近两年四川广元中考数学真题及答案

2023年四川广元中考数学真题及答案

一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分)

i.万的相反数是()

A.—2B.2C.D.!

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解.

【详解】解：因为-g+g=o,

所以一3的相反数是

故选：D.

【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键.

2.下列计算正确的是()

A.2ab-2a=bB.a2-a3-a6

C.3crb-r-a=3aD.(a+2)(2—a)=4—a-

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，同底数累的乘法，同底数落的除法，平方差公式进行计算即可求

解.

【详解】A.2ab-2a丰b,故该选项不正确，不符合题意：

B.故该选项不正确，不符合题意；

C.3a2h^a=3ab＞故该选项不正确，不符合题意；

D.(a+2)(2-.)=4—/,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数基的乘法，同底数基的除法，平方差公式，熟练掌

握以上知识是解题的关键.

3.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置

上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）

1

21

【答案】D

【解析】

【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有

1个小正方形，右边有2个小正方形.结合四个选项选出答案.

【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形.

故选:D.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能

力.

4.某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周

的课外阅读时间，统计如表：

每周课外阅读时间（小时）2468

学生数（人）2341

下列说法错误的是（）

A.众数是1B.平均数是4.8

C.样本容量是10D.中位数是5

【答案】A

【解析】

【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6,故该选项不正确，符合题意；

B.平均数是--------7———=4.8,故该选项正确，不符合题意；

10

C.样本容量是2+3+4+1=10,故该选项正确，不符合题意；

4+6

D.中位数是第5个和第6个数的平均数即——=5,故该选项正确，不符合题意；

2

故选：A.

【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的

容量、中位数的定义是解题的关键.

5.关于x的一元二次方程2/一3%+2=0根的情况，下列说法中正确的是（）

2

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得.

【详解】解：2/一31+』=0,

2

3

其中。=2,匕=一3,c=—,

2

A=（-3）2-4X2X|=-3<0,

，方程没有实数根.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程

，戊2+区+。=0（。。0）,若△=〃一4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若

△-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若A=〃一4〃.<0,则方程没有实数根.

6.如图，A3是。的直径，点G〃在；。上，连接CD,OD,AC，若N3OD=124°,

则NACO的度数是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：•••NBQDMiZd。，

：.?AOD180?124?56?,

ZAC。」NAO。=28。，

2

故选：C.

【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

7.如图，半径为5的扇形A08中，ZAOB=90°,。是45上一点，CD1OA,CE1OB,

垂足分别为3,E，若CD=CE,则图中阴影部分面积为（）

25"25万25乃25万

A.——B.——C.——D.——

16864

【答案】B

【解析】

（分析］连接OC,证明四边形CDOE是正方形，进而得出sCDE=SOCE，NCOE=45°,

然后根据扇形面积公式即可求解.

【详解】解：如图所示，连接OC,

VCD±OA,CE1OB,ZAOB=90°,

四边形CDOE是矩形,

CD=CE,

•••四边形CDOE是正方形，

SCDE=SOCE,/COE=45°）

4525

...图中阴影部分面积=S扇形兀、52=/兀，

30Ua

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形CDOE是正方形是解

题的关键.

8.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深入与注水量「的函数关系的大

【答案】D

【解析】

【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，

再从函数的图象上看，选出答案.

【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再

变宽.

则注入的水量r随水深方的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，

那么从函数的图象上看，

C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；

A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件.

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的

关键.

9.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选

择，路线a为全程10千米的普通道路，路线。包含快速通道，全程7千米，走路线6比路

线a平均速度提高40%,时间节省10分钟，求走路线a和路线。的平均速度分别是多少？

设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为()

10710107

A--------------=---R--------------=10

x(1+40%)尤60x(l+40%)x

71010710,八

C--------------=—n--------------=10

(1+40%)尤x60(l+40%)xx

【答案】A

【解析】

【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线6时的平均速度为(1+40%)尤

千米/小时，根据路线3的全程比路线a少用10分钟可列出方程.

【详解】解：由题意可得走路线6时的平均速度为。+40%)%千米/小时，

10710

/,，T-(l+40%)x-60;

故选:A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是

解决问题的关键.

