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文档简介

特训10特殊平行四边形、梯形解答证明压轴题一、解答题1.如图,在矩形中,平分交于E,连接,.(1)如图1,若,,求的长;(2)如图2,若点F是边上的一点,若,连结交于G,①猜想的度数,并说明理由;②若,求的值.2.如图,点是正方形对角线的延长线上任意一点,以线段为边作一个正方形,线段与、分别相交于点、.(1)求证:;(2)判断与的关系,并说明理由;(3)若,,求的长.3.在梯形中,,点分别在边上,,点与在直线的两侧,,射线与边分别相交于点,设.(1)求边的长;(2)如图,当点在梯形内部时,求关于的函数解析式;(3)如果的长为,求梯形的面积.4.已知,菱形中,,、分别是边和上的点,且.(1)求证:.(2)如图2,在延长线上,且,求证:.(3)如图3,在(2)的条件下,,点是的中点,求的长.5.如图①,已知正方形中,,分别是边,上的点(点,不与端点重合),且,,交于点,过点作交于点.(1)求证:.(2)若,试求线段的长.(3)如图②,连接并延长交于点,若点是的中点,试求的值.6.如图,正方形中,点是上一点,点是上一点,.(1)如图1,若,求的面积.(2)如图2,求证:.(3)如图3,点为延长线上一点,点为延长线上一点,.请直接写出线段、、的数量关系.7.已知点是正方形对角线上一点,与交于点,,垂足为,直线与交于点.(1)如图1,当在线段上时,求证;(2)如图2,当在线段上时,的延长线交于点,若,求证:①四边形为菱形;②;(3)如图3,若,在点从到的运动过程中,的最小值为______.8.如图1,点O是正方形的对角线BD的中点,过点O作直线,点D关于直线的对称点为E,连接.(1)求的值.(2)如图2,作于点F,请用等式表示线段之间的数量关系,并说明理由.(3)如图3,在(2)的条件下,连接交于点G,当时,请你探究线段与之间的数量关系,并说明理由.9.在菱形ABCD中,P是直线BD上一点,点E在射线AD上,连接PC,(1)如图(1),当∠BAD=90°时,连接PE,交CD于点F,若∠CPE=90°,求证:PC=PE;(2)当∠BAD=60°时,连接PE,CE,PC交AE于点F,∠CPE=60°,AC=CE=4.①如图(2),若点P在线段BD的延长线上,求BP的长;②如图(3),若点P在线段DB的延长线上,直接写出BP的长.10.如图1,已知菱形的边长为6,,点、分别是边、上的动点(不与端点重合),且.(1)求证:是等边三角形;(2)点、在运动过程中,四边形的面积是否变化,如果变化,请说明理由;如果不变,请求出面积;(3)当点在什么位置时,的面积最大,并求出此时面积的最大值;(4)如图2,连接分别与边、交于、,当时,求证:.11.如图①,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PC=PE,PE交CD于点F.(1)求证:∠PCD=∠PED;(2)连接EC,求证:EC=AP;(3)如图②,把正方形ABCD改成菱形ABCD,其他条件不变,当∠DAB=60°时,请直接写出线段EC和AP的数量关系______.12.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,现将纸片折叠,点D的对应点记为点P,折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点),再将纸片还原.(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1).①当点P与点A重合时,∠DEF=°,当点E与点A重合时,∠DEF=°.②当点E在AB上时,点F在DC上时(如图2),若AP=,求四边形EPFD的周长.(2)若点F与点C重合,点E在AD上,线段BA与线段FP交于点M(如图3),当AM=DE时,请求出线段AE的长度.(3)若点P落在矩形的内部(如图4),且点E、F分别在AD、DC边上,请直接写出AP的最小值.13.如图,边长为2的正方形纸片ABCD中,点M为边CD上一点(不与C,D重合),将△ADM沿AM折叠得到△AME,延长ME交边BC于点N,连结AN.(1)猜想∠MAN的大小是否变化,并说明理由;(2)如图1,当N点恰为BC中点时,求DM的长度;(3)如图2,连结BD,分别交AN,AM于点Q,H.若BQ=,求线段QH的长度.14.在菱形中,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随点的位置变化而变化.(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是,与的位置关系是;(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).

(3)如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若,,求四边形的面积.

15.如图1,,是线段上的一个动点,分别以为边,在的同侧构造菱形和菱形,三点在同一条直线上连结,设射线与射线交于.

