（1）证明：数列也为等差数列；（2）若，数列是以数列的公差为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和，证明：.解：（1）∵，∴，∴，又∵数列是公差为的等差数列，∴，∴，∴数列是以为公差等差数列；（2）∵，∴，，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴，∴，∴①，∴②，∴②①得，，∵且为正整数，∴，，∴（当时取等）.19.已知函数.（1）若存在极值，求的取值范围；（2）若，，证明：.解：（1）由，，得，当时，，则单调递增，不存在极值；当时，令，则，当，则