高中数学作业设计

高中数学作业设计沙县五中郭玮玲数学课在一周中天天都有，作业的布置、检查和批改是有高中数学有效教学过程中的一个重要环节。高中数学作业的主要不良状况可以概括为“一多”“二假”“三无效”。“一多”指作业量大，学生身陷题海不能自拔；“二假”指学生迫于教师的强制性措施，抄袭他人作业，或盲目地凑结论，换来一个按时交作业的假象；“三无效”指学生写作业和教师检查和批改作业终日疲惫不堪，却收获甚微。对学生而言“学数学而不做数学题，等于入宝山而空返”（华罗庚言），为切实减轻学生的负担，对数学作业的有效性的研究是尤其重要的。《江苏省学生体质健康促进条例（草案）》规定“小学一、二年级不得布置书面家庭作业，其他年级学生每天书面家庭作业总计控制在一小时以内；初中生每天书面家庭作业总计控制在一个半小时以内，高中学生每天书面家庭作业总计控制在两个小时以内。”姚利民（2003）也指出“虽然有研究表明，在一定时间范围内，学生做家庭作业有助于改善学习，做家庭作业越多，成绩越好，增加学生的家庭作业时间更可能改善学生的成绩。例如，匈牙利、日本、荷兰的学生较瑞典、芬兰、英格兰、挪威、中国香港的学生做更多的家庭作业，因而学习成绩更好，波兰、意大利、以色列的学生因为做家庭作业时间少，因而成绩相对较差。但是，超过一定量的家庭作业非但不与成绩改善正相关，相反，过多的家庭作业还会导致以下结果：（1）导致学生疲劳，影响他们的身体发育和成长；（2）给学生增加了压力，使他们感到焦虑，并对学习产生消极态度，厌恶和害怕学习；（3）干扰了学生的社会交往和其他活动，不利于他们的全面发展。因此，布置的作业量要适当。”学生减负，教师就要增负，要实施有效作业，教师必须在数学选题、编题上下功夫，不断提高自己作业的选择和编制能力，要根据教学过程的具体情况和学生实际精心设计作业的范围、要求和时机，跳进“题海”精选作业内容，确保作业具有针对性、层次性和系统性，从而达到举一反三、事半功倍的作业效果。一、有效的作业设计1、变式作业设计选择适当的题型，变换题目的条件或结论，得出新题，由一题变多题，引导学生将问题步步深化，克服思维定势，开阔思路，培养他们发散式思维能力，提高学生思维的敏捷性和解题的灵活性。例：解方程变式1：实数为何值时，方程有解？变式2：实数为何值时，方程在上有解？变式3：不等式，对一切都成立，求实数的取值范围。变式4：不等式，对任意都成立，求实数的取值范围。变式5：讨论方程，在上解的情况。例题的目标是巩固简单三角方程的解法，变式题将问题步步深化，变式1、2、3、4的目标是使学生进一步掌握函数与方程的思想方法并灵活运用，变式5目标是结合函数与方程的思想方法，并渗透了数形结合的思想方法问题步步深化。解完习题后，总结习题考查的基本概念和基本方法，习题之间有何联系，运用了哪些的数学思想方法，使学生不再是就题解题，对题目考查的知识和技能及思想方法有更清楚的认识，从而提高学生解题能力。2、一题多解作业设计不少习题可有多种解法，利于激发学生创新思维的能力。但一题多解的关键是要使学生从一题多解之中思索比较找出捷径。那种追求形式越解越难的一题多解只会增加学生的负担，故一题多解习题一定要设计得当，确实让学生在多解中解得轻松，解得灵活，感受做数学作业的愉悦。例2已知求证：分析1用比较法。本题只要证为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1所以分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法2要证只需证xM·xM·yd图4－2－1O因为所以只需证即因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3即分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4可设分析5数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法5（如图4-2-1）因为直线经过圆的圆心O，所以圆上任意一点到直线的距离都小于或等于圆半径1，即简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。对于解题方法而言，当从某角度难以入手时，换一个角度试试常常会有意外的收获。