(1)当在点的右侧时,求证:四边形是平形四边形.(2)连结,当四边形恰为矩形时,求的长.(3)如图2,设,,记点与之间的距离为,直接写出的所有值.16.如图,已知平行四边形中,平分,(1)求证:平行四边形是菱形;(2)为边上一动点,连接,作的垂直平分线交于,交于,连接、,①求证:为等腰三角形;②若,求的值.17.在正方形ABCD中.(1)如图1,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,试判断AE与BF的数量关系,并说明理由;(2)如图2,点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上,EG、FH相交于点O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的长;(3)如图3,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,若AB=5,图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4:5,求△ABO的周长.18.已知正方形ABCD,点E在AB上,点G在AD,点F在射线BC上,点H在CD上.(1)如图1,DE⊥FG,求证:BF=AE+AG;(2)如图2,DE⊥DF,P为EF中点,求证:BE=PC;(3)如图3,EH交FG于O,∠GOH=45°,若CD=4,BF=DG=1,则线段EH的长为.19.四边形ABCD是矩形,点E是射线BC上一点,连接AC,DE.(1)如图1,点E在边BC的延长线上,BE=AC,若∠ACB=40°,求∠E的度数;(2)如图2,点E在边BC的延长线上,BE=AC,若M是DE的中点,连接AM,CM,求证:AM⊥MC;(3)如图3,点E在边BC上,射线AE交射线DC于点F,∠AED=2∠AEB,AF=4,AB=4,则CE=.(直接写出结果)20.如图,在菱形中,是边上的动点,作交于点,在上取点使,连结(1)求的度数;(2)求证:(3)若是的中点,当为何值时,是等腰三角形.21.梯形中,,,,,、在上,平分,平分,、分别为、的中点,和分别与交于和,和交于点.(1)求证:;(2)当点在四边形内部时,设,,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)当时,求的长.22.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=10,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD,设AD=x,△AOB的面积为y.(1)求∠DBC的度数;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)如图1,设点P、Q分别是边BC、AB的中点,分别联结OP,OQ,PQ.如果△OPQ是等腰三角形,求AD的长.23.如图①,是等腰直角三角形,,四边形是正方形,点B、C分别在边上,此时成立.将绕点A逆时针旋转,并探究下列问题:(1)如图②,成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(2)当时,如图③,延长交于点H.当时,求线段的长.(3)如图④,延长交于点H,连接,直接写出线段之间的数量关系.24.在正方形中,是边上一点(点不与点、重合),连结.感知:如图①,过点作交于点.求证.探究:如图②,取的中点,过点作交于点,交于点.(1)求证:.(2)连结,若,求的长.应用如图③,取的中点,连结.过点作交于点,连结、.若,求四边形的面积.25.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是上一点,F是延长线上一点,且,求证:.(2)如图2,在正方形中,E是上一点,G是上一点,如果,求证:.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形中,(),,.E是上一点,且,,求直角梯形的面积.26.如图,在长方形中,,,,,,点P在边上,且不与点B、C重合,直线与的延长线交于点E.(1)当点P是的中点时,求证:;(2)将沿直线折叠得到,点落在长方形的内部,延长交直线于点F.①证明,并求出在(1)条件下的值;②连接,直接写出周长的最小值.27.在正方形中,,点为边上一点(不与点、重合),垂直于的一条直线分别交,,于点,,.(1)①如图1,判断线段与之间的数量关系,并说明理由;(2)如图2,若垂足为的中点,连接,交于点,连接,则______.(3)若垂足在对角线上,正方形的边长为.①如图3,若,,则______;②如图4,连接,将沿着翻折,点落在点处,的中点为,则的最小值为______.28.如图,在中,过点作交于点,且.(1)如图1,过点作且,连接,若,求的长;(2)如图2,点是上一点,且,交于点.求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,且.连接,线段与相交于点.将沿着翻折,点与点重合,连接.请直接写出的值.特训10特殊平行四边形、梯形解答证明压轴题一、解答题1.如图,在矩形中,平分交于E,连接,.(1)如图1,若,,求的长;(2)如图2,若点F是边上的一点,若,连结交于G,①猜想的度数,并说明理由;②若,求的值.【答案】(1)(2)①,理由见解析;②【分析】(1)由矩形的性质得,,,由角平分线的性质得出,则是等腰直角三角形,得出,推出,由勾股定理得出;(2)①连接,由(1)得,,由证得,得出,,证明是等腰直角三角形,即可得出结论;②根据矩形的性质得到,求得,过D作于M,根据余角的性质得到,得到,过A作于N,根据等腰三角形的性质得到,根据全等三角形的性质得到,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解析】(1)解:∵四边形是矩形,∴,,,∵平分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∴,∴;(2)①,理由:连接EF,如图所示:由(1)得:,,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴,∴是等腰直角三角形,∴;②∵四边形是矩形,∴,∴,过D作于M,∴,∴,∴,∵,∴,由①知,,∵,∴,∴,∴,过A作于N,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,由①知,,∴,,∴.【点睛】本题考查了四边形的综合题,矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键.2.如图,点是正方形对角线的延长线上任意一点,以线段为边作一个正方形,线段与、分别相交于点、.(1)求证:;(2)判断与的关系,并说明理由;(3)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2),,理由见解析(3)【分析】(1)根据正方形的性质和定理证明即可得出结论;(2)由(1)的结论得,,再根据通过等量代换即可证明;(3)连接,证明出四边形是正方形,再利用正方形的性质得出条件,证出,在中利用勾股定理求得的长.【解析】(1)四边形和四边形是正方形,,,,,,..(2),,理由如下:,,,,在中,,,,.(3)连接,如图,四边形和四边形是正方形,,,,,,,在中,,,,,,,,四边形是平行四边形,,四边形是正方形,,

