深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试高二数学文试卷

深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（文）试卷时间：120分钟满分：150分第一卷（选择题满分50分）一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．1．若命题的逆命题是，命题的逆否命题是，则与的关系是 （A）互为逆命题． （B）互为否命题． （C）互为逆否命题． （D）不能确定．2．下列结论中正确的是 （A），则． （B）若，则． （C）若，则．（D）若，则．3．若函数的递减区间为，则的范围是 （A）． （B）．（C）． （D）．4．设，，若命题，命题，那么命题是命题的 （A）充分不必要条件． （B）必要不充分条件． （C）充要条件． （D）既不充分又不必要条件．5．若方程表示椭圆，则的取值范围是 （A）． （B）． （C）． （D）．6．设为双曲线的离心率，且，则实数的取值范围为 （A）． （B）． （C）． （D）．7．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点．若，则＝ （A）或． （B）． （C）． （D）．8．已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 （A）． （B）． （C）． （D）．9．椭圆的左准线为，左、右焦点分别为，，抛物线的准线为，焦点是,与的一个交点为，则的值等于 （A）． （B）． （C）． （D）．10．抛物线与直线交于、两点，设抛物线的焦点为，则等于 （A）． （B）． （C）． （D）．深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（文）试卷第二卷（非选择题满分100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．11．写出命题“”的否定：．12．若曲线与直线相切，则常数的值为．13．以双曲线的对称中心为顶点，双曲线的一个焦点为焦点的抛物线的方程是．14．椭圆的离心率是，则两准线间的距离为．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设双曲线的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？16．（本题满分12分）设，，命题，命题．（Ⅰ）当时，试判断命题是命题的什么条件；（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．17．（本题满分14分）已知为实数，，为的导函数。（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在和上都是递增的，求的取值范围．18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件元购进一批商品．若该商品零售价为元，则销售量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：．（Ⅰ）试写出该商品的毛利润与零售价的函数关系式，并指出函数的定义域；（Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润最大，并求出最大毛利润．【毛利润＝销售收入－进货支出】19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点且斜率为的直线交椭圆于、两点，若椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积（为坐标原点）．20．（本题满分14分）已知点，动点到点的距离比到轴的距离多．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）在轴上是否存在这样的点，使得过点的任意直线与点的轨迹相交于、两点时，以为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（文）参考答案一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．12345678910BBDACDCCBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3分）． 11．； 12．； 13．； 14．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设双曲线的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？解：把代入得：．…………（*）当，即时，方程（*）为一次方程，只有一解．当且，即且时，方程（*）有两个不等实根．当且，即时，方程（*）有两个相等实根．当且，即或时，方程（*）没有实根．因此，（Ⅰ）当且时，直线与双曲线有两个公共点；（Ⅱ）当或时，直线与双曲线仅有一个公共点；（Ⅲ）当或时，直线与双曲线没有公共点.16．（本题满分12分）设，，命题，命题．（Ⅰ）当时，试判断命题是命题的什么条件；（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．解：，．（Ⅰ）当时，．，当时，有，但时不能得出．因此，命题是命题的必要但不充分条件．（Ⅱ）当时，，有，满足命题是命题的必要但不充分条件．当时，，要使，须，即．当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件．因此，的取值范围是．17．（本题满分14分）已知为实数，，为的导函数。（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在和上都是递增的，求的取值范围．解：（Ⅰ），。由，得，此时，，由，得或。又，，，在上的最大值为，最小值为。（Ⅱ），的图像是开口向上且过点的抛物线，由条件得，，，。解得。的取值范围为．18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价为x元，则销售量Q（单位：件）与零售价x（单位：元）有如下关系：．（Ⅰ）试写出该商品的毛利润与零售价的函数关系式，并指出函数的定义域；（Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润最大，并求出最大毛利润．【毛利润＝销售收入－进货支出】解：（Ⅰ）设毛利润为，由题意知，化简，得。由，即，解得，因为x为自然数，函数的定义域是。（Ⅱ）。令，解得或（舍去），此时，。因为，在附近的左侧，右侧，所以是极大值，根据实际问题的意义知，是最大值。答：零售价定为每件元时毛利润最大，最大毛利润为元．19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点且斜率为的直线交椭圆于、两点，若椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积（为坐标原点）．解：（Ⅰ）设椭圆方程为（），则。……（1）由，得。………（2）由（1）、（2）解得，。因此，椭圆方程为。（Ⅱ），直线．设、，因为过椭圆的焦点，所以利用椭圆的焦半径公式，得弦长。由得，．则，原点到直线的距离为．的面积等于．20．（本题满分14分）已知点，动点到点的距离比到轴的距离多．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）在轴上是否存在这样的点，使得过点的任意直线与点的轨迹相交于、两点时，以为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，． 当时，化简，得；当时，化简，得． 因此点的轨迹方程为或．（Ⅱ）当过原点时，满足条件，此时点的坐标为． 当以为直径的圆过坐标原点时，为直角三角形，。 假设存在满足条件的点，点坐标为． 当过点的直线垂直于轴时，依题意有，则点的坐标为， 点在抛物线上，．下面证明点满足条件． 当过点直线不垂直于轴时，设该直线的斜率为，则直线方程为，又设、两点的坐标为、． ，．……（1） 把、代入（1）中，得 ．……………（2） 由消去，得， ． 则（2）的左边 ． （2）式对任意恒成立．因此，