10.已知抛物线y=o?+嬴+C",h,c是常数且*0)过(-1,0)和(加,0)两点，且

3<m<4,下列四个结论：①出七>0；②3a+c>0；③若抛物线过点(1,4),则

2

-1<«<--；④关于x的方程a(x+l)(x—m)=3有实数根，则其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线过(-1,0)和(团,0)两点得到对称轴为直线*=一2=竺^'，且3<机<4,

b3

〃<0所以得到1<一一<-,进而判断"°的符号，得至I。历<0,3o+c>0；抛物线过

2a2

b3

点(-1,0)和(1,4),代入可得a—匕+C=O和a+匕+c=4,解得6=2,又由1<一屋<,，

得-l<a<-一；对称轴为直线尤=——，4<0,开口向下，所以y有最大值为—a竺二，

32I2)

且3(加<4,无法判断关于x的方程a(x+l)(x—m)=3是否有实数根.

【详解】解：已知抛物线过(-1,0)和(〃7,0)两点，则对称轴为直线》="亨=”，

*.*3<m<4,所以1<----<—,B|J1<----<—,a<0,则Z?>0,

222a2

当产一1时，y+力(一l)+c=a—b+c=0,则c>。，所以彷c<0,故结论①

错误；

因为--—>1,所以2a>—3a+c=4+2a+c、>。一Z?+c,即3a+c>0,故结论②正

2a

确；

抛物线过(TO)和(1,4)两点，代入可得+c=0和a+〃+c=4,两式相减解得力=2,

由1<----<—可得1<----,解得——,故结论③正确；

2a22a23

J77—1

对称轴为直线x=——，。<0,开口向下，

2

y=a(x+l)(x-〃?)=〃［无2

，加+1丫

・•・所以y有最大值为-aE)

2

772+1

・-a\>3不一定成立,

~2~

，关于X的方程a(x+l)(x—旬=3有实数根无法确定，故结论④错误.

故选：B

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a,b,c与0的关系，再借助

点的坐标得出结论.

二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分)

11.若有意义,则实数x的取值范围是

【答案】x>3

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可.

【详解】；丁1=丁有意义，

yjX-3

%—3^0,3。0，

解得x>3,

故答案为：x>3.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条

件，二次根式有意义的条件是解题的关键.

12.广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”,

《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资

约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为.

【答案】4.5xlO9

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可.

【详解】解：将45亿这个数据用科学记数法表示为4.5xMV.

故答案为：4.5xlO9.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方

法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中14时<10,〃为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

13.如图，a〃o,直线/与直线a,6分别交于8,4两点,分别以点｛"为圆心，大于

2

的长为半径画弧，两弧相交于点£,F,作直线分别交直线a,6于点GD,连接/G

若NCQ4=34°,则ZCAB的度数为.

【答案】56°##56度

【解析】

［分析］先判断EF为线段AB的垂直平分线，即可得ZCAB=NCBA,ZACD=/BCD,

再由a〃。，可得NCD4=N5CD=34°,即有NACO=NBCD=34°,利用三角形内角

和定理可求/CA8的度数.

【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线，

AC=BC>

AZCAB=ZCBA,ZACD=ZBCD,

•:a//b，

：.ZCDA=ZBCD=34°,

：.ZACD=NBCD=34。,

；ZACD+ZBCD+ZCAB+ZCBA=180°,

...ZCAB=56°,

故答案为：56°.

【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角

和定理等知识，判断EF为线段AB的垂直平分线是解答本题的关键.

14.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解

释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第

三个数为.

第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

第六行

【答案】

【解析】

【分析】根据前六行的规律写出第7,8行的规律进而即可求解.

【详解】解：根据规律可得第七行的规律为L6,15,20,15,6,1

第八行的规律为1,7,21,35,35,21,7,1

•••根据规律第八行从左到右第三个数为21，

故答案为：21.

【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),点8(0,—3),点C在x轴上，且点C在

点A右方，连接43，BC,若tanNABC=1，则点C坐标为.

3

【解析】

A「

【分析】根据已知条件得出NABO=NABC,根据等面积法得出一-=——，设C,0),

OAOBv7

则AC=m—1,进而即可求解.

【详解】解：•.•点A(l,0),点3(0,—3),

:.OA=\,OB=3,

tanNOBA=-

3

tanZASC=-

3

：.ZABO=ZABC,

过点A作AO18C于点O,

VAO1BO,ADLBC,AB是NO8C的角平分线,

AO=AD=1

q-OAxOB-OBxOA

*7

»ABC-ACxOB-BCxAD

22

.ACCB

"'~OA~7）B

设。（也0）,则AC=m-l,BC=yl32+m2

9

解得：机=一或〃2=0（舍去）

4

（*

故答案为：0,—.