,,,,在中,.【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理的应用,掌握相关的知识点,添加适当的辅助线是解本题的关键.3.在梯形中,,点分别在边上,,点与在直线的两侧,,射线与边分别相交于点,设.(1)求边的长;(2)如图,当点在梯形内部时,求关于的函数解析式;(3)如果的长为,求梯形的面积.【答案】(1)3;(2);(3)或【分析】(1)过作,与、分别相交于点、,从而判定四边形是矩形,在中求出的长,利用可得出的长;(2)首先确定,过点作,与、分别相交于、,根据,,可表示出、,继而可得出关于的函数解析式;(3)①当点在梯形内部时,由及(2)的结论得,,可求得梯形的面积,②当点在梯形外部时,由及与(2)相同的方法得:,,可求得梯形的面积.【解析】解:(1)如图1,过作,与、分别相交于点、,梯形中,,,又,四边形是矩形,,,,.(2),,,,,,,,,如图2,过点作,与、分别相交于、,,,,,,,关于的函数解析式为;(3)当点在梯形内部时,由及(2)的结论得,,,当点在梯形外部时,由及与(2)相同的方法得:,,,综上所述,梯形的面积为或.【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识,属于综合性较强的题目,难度较大,对于此类题目要学会由小及大,将所求的问题缩小,一步一步求解.4.已知,菱形中,,、分别是边和上的点,且.(1)求证:.(2)如图2,在延长线上,且,求证:.(3)如图3,在(2)的条件下,,点是的中点,求的长.【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】(1)连接,如图1,根据菱形的性质得,即可判定为等边三角形,得到,,然后利用可证明,即可解答;(2)过点F作,交的延长线于点H,利用平行线的性质求得是等边三角形,得到,然后利用定理求得,从而问题得解;(3)过点B作,交于点K,根据两组对边分别平行求得四边形是平行四边形,从而求得,,A作,然后利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求得,,即有,在中,利用勾股定理可得,问题随之得解.【解析】(1)连接,如图1,∵四边形为菱形,∴,∵,∴为等边三角形,∴,,∴,∵,即,∴,∵,∴,即,在和中,,∴,∴,∴;(2)过点F作,交的延长线于点H,如图2,在(1)中已证为等边三角形,∵,∴,∴是等边三角形,∴,又∵是等边三角形,∴,∴,又∵,∴,即,在和中,∴,∴,∴;(3)过点B作,交于点K,如图3,∵,,,,∴四边形是平行四边形,∴,∵点是的中点,∴,∴,过点A作,由(2)可知,,∴在中,,∴,,∴,在中,,∴.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,及平行四边形的判定和性质,含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识,题目有一定的综合性,正确添加辅助线解题是关键的突破点.5.如图①,已知正方形中,,分别是边,上的点(点,不与端点重合),且,,交于点,过点作交于点.(1)求证:.(2)若,试求线段的长.(3)如图②,连接并延长交于点,若点是的中点,试求的值.【答案】(1)见解析(2)(3)4【分析】(1)证明(SAS),得出,得出,可得出结论;(2)根据的面积可求出,证明(AAS),由全等三角形的性质得出,则,可求出答案;(3)证得,,可得出,在四边形中,设,,则,,,由勾股定理可得出,的关系式,则可求出答案.【解析】(1)在正方形中,,,又∵,∴(SAS),∴,∵,∴,∴,∴.(2)在正方形中,,,∴,∵,∴,在中,,∵,∴,,∴,∵,∴,又∵,∴(AAS),∴,∴.(3)在正方形中,,,∵,,∴,∴,∵,,∴,在中,,∴,在四边形中,设,,则,,,∵,∴,∴,即,∴.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的面积,平行线的判定,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用转化的思想解决问题,学会用方程的思想方法解决问题.6.如图,正方形中,点是上一点,点是上一点,.(1)如图1,若,求的面积.(2)如图2,求证:.(3)如图3,点为延长线上一点,点为延长线上一点,.请直接写出线段、、的数量关系.【答案】(1)1(2)见解析(3)【分析】(1)如图,延长至,使,连接,由“”可证,可得,,由“”可证,可得,由勾股定理和三角形面积公式可求解;(2)将绕着点按顺时针方向旋转,得,可得,,,由“”可证,可得,可得结论;(3)在上截取,连接,由“”可证,可得,,由“”可证,可得,可得结论.【解析】(1)解:如图,延长至,使,连接,四边形是正方形,,,,,,,,,,,,,,又,,,,,,,的面积;(2)证明:将绕着点按顺时针方向旋转,得,则,,,四边形是正方形,,,,、、在一直线上,,,又,,,;(3)解:理由:如图3,在上截取,连接,,,,,,,,,,又,,,,.【点睛】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.7.已知点是正方形对角线上一点,与交于点,,垂足为,直线与交于点.(1)如图1,当在线段上时,求证;(2)如图2,当在线段上时,的延长线交于点,若,求证:①四边形为菱形;②;(3)如图3,若,在点从到的运动过程中,的最小值为______.【答案】(1)见解析(2)①见解析;②见解析(3)【分析】(1)证明,即可得证;(2)①证明,可得,进而证明,可得,可得四边形是平行四边形,由,可得四边形是菱形;②由,又得出,即可证明;(3)取的中点,连接,,则,勾股定理求得,由即可求解.【解析】(1)解:如图1,∵四边形是正方形∴,,∴∴,∵,∴∴在与中,,∴,∴;(2)解:①如图2∵四边形是正方形,∴,,,,∴,∴,∵,∴,,在和中,∴,∴,∵,∴,