观察角度的灵活多变、各种不同思路、不同方法的比较，是形成创新能力、创新意识的源泉。3、强化式作业设计某些数学知识，教师仅仅在课堂上照本宣科或正面阐述并不能使学生加深印象和透彻理解，这时如果教师巧妙设计“陷阱”，有意识地让学生经受“挫折”，迫使他们寻找失误的症结和预防方法，从而给学生打上难以磨灭的烙印，有效地培养了学生思维的严密性，使他们在以后解题时不走或少走弯路。例3、求函数的值域。错解：函数的值域为这是一道看似很简单的数学题，但学生却一做就错。主要错因是对基本不等式成立的条件掌握不够。事实上，在这题中取不到最小值2，只能用函数的单调性求解。经历这类“失误”并得到矫正后，学生因此而大彻大悟，对这一经历过“陷阱”的知识点终身难忘。本题可做一些变式，让学生深刻理解基本不等式“一正、二定、三相等”的含义。变式1：求函数的值域。变式2：求函数的值域。变式3：求函数的值域。变式4：求函数的最小值。由该例题及变式的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件的理解和掌握，为定理的正确使用打下了坚实的基础。变式3、4还引导学生探索出一条很好的出路：当等号取不到时，转向函数单调性求解。例4、实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法将圆与抛物线联立，消去，得①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得解之，得错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyxyO图2－2－2xyO图2－2－1要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。变式题：实数为何值时，圆与抛物线，有一个公共点；有三个公共点；有四个公共点；没有公共点。4、同类式作业设计归纳分类、组题教学能使学生加深对知识的理解，培养学生举一反三的能力，使他们通过有限的练习，从中悟出共同的解题规律，使之从题海中解脱出来。它的主要优点在于：解题思路开阔，解题方法类聚，思维规律性强，不但有利于提高学生的解题能力，尤其有利于培养学生类比、归纳、猜想和探索的能力例5：（1）已知x、y为实数，，求x、y。（2）已知求的值。（3）a、b为实数，求关于x、y的方程的实数解。（4）已知a、b、c为△ABC三边，且，求证以a、b、c为三边的三角形是等边三角形。（5）求证方程式无实数解。上述五个问题情景各不相同，但万变不离其宗，均可依据“任何实数的平方不小于零”这一条来解题，抓住了这一规律，上述这些貌似繁杂的习题就迎刃而解了。例6：(1)求函数(2)求函数(3)求函数题型变了之后，虽然有所不同，但是解题思路基本相同，通过这方面训练，既激发了学生的数学思维，和学习数学的兴趣，又帮助学生正确有效地找到解决问题的方法，有利于扩大学生的知识视野和知识点的串联，碰到各种题型处惊不乱，提高学生综合运用知识的能力。5、创新式作业设计如：设计贴近学生生活的应用作业；在完成作业的方式上有所变化等等。比如：在学习立几时,可以让他们用身边容易取得的材料做出模型,如用胡萝卜做出圆锥,并做切面观察切面图形等。我们在学完了分段函数后，给学生布置了这样的作业：了解你的父母每月的手机话费是如何计算出来的，你能否以函数的形式表示出来？富有趣味性的作业能更好地吸引学生，让学生感受学习数学的乐趣，高效完成作业。6、分层次、针对性作业设计我们一般布置作业都是统一题目，统一的量，而每个学生理解、应用等能力都有所不同，因而教师对学生的要求也应有所区别。作业真正的出发点应考虑学生本身的需要，他们能运用新知识完成什么？在他们的能力范畴内能解决什么？教师必须在充分掌握每个学生的个体学习情况后对学生进行分层，并承认学生在作业选择中有一定的自主权，不同层次的学生在进行自主选择时有不同的选题范围。教师对学生的分层时一定要注意的方式方法，要实施动态分层。在学生的学习水平发生一定的变化时，对作业层次的选择也要有相应的变化。学生是学习的主人，只有他们自己选择的，他们才有动力和信心去完成好。同时，随着教学的深入，不同章节、不同时段的数学作业的分层设计是应该有所不同的，是具有一定的发展性的。如在高三总复习期间，部分高二时为第二层次难度的习题，在高三时可列入第一层次。教师设计、批改、讲评学生数学作业的过程一项融