I4J

【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是

解题的关键.

16.如图，ZACB=45°,半径为2的O。与角的两边相切，点尸是。。上任意一点，过点

产向角的两边作垂线，垂足分别为区F,设t=PE+6PF，则t的取值范围是.

A

【答案】272<Z<272+4

【解析】

【分析】利用切线性质以及等腰直角三角形的性质求得=2夜+2,再求得

f=PE+PQ=EQ,分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：设C。与NACB两边的切点分别为久G,连接OG、OD,延长。0交CB

于点//,

由ZOGC=ZODC=ZOGH=90°,

,/ZACB=45°,

NOHC=45。，

OH=y[2OG=2V2.

工CD=DH=2®+2,

如图，延长石尸交CB于点Q

A

同理PQ=&PF,

,:t=PE+^PF，

；.t=PE+PQ=EQ,

当E。与oO相切时，EQ有最大或最小值，

连接OP，

后都是切点，

NODE=NDEP=ZOPE=90°,

.••四边形OOEP是矩形，

•；OD=OP,

...四边形ODEP是正方形，

，t的最大值为EQ=CE=CD+DE=2夜+4；

如图，

同理，f的最小值为EQ=CE=C。一OE=20；

综上，t的取值范围是2后4/42后+4.

故答案为：2夜4Y20+4.

【点睛】本题考查了切线性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得，=EQ是解题

的关键.

三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分)

17.计算:平+|友42023°-(-1)'.

【答案】4

【解析】

【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次累，再合并即可.

【详解】解：平+|夜一2|+2023°—(—1)

=逑+2一夜+1+1

3

=72+2-72+1+1

=4.

【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次塞的含义，掌握运算法则是

解本题的关键.

18.先化简，再求值：I-2-^4--2---72-----2'其中x=G+l，y=G.

-yy-x)x~y-xy

【答案】£；21立

22

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，

最后将字母的值代入求解.

e(3x+y2x)2

【详解】解：---2~i9242----2

11_yy—%Jxy一孙

_3x+y-2xxy(x-y)

=x2—y2-*-2

(x+y)(x-y)2

=现

2，

当x=6+l，y=JJ时，

原式（用1"3+6.

22

【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法

则进行求解.

19.如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AO剪成两个三角形，用这两个三

角形拼成一个平行四边形.

（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）：

（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长.

【答案】（1）见解析（2）4或2g，2疗或2,2717

【解析】

【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；

（2）利用等边三角形的性质求得80、CD、AD,分情况分别利用平行四边形和矩形的性

质和勾股定理求解即可.

【小问1详解】

解：如图①或②或③，

【小问2详解】

解：•.•等边边==8c=4,

BD=DC=2,

•*-AD=V42-22=2y[3>

如图①所示：可得四边形AC8D是矩形，则其对角线长为4?=CD=4；

如图②所示：AD=2y/3.

连接BC,过点C作CE_L8D于点发则可得四边形ACE。是矩形，

:.EC=AD=26BE=2BD=4,

则8。="26『+42=2不：

如图③所示：BD=2,

连接AC，过点力作AE_LBC交CB延长线于点笈可得四边形AEBO是矩形，

由题意可得：AE=BD=2,EC=2BC=8,

故AC=&+82=2后•

【点睛】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、

勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的

关键.

20.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、

艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分

钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图

所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）

和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人,请估计该校学

生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；

（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成

绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树

状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率.

【答案】（1）第四小组的频数为10,补全图形见解析

（2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人

（3）所选2人都是男生的概率为g.

【解析】

【分析】（1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，即

可作出统计图；

（2）利用总人数1260乘以优秀成绩所占的比例即可求解；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公

式计算即可.

【小问1详解】

解：样本容量是12+20%=60（人），

第四组的人数是：60-6-12-18-10-4=10（人），

补全统计图如图：

18

6

1

n4

2

1

n0

8

6

4

2

O

【小问2详解】

解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为1260x^3=294（人）；

60

【小问3详解】

解：画树状图：

开始

男男男女

小/K小小

男男女男男女男男女男男男

共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人都是男生的结果数为6,

所以抽到的2人都是男生的概率为色=」.