∴,∴,∴,∴四边形是平行四边形,又∵,∴四边形是菱形;②∵是的一个外角,∴∵四边形是菱形,∴垂直平分,∴,∵,∴,∴,

又∴,∴;(3)解:如图3,取的中点,连接,则,∵四边形是正方形,∴,,∴,∵,为的中点,∴,∵(当且仅当点在线段上时,等号成立),∴,即的最小值为,故答案为:.【点睛】本题考查了正方形的性质,菱形的性质与判定,三角形全等的性质与判定,勾股定理,两点之间线段最短,掌握正方形的性质是解题的关键.8.如图1,点O是正方形的对角线BD的中点,过点O作直线,点D关于直线的对称点为E,连接.(1)求的值.(2)如图2,作于点F,请用等式表示线段之间的数量关系,并说明理由.(3)如图3,在(2)的条件下,连接交于点G,当时,请你探究线段与之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)(2),见解析(3),见解析【分析】(1)如图1,根据等边对等角得:,由正方形的性质可知:一条对角线平分一组对角得:,所以;(2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,证明,则,根据有三个角是直角的四边形是矩形,证明四边形是矩形,得,所以;(3)由(2)可知:是等腰直角三角形,则,设,则,表示和的长,根据(2):,得,代入关于x的式子可是,则.【解析】(1)∵,∴,∵四边形是正方形,∴,∴;(2),理由是:过B作于H,如图2,∵,∴,∴,∴,∵四边形是正方形,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴四边形是矩形,∴,∴;(3)由(2)可知:是等腰直角三角形,∴,过点G作于K,如图3,∵,∴,∴,设,则,∴,∴,由(2):,∴,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了四边形综合题、正方形的性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.9.在菱形ABCD中,P是直线BD上一点,点E在射线AD上,连接PC,(1)如图(1),当∠BAD=90°时,连接PE,交CD于点F,若∠CPE=90°,求证:PC=PE;(2)当∠BAD=60°时,连接PE,CE,PC交AE于点F,∠CPE=60°,AC=CE=4.①如图(2),若点P在线段BD的延长线上,求BP的长;②如图(3),若点P在线段DB的延长线上,直接写出BP的长.【答案】(1)见解析;(2)①,②.【分析】(1)先证出,得PA=PC,再证明PA=PE,得PC=PE;(2)①如图2中,设AC交BD于O.首先证明PC=PE=PA,由∠CPE=60°推出PC=PE=CE=AC=4,由四边形ABCD是菱形,推出AC⊥BD,根据勾股定理和等边三角形的性质求出PO和BO,根据BP=PO+OB计算即可;②如图3中,利用①中方法计算即可;(1)证明:如图1中,连接PA.∵∠BAD=90°,∴菱形ABCD是正方形,在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°,在和中,,∴(SAS),∴PA=PC,∠DAP=∠DCP,∵∠CPF=∠EDF=90°,∠PFC=∠EFD,∴∠PCF=∠E,∴∠PAD=∠E∴PA=PE,∴PC=PE;(2)①如图2中,设AC交BD于O,连接CE、AP.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADO=∠CDO,DA=DC,∴∠ADP=∠CDP,在和中,∴(SAS),∴PA=PC,∠PAD=∠PCD,∵∠CPE=∠CDF=60°,∠DFC=∠PFE,∴∠E=∠PCD=∠PAD,∴PA=PE=PC,∴是等边三角形,∴AC=CE=PE=PA=PC=4,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,在中,,∵∠BAD=60°,AB=AD,∴是等边三角形,,∵,∴,解得:,∴,②如图3中,设AC与BD相交于点O,利用①中方法可知.【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.10.如图1,已知菱形的边长为6,,点、分别是边、上的动点(不与端点重合),且.(1)求证:是等边三角形;(2)点、在运动过程中,四边形的面积是否变化,如果变化,请说明理由;如果不变,请求出面积;(3)当点在什么位置时,的面积最大,并求出此时面积的最大值;(4)如图2,连接分别与边、交于、,当时,求证:.【答案】(1)见解析;(2)四边形AECF的面积不变.四边形AECF的面积为;(3)E是BC的中点时△ECF的面积最大,最大面积为;(4)见解析【分析】(1)利用证明△ACE和△ADF全等得AE=AF,结合∠EAF=60°,便得△EAF是等边三角形;(2)根据△ACE≌△ADF,得四边形AECF的面积等于△ACD的面积等于菱形ABCD面积的一半;(3)要使三角形ECF的面积最大,只要等边三角形AEF的面积最小即AE⊥BC时即可;(4)将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP,连接PM.证明MN=PM,∠BPM=90°即可解决问题.【解析】(1)证明:在菱形ABCD中,∵∠B=60°,∴△ABC、△ACD是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠CAD=60°,∴AC=AD,∵∠EAF=60°,∴∠CAE=∠DAF,∵∠ACE=∠D=60°,∴△ACE≌△ADF,∴AE=AF,∴△EAF是等边三角形;(2)四边形AECF的面积不变.过点A作AG⊥BC于点G.在Rt△ABG中,∠B=60°,∴BG=AB=3,∴AG==,∴S△ABC=S△ACD==.由(1)知△ACE≌△ADF,∴S△ACE=S△ADF,∴S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=S△ADF+S△ACF=S△ACD=;(3)∵S四边形AECF=S△AEF+S△ECF=,∴S△AEF最小时S△ECF最大,∵△AEF是等边三角形,∴当AE⊥BC时S△AEF最小,此时E是BC的中点,AE=,等边△AEF的EF边上的高为=,∴S△AEF==,∴S△ECF=S四边形AECF-S△AEF==;(4)将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP,连接PM.∵∠DAE=15°,∠EAF=60°,∠BAD=120°,∴∠BAE=45°,∠BAP=∠DAF=15°,∴∠MAN=∠MAP=60°,∵AM=AM,AN=AP,∴△MAN≌△MAP(SAS),∴MN=PM,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴∠ADN=∠ADC=30°,∴∠AND=180°-15°-30°=135°,∠ANM=45°,∴∠APB=∠AND=135°,∠APM=∠ANM=45°,∴∠BPM=90°,∴BP2+PM2=BM2,∵BP=DN,PM=MN,∴DN2+MN2=BM2.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.11.如图①,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PC=PE,PE交CD于点F.(1)求证:∠PCD=∠PED;(2)连接EC,求证:EC=AP;(3)如图②,把正方形ABCD改成菱形ABCD,其他条件不变,当∠DAB=60°时,请直接写出线段EC和AP的数量关系______.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AP=CE.【分析】(1)根据正方形性质知道PC=PA,又由PE=PC知道PA=PE即可得出结论.(2)证明△PEC为等腰直角三角形,即可得出结论.(3)根据(2)的思路和方法即可求出结论AP=CE.【解析】(1)证明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°,在△ADP和△CDP中,AD=DC;∠ADP=∠CDP;PD=PD,∴△ADP≌△CDP(SAS),∴∠DAP=∠DCP,PA=PC;∵PC=PE,∴PA=PE,∴∠DAP=∠DEP,∴∠DCP=∠DAP=∠DEP.(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;∴△CPE是等腰直角三角形,∴EC=CP,又∵AP=CP,∴EC=AP.(3)AP=CE;理由如下:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,在△ABP和△CBP中,AB=BC;∠ABP=∠CBP;PB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC,∴∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.【点睛】这一类题属于特殊四边形的题,一般以实验探究题的形式出现,知识点综合性较强,属于中考必考题型.12.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,现将纸片折叠,点D的对应点记为点P,折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点),再将纸片还原.(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1).①当点P与点A重合时,∠DEF=°,当点E与点A重合时,∠DEF=°.②当点E在AB上时,点F在DC上时(如图2),若AP=,求四边形EPFD的周长.(2)若点F与点C重合,点E在AD上,线段BA与线段FP交于点M(如图3),当AM=DE时,请求出线段AE的长度.(3)若点P落在矩形的内部(如图4),且点E、F分别在AD、DC边上,请直接写出AP的最小值.【答案】(1)①90,45;②;(2)0.6;(3)1.【分析】(1)①当点与点重合时,是的中垂线,可得结论;当点与点重合时,如图2,则平分;②如图3中,证明得,根据一组对边平行且相等得:四边形是平行四边形,加上对角线互相垂直可得为菱形,当时,设菱形的边长为,根据勾股定理列方程得:,求出的值即可;(2)连接,由折叠性质可证,设.根据全等性质用x表示出线段关系,再由中可列方程求解;(3)如图,当与重合,点在对角线上时,有最小值,根据折叠的性质求,由勾股定理求,所以.【解析】解:(1)①当点与点重合时,是的中垂线,,当点与点重合时,此时,故答案为:90,45.②如图2中,设与交于点,由折叠知垂直平分.,,矩形,,,,,,,四边形是平行四边形,四边形是菱形,当时,设菱形边长为,则,在中,,,菱形的周长.(2)如图3中,连接,设.由折叠知,,,,,,,,,在中,解得..(3)如图中,连接,,.,,,此时的最小值,,,当与重合时,的值最小,由折叠得:,由勾股定理得:,,当,,共线时,有最小值,,则的最小值是1.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质,熟练掌握折叠的性质是关键,本题难度适中,注意运用数形结合的思想.13.如图,边长为2的正方形纸片ABCD中,点M为边CD上一点(不与C,D重合),将△ADM沿AM折叠得到△AME,延长ME交边BC于点N,连结AN.(1)猜想∠MAN的大小是否变化,并说明理由;(2)如图1,当N点恰为BC中点时,求DM的长度;(3)如图2,连结BD,分别交AN,AM于点Q,H.若BQ=,求线段QH的长度.【答案】(1)∠MAN的大小没有变化,理由见解析;(2);(3).【分析】(1)由折叠知AD=AE、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE,再证Rt△BAN≌Rt△EAN得∠BAN=∠EAN=∠BAE,根据∠MAN=∠EAM+∠EAN=(∠DAE+∠BAE)可得答案;(2)由题意知EN=BN=CN=1,设DM=EM=x,则MC=2-x、MN=1+x,在Rt△MNC中,由MC2+CN2=MN2列出关于x的方程求解可得;(3)将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG,连接GH,由旋转知DG=BQ=,AG=AQ,∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°,∠BAQ=∠DAG,证△GAH≌△QAH得GH=QH,设GH=QH=a,得BD=AB=2,BQ=,DQ=,DH=-a,在Rt△DGH中,由DG2+DH2=GH2可得关于a的方程,解之可得答案.【解析】(1)∠MAN的大小没有变化,∵将△ADM沿AM折叠得到△AME,∴△ADM≌△AEM,∴AD=AE=2、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE,又∵AD=AB=2、∠D=∠B=90°,∴AE=AB、∠B=∠AEM=∠AEN=90°,在Rt△BAN和Rt△EAN中,∵,∴Rt△BAN≌Rt△EAN(HL),∴∠BAN=∠EAN=∠BAE,则∠MAN=∠EAM+∠EAN=∠DAE+∠BAE=(∠DAE+∠BAE)=∠BAD=45°,∴∠MAN的大小没有变化;(2)∵N点恰为BC中点,∴EN=BN=CN=1,设DM=EM=x,则MC=2﹣x,∴MN=ME+EN=1+x,在Rt△MNC中,由MC2+CN2=MN2可得(2﹣x)2+12=(1+x)2,解得:x=,即DM=;(3)如图,将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG,连接GH,则△ABQ≌△ADG,∴DG=BQ=、AG=AQ、∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°、∠BAQ=∠DAG,∵∠MAN=∠BAD=45°,∴∠BAQ+∠DAM=∠DAG+∠DAM=∠GAH=45°,则∠GAH=∠QAH,在△GAH和△QAH中,∵,∴△GAH≌△QAH(SAS),∴GH=QH,设GH=QH=a,∵BD=AB=2,BQ=,∴DQ=BD﹣BQ=,∴DH=﹣a,∵∠ADG=∠ADH=45°,∴∠GDH=90°,在Rt△DGH中,由DG2+DH2=GH2可得()2+(﹣a)2=a2,解得:a=,即QH=.【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质等知识点.14.在菱形中,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随点的位置变化而变化.(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是,与的位置关系是;(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).