122

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件：树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.还考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获

取信息的能力.

21.“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能

就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地

测量.如图，三片风叶两两所成的角为120°,当其中一片风叶OB与塔干。。叠合时，在与

塔底〃水平距离为60米的£处，测得塔顶部0的仰角NO。=45。，风叶Q4的视角

ZOEA=30°.

(1)已知。，£两角和的余弦公式为：cos(2+£)=cosacos^-sinasinp,请利用

公式计算cos75°；

(2)求风叶Q4的长度.

【答案】(1)戈-6

4

(2)风叶Q4的长度为仅OG-60)米

【解析】

【分析】(1)根据题中公式计算即可；

(2)过点4作种10E，连接4C，OGLAC,先根据题意求出OE,再根据等腰对等

边证明OE=AE,结合第一问的结论用三角函数即可求所，再证明四边形止4G是矩形,

即可求出.

【小问I详解】

解：由题意可得：cos75°=cos(45°+30°),

cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=x--x—=———；

v'22224

【小问2详解】

解：过点/作AF1DE，连接AC，OG±AC,如图所示，

由题意得：。£=60米，NOED=45。,

DE

OE=^^6072p

cosZ45°O米，NDOE=45°,

V

•..三片风叶两两所成的角为120°,

二ADOA=120°,

：.ZAOE=120°-45°=75°,

又,:NOH4=30°,

ZOAE=180°-75°-30°=75°,

ZOAE=ZAOE,

OE=AE=60yf2米，

VZOEA=30°,NOED=45。,

：.ZAED=75°,

cos75。=^^!

由（1）得:

4

EF=A£xcos75°=30G-30米，

£>F=£>E-£F=60T30G-30)=90-30G米，

VAF1DE，OG±AC,OD1DE,

.•.四边形的G是矩形，

AG=DF=90-30^米，

•.•三片风叶两两所成的角为120°,且三片风叶长度相等,

...NQ4G=30°,

上=小警=仅0匹6。)火

••cos30°百'/米，

T

，风叶OA的长度为(6073-60)米.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键.

22.某移动公司推出46两种电话计费方式.

计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/(元/min)被叫

A782000.25免费

B1085000.19免费

(1)设一个月内用移动电话主叫时间为加in,根据上表，分别写出在不同时间范围内，方

式4方式8的计费金额关于力的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350min,你将选择4,8哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.

【答案】(1)见解析；

(2)选方式B计费，理由见解析；

(3)见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意，设两种计费金额分别为必、力，分别计算f〈200,200VfW500,

t>500,三个不同范围内的/、6两种方式的计费金额即可；

(2)令，=350,根据(1)中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；

(3)令X=108,求出此时。值务，当主叫时间时，方式4省钱；当主叫时间/=为

时，方式4和6一样；当主叫时间/>小时，方式6省钱；

【小问1详解】

解：根据题意，设两种计费金额分别为X、为

当f4200时，方式/的计费金额为78元，方式8的计费金额为108元；

200V/W500,方式4的计费金额x=78+("200)x0.25=0.25/+28,方式8的计费金

额为108元；

当f>500时，方式力的计费金额为x=0.25,+28,方式6的计费金额为

%=108+（—500）x0.19=0.19f+13

总结如下表：

主叫时间，分钟方式4计费（%）方式8计费（为）

r<20078108

200VW000.25/+28108

>5000.257+280.19/+13

【小问2详解】解：当£=350时,x=0.25x350+28=115.5

%=108

弘>>2，故选方式6计费.

【小问3详解】

解：令yW108,有0.257+28W108解得/W320

.•.当/<320时，方式/更省钱；

当片320时，方式1和6金额一样：

当£>320时，方式6更省钱.

【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键.

23.如图，已知一次函数）=依+6的图象与反比例函数y='（m>0）的图象交于A（3,4）,

8两点,与x轴交于点G将直线A5沿p轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交

于点D,E.

（2）连接A£>,CD,求ACD的面积.

7

【答案】（1）k^--.7/2=12；C（9,0）

（2）4co=9

【解析】

【分析】（1）把点A（3,4）代入丫=依+6和y=?〃?>0）求出“、加的值即可；把y=0代

入AB的解析式，求出点C的坐标即可；

（2）延长D4交x轴于点F,先求出AB平移后的关系式，再求出点。的坐标，然后求出AD

解析式，得出点尸的坐标，根据SA。=58-一5^求出结果即可.

【小问1详解】

解：把点4（3,4）代入，=履+6和3?=生（加>0）得：

3左+6=4,4=—,

3

2

解得：k=一一,帆二12,

3

212

・•・A5的解析式为y=-一元+6,反比例函数解析式为y=一，

3x

2?

把>=。代入>=——x+6得：0=--x+6,

33

解得：x=9,

.•.点。的坐标为（9,0）；

【小问2详解】

解：延长D4交x轴于点尸，如图所示:

----、----、、A

qF

将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式

22

y=——x4-6+3=—x+9,

y=--x+9

3

联立〈

12

y=­

x2=12

解得：

艮=1

•・•点唱斗

设直线AO的解析式为y=%x+4,把。,A（3,4）代入得:

IZ7

—k,+b.=8

<211，

3kl+4=4

\k-_8

解得：\'3,

4=12

8

直线AD的解析式为y=--x+\2,

9

解得：x=-

.♦•点夕的坐标为［|,o

99

...CF

2-2

・q=q-q

,,2ACD-°CDF丁CAF

ax2x8_ix2x4

2222

=9.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函

数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的

交点坐标.

24.如图，A8为OO的直径，C为。。上一点，连接AC,8C,过点。作。。的切线交A8

延长线于点。，OFLBC于点、E,交CD于点、F.

(1)求证：ZBCD=ZBOE；

3

(2)若sinNC48=5，AB=\O,求3。的长.

90

【答案】(1)见解析(2)8D的长为一.

7

【解析】

【分析】(1)连接0C,利用圆周角定理及半径相等求得NQ4C+NOC6=90°,根据切

线的性质求得ZBCD+ZOCB=ZOCD=：90°,推出NBCD=NOAC,再证明

OE//AC,据此即可证明结论成立;

(2)先求得8C=6,AC=8,设证明利用相似三角形的

性质得到9(10+x)=16x,解之即可.

【小问1详解】

证明：连接OC,

c

A5为。。的直径,

NACO+NOCB=ZACB=90°,

■：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

/.Z(24C+ZOCB=90o.

•••CD是；。的切线，

二次BCD+40cB="CD=90°，

NBCD=NOAC,

•/OF±BC,

/.ZOFB=ZACB=90°，

：.OE//AC,

：.ZBOE=ZOAC,

：./BCD=/BOE；

【小问2详解】

解：,•,AB为:。的直径,

ZACfi=90°,

3

VsinZCAB^-,/W=10,

5

sinZCAB=—=-,

AB5

BC-6，AC=>/102-62--8,

设3Z)=x,则AD=10+x,

由(1)得N8CD=NC4£>,

又ND=/D，

/.ZXBCD^/\CAD,

_B_C___C__D__B_D_艮nn_6___C__D____x_

"AC~AD~CD'8-l0+x~CD

整理得9（10+x）=16x,

解得x=。，

7

小八90

••3。的长为—.

7

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

25.如图1,已知线段48,AC，线段AC绕点A在直线A3上方旋转，连接6C,以BC

为边在8C上方作RtBDC,且NO3C=30°.

（1）若ZBDC=9Q°，以AB为边在上方作RtZ\A4E,且ZAEB=90°,NEBA=30°,

连接DE，用等式表示线段AC与OE的数量关系是；

（2）如图2,在（1）的条件下，若DEJ.AB,43=4,AC=2,求3c的长；

（3）如图3,若NBCD=90°,AB=4，AC=2,当AO的值最大时，求此时tan/CBA

的值.

【答案】（DAC=Z仆DE

3

（2）BC=2S

⑶B

5

【解析】

【分析】（1）在RtB£>C中，ZDBC=3Q°，RtAR4E,且以=90。，ZEBA=30°,

ARRF

可得△ABEsACBD,根据相似三角形的性质得出言；=——,/DBE=/CBA,进

BCBD

而证明AABCs^EBD,根据相似三角形的性质即可求解;

（2）延长OE交AB于点/，如图所示，在Rt_AE尸中，求得ER,AR,进而求得防的

长，根据（1）的结论，得出。E=在Rt_B£D中，勾股定理求得8。，进而根据

八ABCS&EBD,即可求解.