(3)如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若,,求四边形的面积.

【答案】(1)BP=CE;CE⊥AD;(2)成立,理由见解析;(3).【解析】【分析】(1)①连接AC,证明△ABP≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE;②根据菱形对角线平分对角可得,再根据△ABP≌△ACE,可得,继而可推导得出,即可证得CE⊥AD;(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD仍然成立,利用(1)的方法进行证明即可;(3)连接AC交BD于点O,CE,作EH⊥AP于H,由已知先求得BD=6,再利用勾股定理求出CE的长,AP长,由△APE是等边三角形,求得,的长,再根据,进行计算即可得.【解析】(1)①BP=CE,理由如下:连接AC,∵菱形ABCD,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∴∠BAP=∠CAE,∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;②CE⊥AD,∵菱形对角线平分对角,∴,∵△ABP≌△ACE,∴,∵,∴,∴,∴,∴CF⊥AD,即CE⊥AD;(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD仍然成立,理由如下:连接AC,∵菱形ABCD,∠ABC=60°,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴AB=AC,∠BAD=120°,∠BAP=120°+∠DAP,∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,∴∠BAP=∠CAE,∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,,∴∠DCE=30°,∵∠ADC=60°,∴∠DCE+∠ADC=90°,∴∠CHD=90°,∴CE⊥AD,∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD仍然成立;(3)

连接AC交BD于点O,CE,作EH⊥AP于H,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,∵∠ABC=60°,,∴∠ABO=30°,∴,BO=DO=3,∴BD=6,由(2)知CE⊥AD,∵AD∥BC,∴CE⊥BC,∵,,∴,由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,∴,∵△APE是等边三角形,∴,,∵,∴,===,∴四边形ADPE的面积是.【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形判定与性质等,熟练掌握相关知识,正确添加辅助线是解题的关键.15.如图1,,是线段上的一个动点,分别以为边,在的同侧构造菱形和菱形,三点在同一条直线上连结,设射线与射线交于.