(3)如图所示，以AB为边在A3上方作RtAR4£,且NE4B=90°,ZEBA=30°,

连接BE,E4，ED,EC,同(1)可得，3E>£SBC4,进而得出。在以£为圆心，逑

3

为半径的圆上运动，当点A,E,O三点共线时，的值最大，进而求得COSN8D4=R7

7

/TT

sinNBDA=上，根据△ABCs"BD得出ZBDE=ZBCA，过点A作AF1BC,

7

于点F，分别求得ARCR,然后求得BF，最后根据正切的定义即可求解.

【小问1详解】

解：在RtBDC中,ZDBC=3Q°,RtAfi4£,且NA£B=90°,NEBA=30°,

AABESACBD,ZDBE+NEBC=ZABC+NEBC,

BE=ABxcosNABE^—AB

2

ABBE

--=—,ADBE=NCBA,

BCBD

：.AABCS^EBD

ACAB_AB_2^

——AB

2

/.AC=26*

3

故答案为：AC^-yf3DE.

3

【小问2详解】

VRtAA4£,RZAEB=90°,ZEBA=30°,AB=4

AAE=ABsinZEBA=-AB=2,NS4£=60。，

2

延长DE交AB于点F,如图所示，

D

,/DEYAB，

/.4BFD=NDFA=W,

二在Rt_AER中，EF=AExsinZBAE=^-x2=y/3>AF=^AE=1,

：.BF=AB-AF=4-1^3,

由（1）可得AC=2&DE,

3

•••DE=LAC=6

2

；•DF=DE+EF=26

在Rt6FD中，BD=yjBF2+DF2=J32+（2^=721，

AABCS&EBD,

.BCAC2V3

"~BD~~DE~~T'

，BC=—xV21=2V7，

3

BC=2A/7；

【小问3详解】

解：如图所示，以AB为边在4?上方作RtZ\R4E,且/E4B=90°,ZEBA=30°,连

接BE,EA，ED,EC,

则”一些一型

ACBC3

:AC=2,则。£=皿工

3

在Rt.iAEB中，A8=4，AE-ABxtanZ.EBA=4x——=

33

...£＞在以E为圆心，上叵为半径的圆上运动,

3

当点AE,。三点共线时，AO的值最大，此时如图所示，则AO=AE+0E=M

3

D

在Rt^MO中，8。=〃笈+4。242+

873

Afi_4_V21

4/)丁277sin/BDA

cosZBDA=——BD—4721—7

BD47217

3

3

■:AABCS^EBD,

...ZBDE=ABCA,

过点A作Ab1,于点F，

•••CF=ACxcos4ACB=2乂过~=毡-AFACxsinZACB==^-

777

•；Z£)BC=30°,

/.BC=BBD=BX^^-=2币,

223

/•BF=BC-CF=2yH-^-=^^-

77

RtA必中，tanZCBA=^~=

FB10V75

7

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求

圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

26.如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=o?+法+4的图象与x轴交于点

A（-2,0）,8（4,0）,与I轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知£；为抛物线上一点，F为抛物线对称轴/上一点，以B,E，尸为顶点的三角形

是等腰直角三角形，且乙"E=90。，求出点尸的坐标；

（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交＞轴于点M，连接3P并延长交）

轴于点N,在点尸运动过程中，OM+'ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，

2

请说明理由.

1,

【答案】（1）y——x~+x+4

-2

（2）尸（1,1）或尸（1,一5）或尸（1,一3）

（3）OM+-ON^6,理由见解析

2

【解析】

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）先求得抛物线的对称轴为直线x=l,设/与x交于点G,过点£作于点。，

证明Gg.GBf,设/（［，加），则。£=1+m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,

进而得出E点的坐标，代入抛物线解析式，求得〃？的值，同理可求得当点尸在x轴下方时

的坐标；当E点与A点重合时，求得另一个解，进而即可求解；

（3）设尸（S"）,直线"的解析式为丁=公+/,3P的解析式为y=gx+〃，求得解析

式，然后求得OM,ON,即可求解.

【小问1详解】

解:将点4(-2,0),8(4,0),代入/=加+法+4

4a—2Z?+4=0

得4

16。+4"4=0

解得：＜a=~2,

b=l

抛物线解析式为y=--x2+x+4：

【小问2详解】

•.•点4(-2,0),8(4,0),

-2+4