(1)当在点的右侧时,求证:四边形是平形四边形.(2)连结,当四边形恰为矩形时,求的长.(3)如图2,设,,记点与之间的距离为,直接写出的所有值.【答案】(1)见解析;(2)FG=;(3)d=14或.【分析】(1)由菱形的性质可得AP∥EF,∠APF=∠EPF=∠APE,PB∥CD,∠CDB=∠PDB=∠CDP,由平行线的性质可得∠FPE=∠BDP,可得PF∥BD,即可得结论;(2)由矩形的性质和菱形的性质可得FG=PB=2EF=2AP,即可求FG的长;(3)分两种情况讨论,由勾股定理可求d的值;点G在DP的右侧,连接AC,过点C作CH⊥AB,交AB延长线于点H;若点G在DP的左侧,连接AC,过点C作CH⊥AB,交AB延长线于点H.【解析】(1)∵四边形APEF是菱形∴AP∥EF,∠APF=∠EPF=∠APE,∵四边形PBCD是菱形∴PB∥CD,∠CDB=∠PDB=∠CDP∴∠APE=∠PDC∴∠FPE=∠BDP∴PF∥BD,且AP∥EF∴四边形四边形FGBP是平形四边形;(2)若四边形DFPG恰为矩形∴PD=FG,PE=DE,EF=EG,∴PD=2EF∵四边形APEF是菱形,四边形PBCD是菱形∴AP=EF,PB=PD∴PB=2EF=2AP,且AB=10∴FG=PB=.(3)如图,点G在DP的右侧,连接AC,过点C作CH⊥AB,交AB延长线于点H,∵FE=2EG,∴PB=FG=3EG,EF=AP=2EG∵AB=10∴AP+PB=5EG=10∴EG=2,∴AP=4,PB=6=BC,∵∠ABC=120°,∴∠CBH=60°,且CH⊥AB∴BH=BC=3,CH=BH=3∴AH=13∴AC==14若点G在DP的左侧,连接AC,过点C作CH⊥AB,交AB延长线于点H∵FE=2EG,∴PB=FG=EG,EF=AP=2EG∵AB=10,∴3EG=10∴EG=∴BP=BC=∵∠ABC=120°,∴∠CBH=60°,且CH⊥AB∴BH=BC=,CH=BH=∴AH=∴AC=综上所述:d=14或.【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理,解题的关键是掌握菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的计算.16.如图,已知平行四边形中,平分,(1)求证:平行四边形是菱形;(2)为边上一动点,连接,作的垂直平分线交于,交于,连接、,①求证:为等腰三角形;②若,求的值.【答案】(1)证明见详解;(2)①证明见详解;②【分析】(1)根据平行四边形中,平分求出平行四边形邻边相等即可,(2)①由GF垂直平分CE知GC=GE,再求证△ADG与△CDG全等即可得出为等腰三角形,②连接AC交BD于点O,根据菱形ABCD中AC与BD垂直平分,GF垂直平分CE,分别用不同方法表示出∠AEC进而求出,即可求出.【解析】(1)∵在平行四边形中,∴,∴∠CDB=∠ABD,又平分,∴∠DBC=∠ABD,∴∠CDB=∠DBC,∴DC=BC,∴平行四边形是菱形;(2)①由GF垂直平分CE知GC=GE,∵菱形中,AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG△CDG(SAS),∴GA=GC,即为等腰三角形;②连接AC交BD于点O,如图:由题意知GF垂直平分CE,∴GC=GE,∴∠GCE=∠GEC,∵在菱形ABCD中AC与BD垂直平分,∴,∴∠GAC=∠GCA,又∵,AB=BC,∴,又∵∠AEC=∠ABC+∠BCE,,∴,由①知∠GAE=∠AEG,则,∵∠AEC=∠AEG+∠GEC,∴∴,∴,又∵GF垂直平分CE,∴,∴,即.【点睛】此题属于四边形动点问题,利用平行四边形考查菱形的判定定理,涉及到垂直平分线的性质和三角形外角及等边三角形性质,有一定难度.17.在正方形ABCD中.(1)如图1,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,试判断AE与BF的数量关系,并说明理由;(2)如图2,点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上,EG、FH相交于点O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的长;(3)如图3,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,若AB=5,图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4:5,求△ABO的周长.【答案】(1)AE=BF,理由见解析;(2)FH=7;(3)△AOB的周长为5+【分析】(1)由四边形ABCD是正方形可得AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF,然后根据ASA可证△ABE≌△BCF,进而可得结论;(2)如图4,作辅助线,构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH,得AM=GE,BN=FH,由(1)题的结论知△ABM≌△BCN,进而可得FH的长;(3)根据正方形的面积和阴影部分的面积可得:空白部分的面积为25-20=5,易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等,设AO=a,BO=b,则易得ab=5,根据勾股定理得:a2+b2=52,然后根据完全平方公式即可求出a+b,进一步即得结果.【解析】解:(1)AE=BF,理由是:如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∵∠AOB=90°,∴∠BAO+∠ABO=90°,又∵∠CBF+∠ABO=90°,∴∠BAO=∠CBF,∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE=BF;(2)在图2中,过点A作AM∥GE交BC于M,过点B作BN∥FH交CD于N,AM与BN交于点O′,如图4,则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形,∴AM=GE,BN=FH,∵∠GOH=90°,AM∥GE,BN∥FH,∴∠AO′B=90°,由(1)得,△ABM≌△BCN,∴AM=BN,∴FH=GE=7;(3)如图3,∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4:5,∴阴影部分的面积为×25=20,∴空白部分的面积为25-20=5,由(1)得,△ABE≌△BCF,∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等,均为×5=,设AO=a,BO=b,则ab=,即ab=5,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∴a2+b2=52,∴a2+2ab+b2=25+10=35,即,∴a+b=,即AO+BO=,∴△AOB的周长为5+.【点睛】本题是四边形的综合题,主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形和多边形的面积以及完全平方公式的运用,属于常考题型,熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键.18.已知正方形ABCD,点E在AB上,点G在AD,点F在射线BC上,点H在CD上.(1)如图1,DE⊥FG,求证:BF=AE+AG;(2)如图2,DE⊥DF,P为EF中点,求证:BE=PC;(3)如图3,EH交FG于O,∠GOH=45°,若CD=4,BF=DG=1,则线段EH的长为.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【分析】(1)作GM⊥BC于M.证△DAE≌△GMF,得AE=FM,AG=BM.所以BF=AE+AG.(2)作EQ∥CP交BC于Q.证EQ=2CP,EQ=BE可得BE=CP.(3)作BM∥GF交AD于M,作BN∥EH交CD于N,得BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,延长DC到P,使CP=AM=2,证△BAM≌△BCP得∠ABM=∠CBP,BM=BP,再证△MBN≌△PBN得MN=PN,设CN=x,则MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4﹣x,在Rt△DMN中,由DM2+DN2=MN2求得x=,再在△BCN中利用勾股定理求解可得.【解析】解:(1)如图1,过点G作GM⊥BC于M,则∠GMB=∠GMF=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠A=∠B=90°,∴四边形ABMG是矩形,∴AG=BM,∵DE⊥GF,∴∠ADE+∠DGF=∠ADE+∠AED=90°,∴∠AED=∠DGF,又∠DGF=∠MFG,∴∠AED=∠MFG,∴△DAE≌△GMF(AAS),∴AE=MF,则BF=BM+MF=AG+AE;(2)如图2,过点E作EQ∥PC,交BC于点Q,∵P是EF的中点,∴PC是△EQF的中位线,则EQ=2PC,QC=CF,∵∠ADC=∠EDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,又∵∠A=∠DCF=90°,AD=CD,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF=QC,∵AB=BC,∴BE=BQ,则∠BEQ=45°,∴EQ=BE,则2PC=BE,∴BE=PC;(3)如图3所示,作BM∥GF交AD于M,作BN∥EH交CD于N,则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形,∴BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,∵DG=1,CD=AD=4,∴AM=2,延长DC到P,使CP=AM=2,∵BA=BC,∠A=∠BCP=90°,∴△BAM≌△BCP(SAS),∴∠ABM=∠CBP,BM=BP,∵∠GOH=45°,BN∥EH,BM∥GF,∴∠MBN=45°,∴∠ABM+∠CBN=45°,∴∠CBP+∠CBN=45°,即∠PBN=45°,∴△MBN≌△PBN(SAS),∴MN=PN,设CN=x,则MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4﹣x,在Rt△DMN中,由DM2+DN2=MN2可得22+(4﹣x)2=(x+2)2,解得x=,则EH=BN===,故答案为:.【点睛】本题考查正方形背景中的线段和差,线段倍分,求线段长问题,掌握垂线的性质,平行线的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理等知识,引垂线构造全等,转化线段的相等关系,利用平行线,构造中位线与等腰直角三角形,确定倍数关系,利用勾股定理解决线段的长度问题.19.四边形ABCD是矩形,点E是射线BC上一点,连接AC,DE.(1)如图1,点E在边BC的延长线上,BE=AC,若∠ACB=40°,求∠E的度数;(2)如图2,点E在边BC的延长线上,BE=AC,若M是DE的中点,连接AM,CM,求证:AM⊥MC;(3)如图3,点E在边BC上,射线AE交射线DC于点F,∠AED=2∠AEB,AF=4,AB=4,则CE=.(直接写出结果)【答案】(1)70°;(2)见解析;(3)2【分析】(1)根据矩形的性质:AC=BD,OB=OC,可得∠DBC=∠ACB=40°,由BD=BE得出∠E=∠BDE,可得结论;(2)如图2,延长CM交AD延长线于G,先证明△DMG≌△EMC(AAS),得AG=AC,根据等腰三角形三线合一得:AM⊥MC;(3)如图3,取AF的中点P,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得:PD=AP=AF=2,证明∠DPE=∠AED,则DE=PD=2,利用勾股定理可得CE的长.【解析】解:(1)如图1,连接BD,与AC交于点O,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OB=OC∴∠DBC=∠ACB=40°∵BE=AC,∴BD=BE,∴∠BDE=∠E,∴∠E==70°;(2)如图2,延长CM交AD延长线于G,∵AG∥BE,∴∠GDM=∠E,∠G=∠GCE,∵M是DE的中点,∴DM=EM,∴△DMG≌△EMC(AAS),∴CE=DG,CM=MG,∴BC+CE=AD+DG,即AG=BE,由(1)知:BE=BD=AC,∴AG=AC,又∵CM=MG,∴AM⊥MC;(3)如图3,取AF的中点P,连接PD,则PD=AP=AF=2,∴∠PDA=∠PAD,在矩形ABCD中,∠AEB=∠PAD,∠AED=2∠AEB,∴∠DPE=∠PAD+∠PDA=2∠PAD=2∠AEB=∠AED,∴DE=PD=2,在△DEC中,∠DCE=90°,AB=DC=4,∴CE===2.故答案为:2.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质及全等三角形的判定和性质,熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.20.如图,在菱形中,是边上的动点,作交于点,在上取点使,连结(1)求的度数;(2)求证:(3)若是的中点,当为何值时,是等腰三角形.【答案】(1)120°;(2)见解析;(3)或【分析】(1)由题意可证是等边三角形,可得,可求解;(2)根据菱形的性质,等边三角形的性质,利用证明可证明结论;(3)可分三种情况:当时;当时;当时分别进行计算即可求解.【解析】解:(1),,是等边三角形,,;(2)证明:由(1)知,,四边形为菱形,,,,,,,,是等边三角形,,,,,,,,;(3)∵△DFE≌△GEB,∴DF=GE,当EG=EP时,过E作EM⊥AB垂足为M,设AE=x,∵△AGE是等边三角形,∴AM=,EM=,∴BM=4−x,∵P为EF的中点,∴EF=2EP,由(2)知EF=BE,∴EB=2EG=2AE=2x,在Rt△EBM中,EM2+BM2=EB2,即(x)2+(4−x)2=(2x)2,解得x=或(舍去),即AE=;当EG=GP时,过G作GQ⊥EF,垂足为Q,过E作EM⊥AB垂足为M,连接GF,设AE=x,∴BG=4−x,∵△AGE是等边三角形,∴EG=x,∵EF=EB,∠BEF=60°,∴△BEF为等边三角形,∴∠EFB=∠BEF=60°,EF=BE,在Rt△EBM中,BE2=EM2+BM2=(x)2+(4−x)2,∵△BEG≌△EFD,∴∠BEG=∠EFD,DF=EG,∴∠GEQ=∠BFH,CF=4−x,∴BG=CF,∴四边形GBCF是平行四边形,∴GF=BC=4,∵P为EF的中点,∴EP=EF=BE,∵EG=GP=x,∴EQ=EP=EF=BE,∴FQ=EF=BE,在Rt△EGQ和Rt△FGQ中,∠EQG=∠FQG=90°,GQ2=EG2−EQ2,GQ2=FG2−FQ2,∴x2−(BE)2=42−(BE)2,∴解得x=或x=(舍去),即AE=;当EP=GP时,点P在EG的中垂线上,即P点AC上,而运动期间P不可能位于线段AC上,∴P在AC上不存在,综上,AE=或;即当AE为或时,△EGP是等腰三角形.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,菱形的性质等知识的综合运用,注意分类讨论.21.梯形中,,,,,、在上,平分,平分,、分别为、的中点,和分别与交于和,和交于点.(1)求证:;(2)当点在四边形内部时,设,,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)当时,求的长.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)3或.【分析】(1)由中位线的性质,角平分线的定义和平行线的性质得出,易证,则结论可证;(2)过作交于点K,过点D作交于点,则得到矩形,则有,,然后利用(1)中的结论有,,在中,利用含30°的直角三角形的性质可得出QC,DQ的长度,然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式;(3)分两种情况:点在梯形内部和点在梯形内部,当点在梯形内部时,有;当点在梯形内部时,有,分别结论(2)中的关系式即可求出EG的长度.【解析】(1)证明:、分别是、的中点,.平分,.又,,,.点是的中点,..(2)过作交于点K,过点D作交于点,∵,,,∴四边形是矩形,,.,,,同理:.在中,,,,.,.在中,.,即..(3)①点在梯形内部.∵是梯形的中位线,,即.解得:,即.②点在梯形内部.同理:.解得:,即.综上所述,EG的长度为3或.【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,掌握中位线的性质,含30°的直角三角形的性质,勾股定理是基础,能够作出辅助线并分情况讨论是解题的关键.22.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=10,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD,设AD=x,△AOB的面积为y.(1)求∠DBC的度数;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)如图1,设点P、Q分别是边BC、AB的中点,分别联结OP,OQ,PQ.如果△OPQ是等腰三角形,求AD的长.【答案】(1)∠DBC=45;(2)y=x(x>0);(3)满足条件的AD的值为10﹣10.【分析】(1)过点D作AC的平行线DE,与BC的延长线交于E点,只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题;(2)由(1)可知:△BOC,△AOD都是等腰直角三角形,由题意OA=x,OB=5,根据y=•OA•OB计算即可;(3)分三种情形讨论即可解决问题;【解析】(1)过点D作AC的平行线DE,与BC的延长线交于E点.∵梯形ABCD中,AD∥BC,AC∥DE,∴四边形ACED为平行四边形,AC=DE,AD=CE,∵AB=CD,∴梯形ABCD为等腰梯形,∴AC=BD,∴BD=DE,又AC⊥BD,∴∠BOC=90°∵AC∥DE∴∠BDE=90°,∴△BDE是等腰直角三角形,∴∠DBC=45°.(2)由(1)可知:△BOC,△AOD都是等腰直角三角形,∵AD=x,BC=10,∴OA=x,OB=5,∴y=.(3)如图2中,①当PQ=PO=BC=5时,∵AQ=QB,BP=PC=5,∴PQ∥AC,PQ=AC,∴AC=10,∵OC=5,∴OA=10﹣5,∴AD=OA=10﹣10.②当OQ=OP=5时,AB=2OQ=10,此时AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,∴∠ABC=90°,同理可证:∠DCB=90°,∴四边形ABCD是矩形,不符合题意,此种情形不存在.③当OQ=PQ时,AB=2OQ,AC=2PQ,∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°=∠BOC,显然不可能,综上所述,满足条件的AD的值为10﹣10.【点睛】本题考查四边形综合题、梯形、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.23.如图①,是等腰直角三角形,,四边形是正方形,点B、C分别在边上,此时成立.将绕点A逆时针旋转,并探究下列问题:(1)如图②,成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(2)当时,如图③,延长交于点H.当时,求线段的长.(3)如图④,延长交于点H,连接,直接写出线段之间的数量关系.【答案】(1)成立,见解析(2)(3)【分析】(1)根据正方形的性质可得,得到,得到结论;(2)连接,记与交点为O,在中利用勾股定理求出长,进而求出长,再利用面积法求出线段长即可;(3)过点A作交的延长线于点,由(1)的结论推出,即可得到结论.【解析】(1)解:成立.理由如下:由题意得,,∵四边形是正方形∴在和中,,∴,∴.(2)连接,记与交点为O在中,∵∴由题意得,∴即

设,又,∴∴又∴∴又∴∵∴∴由(1)得,

∴,,∵,∴,∴即∵∴∴(3)过点A作交的延长线于点,∴,∴,由(1)得,∴,又∵,∴,∴,又∵,∴,∴【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,能作辅助线构造全等三角形是解题的关键.24.在正方形中,是边上一点(点不与点、重合),连结.感知:如图①,过点作交于点.求证.探究:如图②,取的中点,过点作交于点,交于点.(1)求证:.(2)连结,若,求的长.应用如图③,取的中点,连结.过点作交于点,连结、.若,求四边形的面积.【答案】感知:见解析;(1)见解析(2)2

应用:9【分析】感知:利用同角的余角相等判断出,即可得出结论;探究:(1)判断出,同感知的方法判新出,即可得出结论;(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半,可得结论.【解析】(1)感知:∵四边形是正方形,∴,,∴,∵,∴,∴,在和中,,∴.;探究:(1)如图②,过点作于,∵四边形是正方形,∴,,∴四边形G是矩形,∴,∴,由,,∴,在和中,,∴,∴,(2)由(1)知,,连接,∵,点是的中点,∴,∴,故答案为:2.应用:同探究(2)得,,∴,同探究(1)得,,∵,∴.故答案为:9【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,同角的余角相等,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键.25.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是上一点,F是延长线上一点,且,求证:.(2)如图2,在正方形中,E是上

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